聚焦條件下菲涅爾圓孔衍射合振動的積分式及應用

(長江大學物理與光電工程學院，湖北 荊州 434023)

聚焦條件下菲涅爾圓孔衍射合振動的積分式及應用

蘇海濤

(長江大學物理與光電工程學院，湖北荊州434023)

運用惠更斯-菲涅爾原理，分析了軸線點光源在聚焦條件下的菲涅爾圓孔衍射，通過對平行次波間光程差的計算，計算出各次波在會聚點的光程，由此導出了上述條件下衍射合振動的積分式。這一積分式在一定條件下(小張角時)，可以求出其原函數，這為合振幅(光強)計算帶來了很大的方便。由于夫瑯禾費圓孔衍射相當于點光源距離圓孔很遠時的菲涅爾圓孔衍射，完全符合小張角的條件，由這一函數式導出了夫瑯禾費圓孔衍射合振動的函數式。

聚焦；菲涅爾圓孔衍射；合振動；積分式；函數式

在傳統光學教材中，聚焦條件下夫瑯禾費圓孔衍射合振動積分式的推導并解出原函數，是一個數學的范例[1]。對菲涅爾圓孔衍射合振動的研究現在普遍處于非聚焦條件下，主要分2種情況，一是非聚焦條件下合振動積分式的推導并在特殊條件下解出原函數[2]；二是非聚焦條件下合振動積分式的數值計算[3～6]。由以上原函數與數值計算所得到的合振幅(亦即光強)分布，對應于直接在光屏上形成的衍射圖樣，但它不能對應于經光學系統或人眼后的成像(衍射圖樣)；而聚焦條件下菲涅爾圓孔衍射的合振幅分布則對應于經光學系統或人眼后的成像，有更大的應用意義。筆者的研究旨在解決聚焦條件下菲涅爾圓孔衍射合振動的計算問題。夫瑯禾費圓孔衍射可以看作菲涅爾圓孔衍射的一個特例，筆者分析了軸線點光源在聚焦條件下的菲涅爾圓孔衍射，并導出了其合振動的積分式，在小張角的條件下這一積分式可以解出原函數，夫瑯禾費圓孔衍射合振動的函數式就可以由這一原函數導出。

1 聚焦條件下的菲涅爾圓孔衍射分析

圖1 菲涅爾圓孔衍射的光路分析

如圖1所示，點光源O發出的球面波經圓孔產生衍射，點O位于小孔的中心軸線上，AB為圓孔直徑。點光源對圓孔的張角∠AOB=2φ0，OA=OB=q0。DE為平行于圓孔面的球冠截面的直徑，且DE∥AB，P為該截面的圓心。顯然，OP為圓孔中心軸。C為該截面圓周上的任意一點，l1、l2、l3為透過圓孔的波面發出的3列次波，相互平行。次波l1的波源為B點，它與圓孔面法線n的夾角(即衍射角)為θ；次波l2的波源為D點；次波l3的波源為C點，∠COP=φ， ∠CPE=α。波線l1、l2位于經過圓孔中心軸的截面OAEDB內。

圖2 l3與l2的光程差分析示意圖

衍射角為θ的各平行次波經透鏡會聚于觀察點，計算它們到達會聚點的光程時以l1的光程為比較，l3與l1的光程差等于l3與l2的光程差加上l2與l1的光程差。

先計算l3與l2的光程差。如圖2所示，過C點作CF⊥DE，過F作l4∥l3，可以證明l3與l2的光程差等于l4與l2的光程差[1]。由OD=OE=q0、三角關系以及空氣的折射率近似等于1，算得l4與l2的光程差為：

δ1=q0sinφ(1+cosα)sinθ

(1)

再計算l2與l1的光程差。圖3是包括l1與l2的球扇形的軸截面圖，圖中BF⊥l2，DF即為l2與l1的光程差。令δ2=DF，可求得：

δ2=q0[cos(φ0-θ)-cos(φ-θ)]

(2)

于是次波l3與l1的光程差：

δ=δ1+δ2=q0sinφ(1+cosα)sinθ+q0cos(φ0-θ)-q0cos(φ-θ)

(3)

圖3 l2與l1的光程差分析示意圖

2 合振動的積分式

設次波l1到達觀察點的光程為s(θ)，則次波l3到達觀察點的光程為：

RC=s(θ)+δ=s(θ)+q0sinφ(1+cosα)sinθ+q0cos(φ0-θ)-q0cos(φ-θ)

(4)

則C點的面元ds發出的次波l3到達觀察點的振動可表示為：

dyC=C0cos[ωt-kRC]ds

(5)

(6)

將式(4)代入式(6)，得到波面上沿θ方向的各次波經透鏡會聚于觀察點的合振動的積分式：

(7)

3 小張角時菲涅爾圓孔衍射合振動的函數式

C0影響著合振動振幅極值的大小和位置，在φ0與θ不大的情況下，β、RC隨θ、φ、α的變化不大，從而使得C0隨θ、φ、α的變化不大，因此在近似的情況下，C0可以取常數(依然以C0表示)。在C0取常數時，可以用數值方法算出式(7)合振動的振幅分布，而在以下條件下，則能完成積分，求出式(7)的原函數。

當2φ0為小角時，sinφ0≈φ0、cosφ0≈1、sinφ≈φ、cosφ≈ 1，代入式(7)并將cos(φ0-θ)展開得：

(8)

(9)

由此得到小張角時菲涅爾圓孔衍射合振動的函數式：

y=H0cos[ωt-ks(θ)-kq0φ0sinθ]

(10)

4 夫瑯禾費圓孔衍射合振動的函數式

夫瑯禾費圓孔衍射相當于光源距離很遠時的菲涅爾圓孔衍射，滿足2φ0→0，且此時q0φ0=r(r為衍射圓孔的半徑)，于是由式(10)得到夫瑯禾費圓孔衍射合振動的函數式：

y=H0cos[ωt-ks(θ)-krsinθ]

(11)

5 結語

推導聚焦條件下菲涅爾圓孔衍射合振動的積分式的關鍵在于平行次波間光程差的計算，由此可以算出各平行次波在會聚點的光程。實際上，傾斜因數K(β)完全可以近似地等于cosβ，使積分表達式(7)成為具有確定函數形式的計算式，從而進行嚴格的數值計算。由積分表達式(7)可以導出小張角時菲涅爾圓孔衍射合振動的函數式，由這一函數式可以直接導出夫瑯禾費圓孔衍射合振動的函數式，這對傳統光學教材中的相關內容是一個很好的補充。

[1]母國光，戰元齡. 光學(第二版)[M].北京：高等教育出版社，2009:218～221.

[2]孫景亭. 菲涅爾圓孔衍射[J].天津理工學院學報，1995，11(2)：38～43.

[3]常山，毛杰健，桑志文，等. 單色點源圓孔衍射的數值模擬實驗[J].實驗室研究與探索，2010，29(6):14～17.

[4]Teng Shuyun，Li Guanghua，Zhang Chong，et al.The diffraction by a small aperture[J].OPTIK，2013，124(16):2507～2510.

[5]陳麗娜，陸霽，朱偉玲. 基于Matlab對菲涅耳圓孔衍射的模擬[J].實驗室科學，2014，17(4)：112～115.

[6]何孝衛，楊麗婷，楊光富，等. 圓孔菲涅耳衍射的蒙特卡羅數值模擬[J].云南大學學報(自然科學版)，2014，12(S2):208～212.

[編輯]洪云飛

2017-08-12

蘇海濤(1966-)，男，講師，現主要從事物理基本理論與實驗方面的教學與研究工作；htsu@yangtzeu.edu.cn。

引著格式蘇海濤.聚焦條件下菲涅爾圓孔衍射合振動的積分式及應用[J].長江大學學報(自科版)，2017,14(21)：69～71.

O436.1

A

1673-1409(2017)21-0069-03