再入飛行器離軌制動在線規(guī)劃方法

史樹峰 師 鵬 趙育善

北京航空航天大學，北京100191

再入飛行器離軌制動在線規(guī)劃方法

史樹峰 師 鵬 趙育善

北京航空航天大學，北京100191

研究了再入飛行器離軌階段的軌道規(guī)劃方法。基于軌道飛行原理，建立了沖量模型下離軌制動參數(shù)和再入點參數(shù)的關系，分析了最優(yōu)離軌的推力施加原則。在考慮地球自轉的前提下，針對約束再入點特定經(jīng)緯度的問題，利用非線性規(guī)劃的優(yōu)化方法，研究了有限推力模型下離軌點位置的確定策略，同時給出了符合燃料最優(yōu)目標的離軌制動參數(shù)。

再入飛行器；最優(yōu)離軌；有限推力；非線性規(guī)劃

隨著宇航技術的發(fā)展以及全球打擊作戰(zhàn)需求的出現(xiàn)，天基全球攻擊作戰(zhàn)方案受到了世界強國的普遍重視。此類研究一般以軌道或亞軌道高度再入大氣層，如美國提出的通用航空飛行器(CAV)概念就具有出色的作戰(zhàn)優(yōu)勢。CAV在待命狀態(tài)下由運行于400～500km高度潛伏軌道的平臺攜帶，接到攻擊命令后，平臺釋放CAV，CAV依靠離軌模塊的制動推力進入飛向地球的下降軌道[1-3]。

為使再入飛行器具備全球定位打擊能力，必須研究其在線離軌規(guī)劃方法。再入飛行器離軌過渡軌道的相關研究中，陳洪波等分析了離軌推力控制與相應的下降軌道再入角之間的關系[4]。高浩等以最短攔截時間為要求，提出了離軌過渡軌道的優(yōu)化算法[5]。

本文將再入飛行器的定點打擊作為研究目標，以再入飛行器從潛伏軌道轉移到距地面120km高度的再入點之間的離軌段和過渡段軌道為研究對象，對再入飛行器定點打擊的離軌制動時機和離軌控制參數(shù)進行了研究。首先分析了再入飛行器離軌任務特性，然后針對圓軌道潛伏軌道推導了沖量變軌模式下的最優(yōu)離軌軌道，繼而提出了有限推力變軌模式下最優(yōu)離軌關鍵參數(shù)的確定方法，最后通過模擬仿真驗證了方法的有效性。

1 再入飛行器離軌制動過程

再入飛行器的返回軌道是指飛行器返回地球并著陸到地球表面過程中質心的運動軌跡。返回軌道可分成4段： 1)離軌段軌道； 2)過渡段軌道； 3)再入段軌道； 4)著陸段軌道[6]。

圖1為再入飛行器的離軌再入過程。假設飛行器在原軌道ε1上以速度v1飛行。離軌模塊作用在離軌點D并施以制動速度Δv，使飛行器的速度變?yōu)関2，從原來的軌道進入到一條與地球大氣相交的橢圓過渡段軌道ε2上，并于120km高度處的再入點E開始以速度ve和再入角?e進入稠密大氣層。本文研究的對象就是從D點到E點的離軌段(有制動推力)和過渡段(無動力滑行)軌道，E點之后的再入段和著陸段軌道不在討論之列。

圖1 離軌再入過程示意圖

圖1中的離軌段和過渡段軌道，在給定δD和已知v1及?1，也即給定再入飛行器的離軌點D的位置時，離軌點D到再入點E之間的航程角δb的大小由過渡軌道ε2的軌道要素決定。過渡段軌道ε2可由D點的位置、離軌速度v2求得。再入點E就是ε2與大氣層上界的相交點。飛行器再入點的狀況，即再入點E的位置、再入速度ve和再入角(彈道傾角)?e，對飛行器能否成功返回有決定性的影響[7]。

一般認為從D點到E點間的軌道是無大氣阻力的空間軌道，E點之后的軌道是受大氣影響的氣動軌道。再入點E處的再入彈道傾角?e和再入對地速度ve會因氣動飛行的需要而有特定約束。因此，再入飛行器離軌制動規(guī)劃的任務可以描述成：根據(jù)飛行器當前飛行參數(shù)，選擇合適的制動發(fā)動機點火時機和制動推力參數(shù)，使飛行器經(jīng)過過渡段軌道到達指定的再入點經(jīng)緯度，并滿足任務要求的再入點速度參數(shù)，且制動過程具有燃料最優(yōu)的性能指標。

實際上，從離軌點開始到完成離軌進入過渡段軌道不是在一個點瞬時完成的，制動發(fā)動機獲得制動速度Δv需要一定的工作時間。本文將先用沖量模型對離軌制動過程進行分析，然后用有限推力模型進行實際規(guī)劃。

2 圓軌道最優(yōu)沖量離軌

由于變軌道面機動所耗燃料超出一般離軌制動任務所限，本文離軌制動過程限定在原軌道面內完成。

圓軌道潛伏軌道制動的制動點與再入點關系如圖2所示，假設原運行軌道為圓軌道，v1的方向即為當?shù)厮椒较颉＆誾為Δv與當?shù)厮降膴A角，圖中φz為負。同時定義χ=π+φz，圖中為正值。v1，?1和r1分別為制動點原軌道速度大小、方向和地心距，v2，?2和r2分別為制動后軌道速度大小、方向和地心距，ve，?e和re分別為再入點速度大小、方向和地心距，根據(jù)沖量假設，r1=r2。

圖2 圓軌道制動的制動點與再入點關系

由軌道力學可知

(1)

r2v2cos?2=revecos?e

(2)

其中，μ為地心引力常數(shù)，由圖2中三角關系可知

v2cos?2=v1-Δvcosχ

(3)

(4)

由式(1)知

(5)

其中，

(6)

將式(3)代入式(2)得

(7)

將式(7)和(4)代入式(5)得

(8)

令

(9)

則式(8)可寫成

(10)

對于圓軌道再入問題，因為再入點的地心距re和制動點的地心距r1=r2已知，即α為常數(shù)。可以看出，當給定一個χ角，一定可以找出一個Δv，使?e滿足要求，因此可以找到一個最佳制動角χ0，使Δv即燃料消耗最小，制動發(fā)動機工作時間最短。

為此，將式(10)對χ角求偏導得到

出現(xiàn)駐點的條件

(11)

上式中2個方程分別對應一個最優(yōu)值

(12)

其中，χ02的成立須滿足如下條件

(13)

當制動過程滿足方程式(13)時，χ02能使Δv為極值且為極小值；當不滿足方程式(13)時，應取χ01為制動方向，使Δv為極值且為極小值，而且此時

(14)

由于一般制動高度h0>300km，而且|?e|≤5°，不滿足式(13)條件，因此最佳χ0=0，且制動高度越高，Δvmin越大。所以在一般情況下，圓軌道制動方向以反向制動最佳。

由于再入段飛行狀態(tài)主要受再入彈道傾角影響，因此以上理論是在?e確定而對ve的大小不作要求時的討論，當任務對ve也確定的情況下，χ值對于給定離軌點有確定值。

3 有限推力離軌策略

作為返回任務的基礎，首先要確定合適的離軌點。再入飛行器的飛行軌道是確定的，任務下達時間是任意的，因此當接收到返回指令時，飛行器可能處于空間中的任意位置；而返回目標(這里指再入點位置)是基于經(jīng)緯度描述的相對地面固定位置(如圖3)，但在慣性系下是隨時間變化的，假設離軌時刻目標位置在P點，實際設計的軌道需要考慮到地球自轉因素而確定為P′點。因此在離軌點確定時，研究再入點慣性空間位置會使問題復雜化，考慮將軌道星下點作為主要參考對象。

圖3 離軌點選擇與目標位置的關系

再入飛行器過渡軌道的參數(shù)，完全由制動結束時的運動參數(shù)確定。當以軌道星下點為研究對象時，由于從離軌制動到進入再入點的過程不超過半個軌道周期，而且軌道形狀改變程度也不大，所以離軌后的星下點軌跡接近于原軌道星下點軌跡。因此標準過渡軌道應滿足如下要求：

1)離軌點在原軌道上，其軌道星下點軌跡應通過再入點地理經(jīng)緯度；

2)再入點傾角?e和再入速度ve應滿足任務要求。

為滿足這2點要求，可供調整的參數(shù)有制動點位置，即制動點的經(jīng)緯度，但為了保證制動點位置在原軌道上，實際可控參數(shù)只有經(jīng)度或緯度；另一可調整參數(shù)是發(fā)動機推力大小、方向和工作時間。

上節(jié)確定制動發(fā)動機推力方向的方法以瞬時沖量模型為基礎，而在實際情況下，發(fā)動機推力為有限值，速度增量并非沖量，為此需要使用非線性規(guī)劃方法確定離軌任務的各關鍵參數(shù)。

有限推力下的離軌動力學模型為

(15)

其中，μ為引力常數(shù)，T為發(fā)動機推力，m為飛行器質量，ap為需要考慮的攝動力，g0為海平面處重力加速度，Isp為發(fā)動機比沖。

在有限推力模式下，當推力的大小給定時，需要確定的是制動發(fā)動機推力的方向和工作時間。具體算法是以沖量法的制動角χ為基礎制動方向，通過計算得到滿足再入角要求的制動發(fā)動機工作時間t，再通過非線性規(guī)劃方法找出符合再入速度要求的最佳制動方向。這樣再入點的速度參數(shù)得到了滿足，但再入點位置并不滿足任務要求，須要在原軌道的星下點軌跡上搜索找出能準確到達再入點位置的制動起始位置。另外，為了保證離軌任務的精度，參數(shù)確定過程中需要考慮必要的攝動因素，由于離軌過程時間較短且在低軌道高度進行，所以本文主要引入了J2攝動項。

離軌制動點具體規(guī)劃策略如下：

第1步：選定制動點位置(B0,λ0)，用迭代方法求滿足?e和ve的制動發(fā)動機方向和工作時間tp。具體步驟為：

1)初選制動點(B0,λ0)：在星下點軌跡過再入點的運行軌道上(原軌道的第N圈)，選一制動點經(jīng)度λ0，根據(jù)第N圈星下點軌跡的數(shù)據(jù)求出與λ0對應的大地緯度B0；

2)求制動點(B0,λ0)相對應的制動發(fā)動機參數(shù)：由沖量模型計算制動點的初始推力方向，通過非線性規(guī)劃方法得到再入高度120km處滿足再入角要求的制動發(fā)動機工作時間。

第1步規(guī)劃實際上是帶約束的非線性規(guī)劃問題，其數(shù)學描述如下

(16)

其中，等式約束為規(guī)劃結果的再入點傾角須滿足任務要求。離軌制動規(guī)劃使用SNOPT非線性規(guī)劃方法[8]，并以第2節(jié)中沖量模型的計算結果作為規(guī)劃初值。

圖4 離軌制動參數(shù)規(guī)劃流程

第2步：對于第1步選定的制動點(B0,λ0)和制動點參數(shù)，計算再入點位置誤差Δe，迭代修正再入點位置，直到滿足任務要求。

第2步規(guī)劃實際上是在原軌道上對制動點的一維搜索，搜索方法選擇使用牛頓法。

第1、2步是不斷重復的過程，每一次由Δe修正(B0,λ0)時，也要重復第1步對發(fā)動機參數(shù)進行修正，流程如圖4所示。

4 離軌制動規(guī)劃仿真

根據(jù)前文介紹的方法，對離軌制動的具體任務進行模擬仿真。再入飛行器及發(fā)動機參數(shù)如表1所示。

表1 再入飛行器參數(shù)

初始軌道為高度400km的圓軌道，初始歷元為UTC 2016/10/1 20:00:00。其軌道根數(shù)如表2所示。

表2 初始軌道根數(shù)

再入點速度參數(shù)要求彈道傾角為-1.235°。

仿真中選取了3個不同緯度的目標再入點位置，滿足處于原軌道星下點軌跡上的要求，且處于星下點軌跡的不同軌道號上，如表3所示。

表3 再入點經(jīng)緯度

圖5 飛行器原軌道的星下點軌跡

為了選擇離軌制動點火時機，首先要對原始軌道星下點軌跡進行預報，如圖5所示，根據(jù)任務所給軌道參數(shù)，用12階地球引力場模型對飛行器初始軌道進行了24h預報，并計算其相應的星下點軌跡。以1號計算目標為例，實心圓點代表飛行器初始位置，箭頭指示飛行方向，空心方塊代表任務指定的再入點星下點位置，虛線代表5°緯度線。再入點位置恰好處于再入飛行器原軌道星下點軌跡上，而且是星下點軌跡西南-東北向與緯度線相交的位置。再入點位于飛行器初始歷元之后1周期左右的星下點軌道上，因此可以將方形代表位置的半周期之前的軌道位置作為離軌點規(guī)劃的初始選擇范圍。

仿真中使用了SNOPT非線性規(guī)劃方法，對于任意選定的離軌點位置，都能計算出最優(yōu)燃耗且滿足彈道傾角的推力方向和持續(xù)時間，這樣計算得到的再入點只符合高度約束，不滿足經(jīng)緯度約束。通過迭代調整離軌點，將再入點適配到目標位置上。實際結果如圖6，虛線表示原軌道第2圈的星下點軌跡，實線表示離軌段和過渡段軌道的星下點軌跡；實心圓點代表計算得到的離軌點星下點位置(11.3896°，-32.5323°)，星形表示離軌制動推力結束，自由下降段開始的位置，空心方形為任務要求的再入點位置，箭頭表示星下點軌跡方向。由圖可見，通過仿真得到的再入點位置符合任務要求(經(jīng)緯度誤差在0.01°量級)。在普通計算機上以Matlab平臺進行仿真，耗時10s左右，程序優(yōu)化后應能作為線上計算工具。類似得到其他2組仿真，由于離軌任務相似，制動過程參數(shù)相差不大，主要差別為離軌時刻，具體的離軌點參數(shù)如表4。

表4 離軌制動參數(shù)規(guī)劃結果

圖6 離軌過程的星下點軌跡

通過仿真得知，當飛行器軌跡過再入點星下點時，可以通過有限推力的優(yōu)化計算得到關于離軌點的一系列參數(shù)。而當飛行器星下點軌跡遠離再入點時，需要預先通過軌道機動調整軌道，將軌道星下點調整到過再入點的狀態(tài)，再利用本文的方法進行規(guī)劃計算。

5 結論

研究分析了指定再入點飛行任務中，再入飛行器在線規(guī)劃離軌制動參數(shù)的方法。

首先根據(jù)飛行器當前軌道參數(shù)和目標再入點參數(shù)，利用沖量模型計算離軌參數(shù)初值；進而使用有限推力假設計算燃料最優(yōu)的實際推力方向和推力時間，并利用非線性規(guī)劃方法確定離軌制動的點火時機。本文方法對于約束飛行器再入點經(jīng)緯度的一類問題有良好的規(guī)劃結果，對其他關于再入飛行器離軌制動段的研究具有參考價值。

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TheOn-LinePlanningMethodforDeorbitProblemofReentryVehicles

Shi Shufeng ， Shi Peng， Zhao Yushan

Beijing University of Aeronautics and Astronautics, Beijing 100191, China

Thetrajectoryon-lineplanningofreentryvehiclesisconstrainedbytheparametersofthereal-timeorbitandtheaimingreentrypoint.Thedeorbitcontrolparametersdeterminethetransitionorbitandinturndominatetheconditionandprecisionofthereentrypoint.Basedontheprinciplesoforbitalflight,therelationshipbetweendeorbitparametersandreentrypointparametersisestablishedwiththeimpulsethrustmodel.Thenthemethodoftheoptimalthrustdirectiondeterminationisdeveloped.Byconsideringtheinfluenceofearthrotationandfinitethrust,thestrategyofsearchingtheoptimaldeorbitfireoccasionisresearchedwiththenonlinearprogrammingmethod.Andthedeorbitcontrolparametersaredeterminedasaresultofthisapproach.

Reentryvehicle;Optimaldeorbit;Finitethrust;Nonlinearprogramming

V412.4

A

1006-3242(2017)05-0025-05

2017-01-23

史樹峰(1987-)，男，煙臺人，博士研究生，主要研究方向航天動力學與控制；師鵬(1981-)，男，西安人，博士，講師，主要研究方向航天動力學與控制；趙育善(1957-)，男，西安人，博士，教授，主要研究方向航天動力學與控制。