黎卡提方程的解法

張孟霞，郭春曉

摘要：17世紀，意大利數學家黎卡提提出方程：■=p（x）+q（x）y+r（x）y■稱為黎卡提方程。黎卡提方程有著重要的應用，比如，可用此方程證明貝塞爾方程的解不是初等函數；另外，它也出現在現代控制論和向量場分支理論的一些問題中。黎卡提方程自從17世紀黎卡提提出以來，歷經了三百多年一直未有一般解法，雖然有眾多特例解法，但是未能從根本上解決這個方程。本文主要利用無窮小生成元的思想介紹黎卡提方程的幾種解法。

關鍵詞：黎卡提方程；無窮小生成元；李積分因子；典型變量

中圖分類號：G642.0 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2017）45-0164-02

一、黎卡提方程的幾種等價形式

黎卡提方程的一般形式為：

y'=p（x）+q（x）y+r（x）y2（1）

1.方程（1）可以通過變換y=-r（x）y寫為：

y'+y2=p（x）+q（x）y （2）

其中，q=q+■，p=-rp

2.方程（2）可以通過變換■=y-■q（x）寫為：

■'+■2=■（x）（3）

其中，■=-■q'+■q2+p

3.方程（2）可以通過變換y=■寫為一個二階線性方程：u"=q（x）u'+p（x）u（4）

二、黎卡提方程可線性化的充分條件

定理：黎卡提方程（1）可線性化的充分條件為：（A）方程（1）有形式y'=q（x）y+r（x）y2，或有形式y'=p（x）+q（x）y+k（q（x）-kp（x））y2，其中k為常數；（B）方程（1）有一個常數解。當方程（1）滿足（A）、（B）條件中的任何一個時，則方程可線性化。

例：將方程y'=q（x）y+r（x）y2（伯努利方程）線性化。

解：將方程左右兩邊同時除以y2可得：

y-2y'=q（x）y-1+r（x）

令z=y-1則上式可轉化為一階線性微分方程：

z'=-q（x）z-r（x）

三、黎卡提方程的通解

1.黎卡提方程的性質。方程（1）的任意四個特解的交比為常數，即若y1、y2、y3、y4為四個特解，則：

■∶■=c（c為常數），

假設y1、y2、y3是黎卡提方程（1）的三個不同特解，則由上述式子可得方程（1）有如下形式的通解：

y=■，

其中φ1=y2（x）-y3（x），φ2=y3（x）-y1（x），ψ1=y1（x）φ1（x），ψ2=y2（x）φ2（x）.

2.利用李積分因子法求解黎卡提方程的通解。首先介紹無窮小生成元。假設一個一階常微分方程具有單參數的李對稱，在點（x，y）處的切向量為（？孜，？濁）則偏微分算子X=？孜（x，y）？墜x+？濁（x，y）？墜y （5）被稱為李群的無窮小生成元。

考慮如下寫成對稱形式的一階微分方程：

P（x，y）dx+Q（x，y）dy=0（6）

李指出，如果（5）是方程（6）的無窮小生成元，并且？孜P+？濁Q≠0那么函數μ=■ （7）是方程（6）的一個積分因子，并稱為李積分因子。

例1：利用李積分因子法求黎卡提方程（y2-■）dx+dy=0 （8）的通解。

解：該方程存在伸縮變換群：x=xea，y=ye-a，因此有如下的無窮小生成元：

X=■ ■+■ ■=x■-y■

從方程以及上述方程可以看出：

？孜=x，？濁=-y，P=y2-■，Q=1

將以上式子代入（7）可得積分因子：

μ=■，

在方程（8）兩邊乘以上述積分因子，可得：

■dx■dy=0

這是一個全微分方程d？椎（x，y）=0，則

？椎（x，y）=■■dx■dy

=■■dx+■■dy=lnx+■ln■，

方程的通解為？椎（x，y）=c即：

lnx+■ln■=lnc，

化簡得：y=■

3.利用典型變量方法求黎卡提方程的通解。

如果無窮小生成元（5）經過變量變換u=u（x，y），

t（x，y）變成X=■我們則稱變量u、t為典型變量，典型變量滿足如下方程：

？孜（x，y）■+？濁（x，y）■=1（9）

？孜（x，y）■+？濁（x，y）■=0（10）

例2：利用典型變量法求黎卡提方程 ■+y2-■=0 （11）的通解。

解：由例1可知黎卡提方程具有無窮小生成元 X=x■-y■，將？孜=x，？濁=-y代入方程（9）、（10）可得：

x■-y■=1，x■-y■=0.

解以上方程，我們可取典型變量：u=xy，t=ln|x|.用典型變量u、t將方程（11）改寫為：

■=-u2+u+2

這是一個可分離變量的微分方程，解得：

u=■，

將u=xy，t=ln|x|代入上式，并化解得方程（11）的通解為：

y=■

參考文獻：

[1]Hydon Peter E.Symmetry Methods for Differential Equations[J].Cambridge University Press，2000.

[2]李鴻祥.常微分方程的一些新的可積類型[J].數學的實踐與認識，1980，（1）.

[3]李天林.黎卡提方程可積的一個充分條件[J].數學學報，1991，（5）.endprint