經濟類數學模型的應用與研究

韓旭++韋俊++唐彩娟++劉龍躍

摘 要：實際生活中復雜多變的經濟現象向數學提出了新的問題和挑戰，也敦促著我們更深入地研究數學方法在經濟學的應用。本課題主要針對經濟學中的常見問題并為之建立合適的數學模型，將二者有機結合。

關鍵詞：經濟 數學模型 設計

中圖分類號：G64 文獻標識碼：A 文章編號：1672-3791（2017）10（a）-0255-02

隨著現代科技和經濟社會的不斷發展，經濟和數學的融合隨之不斷加強，二者相輔相成，密切相連。為了描述現實的問題，我們通過學習與研究，建立有關投入產出表的經濟類模型。

1 投入產出表的結構

投入產出表或投入產出模型是投入產出理論的表現形式與具體運用的基礎。投入產出表或投入產出模型種類很多，但是，靜態全國產品投入產出表或投入產出模型是一種基本的模式，通過它可以了解投入產出法的基本原理及應用。

價值型投入產出表是以國民經濟中的“純”部門，即以同類產品的綜合體為部門來進行編制的，它將各部門的投入與生產成果用價值形式表現出來。

在價值型投入產出表中，中間投入與增加值之間的橫線和中間使用與最終使用之間的豎線將表分成了四個象限，基本表式見表1。

第Ⅰ象限是中間流量象限，反映國民經濟各部門間的生產技術聯系。主欄和賓欄都是產品部門，橫行和縱列的部門名稱、部門個數以及部門的排列順序都完全相同。第Ⅰ象限中的元素Xij從橫行看，表示i產品分配給j部門作生產使用的數量；從縱列看，表示j部門生產中消耗的i產品數量。

第Ⅳ象限是最終使用象限。它是第Ⅰ象限在水平方向的延伸，主欄與第Ⅰ象限相同，是產品部門，賓欄是最終使用X，包括最終消費、資本形成總額和凈出口三項。這象限是把支出法國內生產總值的各個項目，按產品部門進行了分解，反映社會最終使用產品的部門構成和項目構成。

第Ⅲ象限是增加值象限。它是第Ⅰ象限在垂直方向的延伸，賓欄與第Ⅰ象限相同，是產品部門，主欄是增加值N的各個項目。這一象限是把收入法或分配法增加值的各個項目，按產品部門進行了分解，反映增加值的項目構成和部門構成。各個部門的增加值之和是國內生產總值，從生產的角度，增加值等于總產出減中間收入；從收入或分配的角度，增加值等于固定資產折舊、勞動者報酬、生產稅凈額、營業盈余之和。

第Ⅳ象限是由第Ⅱ和第Ⅲ象限共同延伸組成的，為理論象限。這一象限理論上反映增加值經過分配和再分配，形成各個部門的最終收入，這些最終收入用于多種最終使用。

2 價值型投入產出表的平衡關系

價值型投入產出表中的平衡關系只要包括行平衡關系、列平衡關系。在行或列平衡關系中又分同一個部門的平衡關系和全社會的平衡關系兩種表述。

行平衡關系，是把第Ⅰ和第Ⅱ象限聯系起來，反映產品的分配使用去向而表現出的恒等關系：中間使用+最終使用=總產出。

對同一個部門，用式子表示是：

（i=1，2，…，n） （1）

對全社會平衡有：

（2）

其中，i表示橫行部門，j表示縱列部門；Yi表示i部門的最終使用合計，Xi表示i部門的總產出。

行平衡等式也稱為分配方程組。

列平衡關系，是把第Ⅰ和第Ⅱ象限聯系起來，反映產品部門各種投入而表現出的恒等關系：中間使用+最初投入（增加值）=總投入。

同一個部門的平衡關系用式子表示為：

（j=1，2，…，n） （3）

其中，表示j部門消耗的各種產品的轉移價值，Dj+Vj+Tj+Mj=Nj是j部門創造的增加值部分。

全社會平衡用式子表示為：

（4）

其中，表示全社會總產品的轉移價值，表示全社會的增加值之和即國內生產總值。

列平衡等式也稱為生產方程組。

除了上述分配方程組和生產方程組外，價值型投入產出表還反映了其他一些平衡關系。

同一部分的總產出與總投入相等，也就是同一部門的生產方程與分配方程相等：

（i=j=k；k=1，2，…，n） （5）

全社會的總產出與總投入相等：

（6）

其中，為Ⅰ、Ⅱ象限之和，為Ⅰ、Ⅲ象限之和；和都是對第Ⅰ象限求和，當然是相等的，把它們消去后有第Ⅱ象限合計等于第Ⅲ象限合計：

（7）

（7）式表示全社會最終使用的價值與全社會各個部門增加值之和即國內生產總值相等，這與國內生產總值的概念是一致的。

3 基本的投入產出模型

投入產出模型是建立在一些相對穩定的系數基礎上的。最基本的投入產出系數是直接消耗系數。所謂直接消耗系數是生產單位j總產出要直接小號的i產品數量，即（i，j=1，2，…，n）。

把直接消耗系數（i，j=1，2，…，n）引入（1）式，就得到投入產出行模型。

另A表示直接消耗系數矩陣，I表示n階單位矩陣，X和Y表示各部門總產出列向量和最終使用列向量，即：

則（1）式可以寫成：

AX+Y=X （8）

整理有：

（9）

（10）

（9）式和（10）式是最基礎的模型，它們建立了總產出與最終使用之間的聯系，在已知總產出列向量X或最終使用列向量Y的條件下，利用投入產出表計算出直接消耗系數矩陣，就可以求得最終產出列向量Y或總產品列向量X。

引入（3）式得到如下的投入產出列模型。

以表示如下的對角矩陣：

再分別以N表達增加值列向量，即：

則（3）式可以寫成：

（11）

整理有：

（12）

（13）

（12）和（13）反映了總投入與增加值之間的聯系。

4 結語

數學這門基礎學科不僅在工程技術等傳統應用領域發揮越來越重要的作用，而且迅速的向一些新的領域滲透，本文我們對投入產出表的結構與模型、首次購買的新產品擴散模型：Bass模型進行了探索和研究，得出了一些結論。

參考文獻

[1] 李季，張麗君.快速消費品新產品擴散模型[M].北京：化學工業出版社，2010.

[2] 向蓉美，孟彥菊.地區投入產出模型擴展研究[M].成都：西南財經大學出版社，2011.endprint