光鑷模型的矢量衍射矩陣化方法與應用研究

張冠鳴，譚勇

（長春理工大學 理學院，長春 130022）

光鑷模型的矢量衍射矩陣化方法與應用研究

張冠鳴，譚勇

（長春理工大學 理學院，長春 130022）

光鑷是生物物理以及生物工程領域的一種重要工具，光鑷模型及其求解是目前的一個研究重點。根據矢量散射的基本原理和米氏散射作用，提出了一種將矢量衍射方程矩陣化的方法，該方法把經過透鏡匯聚的入射光束進行平面波分解，結合米氏散射公式與旋轉變換，然后導出了散射光場的矩陣形式，最后將該矩陣應用于模擬計算米氏散射的光場。此方法不限制光束的波長，不但簡化了運算難度，也獲得了與無散射情況下的矢量衍射計算、有散射情況下的瑞利近似計算各自相同的結果。本文的研究方法可應用于具有一定大小粒子的散射計算，為進一步控制光鑷行為提供了依據。

矢量衍射；米氏散射；光鑷

在生物物理以及生物工程領域，光鑷是用來操縱分子的一種重要工具。它利用渦旋光束的輻射作用和粒子的散射效應來操縱分子［1-2］，在DNA分子的操作、細胞的夾取和成像中均有重要應用［3］。在之前的文章中，研究了瑞利條件下粒子在渦旋光束下的行為，但當粒子的尺寸接近光束波長時，瑞利近似會帶來很大的誤差。而米氏散射的計算又很復雜。為此提出了一種將矢量衍射方程矩陣化方法，并應用于米氏散射的光場計算。將透鏡匯聚的入射光分解，旋轉變換，照射到球形粒子后進行散射疊加，具體設計了相應的算法并對算法進行了驗證，避免了復雜方程的求解，簡化了計算復雜度。在實際應用中為進一步控制光鑷行為提供了理論依據。

1 矢量衍射方程的矩陣化

依據基爾霍夫衍射定理，在一般情況下，透鏡匯聚光束的電場矢量和磁場矢量衍射方程可以分別描述為［4］：

其中，f是焦距，i是虛數單位，而公式中fi(θ,φ)和gi(θ,φ)分別代表透鏡對平面波波矢量和偏振方向的旋轉，在笛卡爾坐標上分別表示為：

公式（1）和（2）分別描述了透鏡對電場和磁場的會聚作用。此時，平面波經過透鏡前后的單位波矢量分別用k?0和k?1代表，而旋轉前和旋轉后波矢量的夾角稱之為旋轉的角度，相應的合成矢量為旋轉矢量，如圖1所示。

圖1 透鏡匯聚示意圖

如果平面波在均勻電中性介質中傳播再到達透鏡，經過透鏡前的單位波矢量可寫為：

通過透鏡出射后的波矢量為：

旋轉矢量為：

而旋轉的角度為：

帶入到旋轉矩陣中［5］

得到：

令電場的偏振方向為x方向，經過旋轉后存在：

經過三角函數變換之后可以得出積分公式（1）中的fi(θ,φ)與公式（4）表征的向量是相等向量，該向量表示為：

故而可以將積分公式寫成如下形式（假定磁場的偏振方向是y方向）：

將衍射公式改寫為矩陣形式以后將有利于米氏散射場的計算。

2 矢量衍射光場的米氏散射

米氏散射可直接求解平面波的亥姆霍茲方程，得出在電中性介質中的散射光場球坐標表達式，得出的電場和磁場可表示為級數求和［6］。設定入射平面波電場的偏振方向為x軸，磁場的偏振方向為y軸，波矢量方向為z軸，并在此基礎上建立球坐標系。結合矢量衍射和米氏散射，計算任意光束經過透鏡會聚后產生的散射場。利用方程的線性性質和旋轉變換方法，避免重新求解亥姆霍茲方程，簡化計算步驟和復雜程度。為了表示方便，定義電場E?經過球形物體的米氏散射后變?yōu)椋@是一個線性變換算符，散射后的電場為：

為了得到散射場，先看一下米氏散射公式（1）和（2）使用的坐標系（圖2和圖3），米氏散射的坐標系為X1，Y1，Z1坐標系，Z1平行于波矢量而電場與X1軸平行。求得的米氏散射的電場也是在X1，Y1，Z1坐標下的表示。

圖2 米式散射所使用的坐標系

將所有結果表示在圖2和圖3所示的xyz坐標系統(tǒng)中，首先將（X1，Y1，Z1）坐標平移至透鏡的焦點，通過相應的坐標變換得到的散射場就是在（X，Y，Z）坐標下的表示，對任意向量有：

公式（7）是一個被動坐標變換，電場不參與變換，只是相應坐標改變了。而公式（6）中旋轉矩陣［Mrot］是主動變換，也就是對電場本身的旋轉。值得注意的是，公式（6）也需要經過坐標變換，但其中的θ,φ分別是波矢量與Z軸負方向的夾角，波矢量在xy平面的投影與x軸的夾角，并不受平移變換的影響。

3 計算和結果

3.1 算法

將矢量衍射方程矩陣化并應用于米氏散射后，設計了相應的算法進行模擬計算，具體算法如下：

（1）離散化球坐標r,θi,φi，并定義網格

（2）計算（X1，Y1，Z1）坐標表示下的離散米氏散射場

（3）將其轉換為直角坐標

（4）坐標變換到（x，y，z）坐標系

（5）旋轉電磁場

（6）帶入公式（6）進行數值積分，即可得到在半徑為R的球形粒子散射場。

3.2 算法驗證

下面將通過兩種特殊情況驗證以上算法：

圖4 無散射情況下光強分布

圖5 當粒子半徑遠小于入射波長時光強分布

從圖4和圖5的結果可以看出，矢量衍射方程矩陣化，對粒子有無散射場均起到了有效模擬計算效果。無散射場時粒子衍射光強主要在以θ≈1.6rad、φ≈4rad區(qū)域附近，光場呈近矩形分布；而有米氏散射和瑞利散射場的粒子，被光場捕獲時，除了θ≈1.5rad、φ≈3rad中心區(qū)域，還存在其他分離區(qū)域的光場分布，并且，中心區(qū)域的散射光場的角度位置相對于無散射場略有微小偏移，整個散射光場圖形向近橢圓演化。這樣的結果與渦旋電場及其偏振機制有很大的關聯。

4 結論

為了研究各種光束及散射粒子光鑷的性質，依據矢量衍射方程，針對無散射場、有米氏散射和瑞利散射場的粒子被光鑷捕獲這兩種情況，模擬了渦旋光場場強分布。由于瑞利散射條件和平行軸近似的限制，大多數情況下的散射場和受力很難得出。然而，如此復雜的模型和高難度計算，通過將矢量衍射方程矩陣化，再應用于米氏散射計算模型，不但簡化了運算難度，也獲得了與無散射情況下的矢量衍射計算、有散射情況下的瑞利近似計算各自相同的結果。證明了這種矢量衍射方程矩陣化的正確性和高效率。以后的工作將繼續(xù)集中在：分別針對普通均勻分布的光束和渦旋光束，用這一方法模擬光鑷的行為，提高研究準確性和效率。

［1］Mas J，Farre A，Cuadros J，et al.Understanding optical trapping phenomena：a simulation for undergraduates［J］.IEEE Transactions on Education，2011，54（1）：133-140.

［2］任智斌，姜會林，付躍剛，等，微球體與微橢球體光散射特性的研究［J］.長春理工大學學報：自然科學版，2006，29（1）：28-31.

［3］Lang M J，Block S M.Laser-basedoptical tweezers［J］.American.Journal of Physics，2003，71（3）：201-215.

［4］Richards B，Wolf E，Electromagnetic diffraction in optical systems.II.Structure of the image field in an aplanatic system［J］.Mathematical and Physical Sciences，1959，253（1274）：358-379.

［5］Taylor C J，Kriegman D J.Minimization on the Lie group SO（3） and related manifolds［M］.Yale University，1994.

［6］Bohren C F，Huffman D R.Absorption and scattering of light by small particles［M］.Wiley，New York，2008：83-129.

［7］Jackson J D.Classical electrodynamics［M］.3rd ed.Wiley，New York，1975：456-462.

The Study on Method and Application about the Vector Diffraction Matrix of Optical Tweezers

ZHANG Guanming，TAN Yong
（School of Science，Changchun University of Science and Technology，Changchun 130022）

Optical tweezers are an important tool in biophysical and bioengineering fields which model and solution are the main research points recently.According to the basic principle of vector scattering and Mie scattering effect，a vector diffraction equation matrix method is proposed in this paper where a plane wave decomposition is done after it went through the lens and is combined with Mie scattering formula and rotation transform.Finally the matrix was applied to simulation of the Mie scattering field.This method does not restrict the wavelength of the light beam.It does not only simplify the calculation difficulty，but also get the same vector diffraction calculation results as other two methods including of the vector diffraction calculation without and with Rayleigh approximation.The research method can be applied to the scattering calculation of particles with a certain size，which provides a basis for further controlling the behavior of optical tweezers.

vector diffraction；Mie scattering；optical tweezers

O436.2

A

1672-9870（2017）05-0036-04

2017-08-12

張冠鳴（1992-），男，碩士研究生，E-mail：739863391@qq.com