基于加權平滑l0范數的單快拍波達方向估計

單澤彪，劉小松，王春陽，陳淼，石要武

（1.長春理工大學 電子信息工程學院，長春 130022；2.吉林大學 通信工程學院，長春 130022）

基于加權平滑l0范數的單快拍波達方向估計

單澤彪1，劉小松1，王春陽1，陳淼2，石要武2

（1.長春理工大學 電子信息工程學院，長春 130022；2.吉林大學 通信工程學院，長春 130022）

針對現有基于壓縮感知的DOA估計算法估計精度不高的問題，提出一種基于加權平滑l0范數的單快拍DOA估計算法。所提算法采用一種新的加權方式，在構造一個恰當的平滑連續函數后，根據接收數據的初始解確定一個合適的遞減的{σ}序列[σ1,σ2,…,σJ]，并對每一個σ值，用最速下降法來求解l0范數的逼近函數Hσ(S)的最小值；然后將該σ值作為下一次迭代的初始值，并在每次迭代開始時更新權值，通過多次的迭代獲得逼近函數的最小解，即逼近的最小l0范數。通過仿真實驗表明所提算法可對DOA進行有效估計，且容易實現、精度較高，與未加權的改進平滑l0范數DOA估計方法相比具有更好的估計性能。

陣列信號處理；DOA估計；壓縮感知；加權平滑l0范數

波達方向（Direction of Arrival，DOA）估計在陣列信號處理領域中占據著十分重要的地位，其廣泛應用于電子對抗、雷達探測等方面，近年來學者們對此進行了大量的研究，取得了顯著成果［1-3］。最大似然（Maximum Likelihood，ML）［4］估計方法是DOA估計方法中性能最優的一種，但其在求解過程中需要非線性多維搜索，計算量巨大。除此之外，還有兩大經典的子空間分解類算法，即多重信號分類（Multiple Signal Classification，MUSIC）算法［5］和信號參數旋轉不變（Estimation Signal Parameter via a Rotational Invariant Technique，ESPRIT）算法［6］。其中，MUSIC算法及其改進算法通過對陣列接收信號的協方差矩陣進行分解，得到兩個正交的信號子空間和噪聲子空間以構造譜峰，在良好條件下，其估計精度可達到克拉美羅下限，但該算法需要譜峰搜索。ESPRIT算法則避免了譜峰搜索，但在相同條件下的估計性能略遜于MUSIC算法。以上兩類算法通常對快拍數的要求較高，且無法直接處理相干信號源的角度估計問題。盡管以上算法可以通過平滑處理的方法來解決相干源的問題，但這樣會損失一定的陣列孔徑，使得分辨力下降，且增加了計算量。

壓縮感知（Compressed Sensing，CS）［7-8］理論的提出則為上述問題提供了新的解決路徑。CS理論的處理對象是稀疏信號，其所需的采樣頻率遠低于采樣定理的要求，同時對相干信號也具有天然的解相干性。近年來，CS理論受到了學者們的極大關注，該理論中的許多重構算法都被用于空間目標的DOA估計［9-12］。其中貪婪算法［9］是獲得廣泛應用研究的方法之一，該算法的關鍵之處在于找到測量矩陣中提供能量最大的某列原子，然后反復不斷地迭代直到終止條件。貪婪算法的計算復雜度較低，但通常得不到最優解，導致精度不高。l1-SVD（l1-norm Singular Value Decomposition）［13］算法是另一種得到廣泛關注的方法之一，為了降低計算量，該算法首先對接收數據進行奇異值分解，然后利用凸優化理論中的l1范數重構算法將目標信號的DOA重構出來，能夠在較少快拍數的情況下實現DOA的精確估計，且相干信源對恢復過程沒有影響。但該算法重構過程復雜，在大型陣列結構中應用的難度較大，并且算法中需要用經驗的方法來給定平衡稀疏度與噪聲的參數，而該值的選取會對最終的估計效果造成較大的影響。

平滑l0范數（Smoothedl0norm，SL0）算法是一種有效的壓縮感知重構算法，其在2009年由Mohimani等人首次提出后，便取得了大量的研究成果［14-16］。平滑l0范數算法的核心思想是構造一個恰當的平滑函數來近似信號的l0范數，這樣就將l0范數的優化問題轉化為了平滑函數的極值問題，避免了直接求解信號的l0范數這一復雜的過程。為進一步改善近似效果，本文采用一種新的加權方式對平滑l0范數進行加權處理，提出一種基于加權平滑l0范數（Weighted Smoothedl0norm，WSL0）的DOA估計算法。所提算法對陣列的接收數據量要求低，僅用單個快拍就能對DOA進行較高精度的估計。本文最后在不同條件下對所提算法進行仿真實驗，并與未加權的改進平滑l0范數DOA估計算法進行對比，以驗證所提算法的有效性。

1 壓縮感知理論的陣列接收數據模型

在陣列信號處理領域中，空間目標信號源總是有限的，因此在任意觀測時刻，其相對于整個觀測空間來說都是稀疏的［12］。故空間目標信號可直接表示成稀疏信號。

假設一個均勻線陣由M個位置分別位于的陣元組成，觀測空間中有K個DOA分別為的遠場窄帶目標信號源。均勻線陣的接收范圍是，將該范圍內的整個空間按等角度劃分為2N+1份，則表示所有可能的DOA集合，其中從信號能量分布的角度上看，空間中只有在K個真實目標信號源的DOA上才有能量分布，其他方向均沒有能量分布。所有可能的DOA集合的每個角度都與一個導向矢量一一對應，導向矢量矩陣即陣列流型矩陣為，它是一個M×(2N+1)維的矩陣，在壓縮感知理論框架下是一個過完備冗余字典，起測量矩陣的作用，其中

則某觀測時刻線陣的接收數據為：

2 算法原理

針對式（1）中稀疏向量S的重構問題，可以通過式（2）所示的最小化l0范數方法來求解：

式中，ε表示噪聲水平表示向量的l0范數，但式（2）是一個NP-hard問題，直接求解難度極大，不適用于DOA估計。平滑l0范數重構算法將式（2）的求解轉化為平滑函數的極值問題，則避免了難度極大的直接求解過程，可實現DOA的高效估計。

式中，wi表示選取的權值。根據l0范數的定義，在理想狀態下有：

考慮噪聲存在的情況，有：

顯然，式（6）的加權方式滿足式（5）的要求。經過加權后，平滑函數hσ( )wi,si更能趨近si的l0范數，則可以由下式表示：

因此，式（2）可以通過式（8）求出：

式中,σ的大小表示逼近的程度。選擇一個遞減序列 σ1,σ2,σ3,…,σn，然后對每一個 σi所對應的目標函數進行優化求解，直到σi足夠小，此時便可得到逼近的最優解。

基于加權平滑l0范數的DOA估計算法包括兩個循環。首先根據接收數據的初始解確定一個恰當的遞減的{σ}序列，序列的個數為 J ，σJ表示序列的最小值，外循環則控制σ的取值由大到小。然后對每一個σi值，采用最速下降法來求解Hσ(S)的最小值，最后將該σi值作為下一次迭代的初始值。內循環則是梯度投影的過程。下面給出基于加權平滑l0范數的DOA估計算法的詳細步驟：

（1）初始化：初始解為X=AS的最小l2范數解

（2）令σ=σj，l=1，采用最速下降法通過L次迭代來求解函數Hσ()S的最小值：

（a）計算權值：

（b）求解-Hσ()S的梯度：

（e）l=l+1 ，如果 l＜L ，重復（a）、（b）、（c）和（d）的過程。

（3）j=j+1，σj=ησj-1（η表示{}σ序列遞減因子），重復步驟2），直到 σj＜σJ，則此時得到的解就是S的最稀疏解?。

3 仿真實驗分析

本節將通過仿真實驗驗證所提算法（WSL0）的可行性，并與未加權的改進平滑l0范數DOA估計算法（ISL0）進行實驗對比來分析其性能。實驗中將觀測空間按等角度劃分為181個網格，每個網格為1°；陣列結構為均勻線性陣列，陣元間距為半波長，噪聲為加性高斯白噪聲。各算法采用的快拍數均為1，在求解DOA估計的均方根誤差( )RMSE時均進行5000次蒙特卡洛獨立實驗，其定義為：

式中，K表示空間目標信號源總的個數；Mc表示總的蒙特卡洛獨立實驗次數；θkm表示第k個空間目標信號源在第m次實驗的DOA真實值；θ?km表示空間目標信號源的DOA估計值。

實驗一：設空間中三個窄帶目標信號源的DOA分別為 -20°、0°和 30°，其中DOA為 -20°和 0°的信源為相干信源。在信噪比SNR=5dB和線陣陣元數M=16的情況下，本文所提WSL0算法的DOA估計效果如圖1所示。

圖1 所提算法的DOA估計效果

由圖1可知，三個最大譜峰所在位置即為三個空間目標信號源的DOA，這表明本文所提算法是有效可行的，在較低信噪比情況下依然能夠準確地估計出目標信號源的DOA，且所提算法不受相干信號源的影響，同樣成功地估計出了相干信號源的DOA。同時，由于本文所提算法的迭代過程始終與信號源個數無關，在經多次迭代得到信號的空間譜之后，較大譜峰個數就是信號源的個數。因此，信源數是否已知對本文所提算法的DOA估計性能影響有限。

實驗二：不同信噪比時的估計精度對比實驗。設空間兩個窄帶目標信號源的DOA分別為0°和30°，線陣陣元數M=16。兩種算法在各信噪比條件下的DOA估計均方根誤差和成功概率（估計偏差小于或等于1°的次數）如圖2和圖3所示。

由圖2和圖3可知，兩種算法的均方根誤差都隨著信噪比的增加而不斷減小，同時估計成功概率不斷增大。當信噪比大于等于6dB時，兩種算法的均方根誤差保持基本一致并已降至1°以下，且估計成功概率均接近100%，但當信噪比小6dB時，本文所提WSL0算法與ISL0算法相比較明顯具有更小的均方根誤差和更高的成功概率，優勢更加突出，充分說明了本文所提算法在較低信噪比條件下具有更好的DOA估計性能。

圖2 不同信噪比時DOA估計的均方根誤差

圖3 不同信噪比時DOA估計的成功概率

實驗三：不同陣元數時的估計精度對比實驗。設空間兩個窄帶目標信號源的DOA分別為0°和30°，信噪比SNR=5dB。兩種算法在各陣元數不同條件下的DOA估計均方根誤差和成功概率（估計偏差小于或等于1°的次數）如圖4和圖5所示。

圖4 不同陣元數時DOA估計的均方根誤差

圖5 不同陣元數時DOA估計的成功概率

由圖4和圖5可知，兩種算法的均方根誤差都隨著陣元數的增加而不斷減小，同時估計成功概率不斷增大。當陣元數小于16時，本文所提WSL0算法優勢更加顯著，而當陣元數大于等于16時，兩種算法的均方根誤差都已小于1°，但WSL0算法的估計效果仍然更好，當陣元數等于20時，本文所提WSL0算法的估計成功概率達到100%。以上分析表明：本文所提WSL0算法具有比ISL0算法更好的DOA估計性能。

4 結論

為了提高單快拍條件下DOA估計的精度，本文在壓縮感知理論框架下，提出一種基于加權平滑l0范數的單快拍DOA估計算法。所提算法采用一種新的加權方式，在構造一個恰當的平滑連續函數后，根據接收數據的初始解確定一個合適的遞減的{}σ序列并對每一個σ值，用最速下降法來求解l0范數的逼近函數Hσ()S的最小值；然后將該σ值作為下一次迭代的初始值，并在每次迭代開始時更新權值，通過多次的迭代獲得逼近函數的最小解即逼近的最小l0范數。所提算法可對DOA進行有效估計，且容易實現、精度較高，與未加權的平滑l0范數DOA估計算法相比具有更好的估計性能。仿真實驗結果表明：所提算法在信噪比SNR=6dB、陣元數M=16且單快拍的條件下，對兩個目標信號DOA進行估計的均方根誤差為0.8390°，成功概率為98.35%。

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Single Snapshot DOA Estimation Based on Weighted Smoothed l0Norm

SHAN Zebiao1，LIU Xiaosong1，WANG Chunyang1，CHEN Miao2，SHI Yaowu2
（1.School of Electronics and Information Engineering，Changchun University of Science and Technology，Changchun 130022；2.College of Communication Engineering，Jilin University，Changchun 130022）

In order to improve the estimation accuracy of the existing DOA estimation algorithms based on compressive sensing，a single snapshot DOA estimation algorithm based on weighted smoothed l0norm （WSL0） has been proposed in this article.Firstly，a proper smooth continuous function is constructed by using a new weighting method.According to the initial solution of receiving data，a proper decreasing sequence[σ1,σ2,…,σJ]is given.Solve the minimum value of the approximation function Hσ()S for every singleσby using the steepest descent method.Then set the σ as the initial value of next iteration and update the weights at the beginning of each iteration，thus，the minimum solution of Hσ()S，that is the approximated minimum l0norm can be obtained after a number of iterations.The proposed algorithm is easy to implement and can estimate DOA effectively with high precision.Compared with the DOA estimation algorithm based on unweighted smoothed l0norm，the proposed algorithm has better estimation performance.

array signal processing；DOA estimation；compressive sensing；weighted smoothed l0norm

TN911

A

1672-9870（2017）05-0044-05

2017-07-16

國防基礎科研計劃項目（JCKY-2016411C006）；國家自然科學基金項目（61571462）

單澤彪（1986-），男，博士，講師，E-mail：zbshan@126.com

王春陽（1964-），女，教授，博士生導師，E-mail：wangchunyang19@163.com