探析高中數學函數的對稱性學習

張新坤

【摘要】在高中數學函數的對稱性學習過程中，我們需要通過理解來提高對對稱性相關知識的記憶能力，從而提高高中數學的學習成績及學習有效性。首先，從高中生角度，詳細介紹對稱性的概念。其次，闡述常見函數類型。最后，介紹抽象函數的對稱性，全面介紹函數的對稱性知識。

【關鍵詞】高中數學 函數對稱性 函數周期 中心對稱數學屬于高中學習中的重要組成部分，且以函數為主線，在高中數學學習中屬于重點，也屬于一個難點部分。函數是高中數學學習的核心，且是我們進行數學學習的根本基礎。而函數中的對稱性是其最基本的一個特點，我們在學習函數的單調性、奇偶性與函數的定義以后，已經能夠直觀性的了解函數的基礎知識，從而用來理解函數的本質。對稱性能夠展現數學之美，主要是因為在高中數學學習的過程中，會碰到對稱性問題，在傳遞給我們數學之美的同時，還能傳授相關的數學知識，使我們養成清晰的解題思維。我們通過對函數對稱性的學習，能夠提高對問題解決的能力，提高自己的綜合能力以及技巧的分析能力。

一、對稱性的概念

對稱性在高中數學函數中較為常見，函數圖形中既存在軸對稱，也存在中心對稱。函數圖形對稱除了自身對稱外，還存在圖形對稱。函數周期性、奇偶性、單調性均和其對稱性存在密切的聯系。

1.中心對稱。假如有一個函數的圖像，圍繞著一個固定的點，進行180度的旋轉，最后所形成的圖形，能夠與原來的函數圖形重合，則把這個函數稱為中心對稱，我們就把這個點稱為這個函數的對稱中心。

2.函數軸對稱。假如一個函數的圖像，在沿著一條直線進行對折時，直線兩側的所有圖像均可以重合，則就把這個函數稱為軸對稱，這條直線可以稱為這個函數的對稱軸。

二、常見函數的對稱性

1.常見函數，不僅屬于中心對稱，而且也屬于軸對稱，而在直線中的全部的點都是該函數的對稱中心，與這條直線存在垂直關系的直線則是該函數的對稱軸。

2.三次函數。在三次函數中，奇函數最主要的特點是屬于中心對稱，原點是它的對稱中心，其他類型的三次函數是否存在對稱性，需要根據具體的題目來看。

3.對數函數，既不屬于中心對稱，也不屬于軸對稱。

4.反比例函數。反比例函數不僅屬于中心對稱，而且也屬于軸對稱，對稱中心是原點，對稱軸是y=-x和y=x。

5.余弦函數，不僅是中心對稱，而且也是軸對稱，它的對稱軸是x=kπ，對稱中心是（kπ+π2，0）。

6.正弦函數，不僅屬于中心對稱，而且還屬于軸對稱，它的對稱軸是x=kπ+π2，對稱中心是（kπ，0）。

7.正切函數，不屬于軸對稱，但是是中心對稱，正切函數的對稱中心是（kπ2，0），我們在日常學習過程中，普遍以（kπ，0）是它的對稱中心。

8.正弦型函數：y=Asin（ωx+φ）不僅屬于中心對稱，而且也屬于軸對稱，在ωx+φ=kπ得出x，x的結果就是正弦型函數的對稱中心的橫向坐標，縱坐標是0。

9.一次函數，不僅屬于中心對稱，而且也屬于軸對稱，而處于直線中的全部的點都是該函數的對稱中心，與這條直線互相垂直的直線，全部是該函數的對稱軸。

10.二次函數，它的對稱軸方程是×=-b2a，它屬于軸對稱，而不屬于中心對稱。

11.冪函數，可以分為偶函數與奇函數兩種，其中偶函數的圖像屬于軸對稱圖像，y軸是它的對稱軸。與之相反的奇函數的圖像，屬于中心對稱，原點是它的對稱中心。只有在冪函數屬于偶函數或者奇函數的時候，對稱性才會有點，別的類型的冪函數中是沒有對稱性的。

12.指數函數，指數函數既不屬于中心對稱圖像，也不屬于軸對稱圖像。

由于常見函數的對稱性類型較為多樣化，我們在函數對稱性的學習過程中容易混淆，不應靠死記硬背，而是通過理解的方式，提高函數對稱性的記憶度，并在例題的基礎上，對相關理論知識進行實踐，以解決高中數學函數對稱性的問題，從而提高我們日常學習中的解題效率，養成良好的解題思路。

三、分析抽象函數具備的對稱性

定理1：函數圖像y=f（x）以點A（a，b）形成對稱關系的必要條件為f（x）+f（2a-x）=2b{f（a+x）+f（a-x）=2b}。

假設函數y=f（x）符合f（3+x）+f（4-x）=6的要求，那么函數以（3.5，3）為對稱中心；假設函數y=f（x）符合f（-x）+f（x）=0的要求，那么函數以（0，0）為對稱中心。

推理：函數圖像y=f（x）以原點O形成對稱關系的必要條件為f（-x）+f（x）=0。

定理2：函數圖像y=f（x）以直線x=a形成對稱關系的必要條件為f（a+x）=f（a-x），換句話說就是f（x）=f（2a-x）。

推理：函數圖像y=f（x）以y軸形成對稱關系的必要條件為f（x）=f（-x）。

定理3：（1）假設函數圖像y=f（x）以點A（a，c）、B（b，c）且a≠b，形成中心對稱，那么就說明y=f（x）屬于周期函數，一個周期為2| a-b|。

（2）假設函數圖像y=f（x）以直線x=a、x=b形成軸對稱關系，那么就說明y=f（x）屬于周期函數，一個周期為2| a-b| 。

（3）假設函數圖像y=f（x）不僅以點A（a，c）形成中心對稱關系，又以直線x=b形成軸對稱關系，且a≠b，那么就說明y=f（x）屬于周期函數，一個周期為4| a-b| 。

在高中數學函數對稱性的學習過程中，我們發現偶函數與基函數屬于較為特殊的例子，而在試卷中并不是單純針對對稱性進行考察，而是與函數的周期性、單調性以及奇偶性等相結合進行考察，保證高中數學知識考察的全面性。

四、高中數學函數對稱性學習策略

在學習數學知識中，為了更好地了解函數對稱性學習內容，我們要想掌握這些知識，離不開老師的指導。即首先，如果在函數對稱性學習過程中若遇到了一些困難，無法理解函數對稱性的抽象概念，那么我們應向老師請教，請老師為我們做相關演示。這時老師往往會根據實際情況，利用Matlab軟件和幾何畫板工具，為我們演示對稱性函數的圖形生成過程，我們也可以以更加直觀的方式完成圖形的觀察，更好地了解對稱性函數抽象概念。其次，在日常學習過程中，應認真聽講教師講解重點、難點問題。例如，某次老師為加深我們對對稱性的函數的理解，為我們重點講解了函數的奇偶性和集合意義等內容。同時，設計了與之相對應的例題訓練。即R上有一個函數，這個函數是非常數函數且滿足如下條件：

若x=10-x，那么該函數是偶函數，且f（5+x）=f（5-x）

求解f（x）是什么函數。

這道題目是函數奇偶性訓練的基礎題目，所以，通過題目的設置不僅讓我們初步了解函數對稱性特點，還以循序漸進的方式完成數學函數對稱性的學習。再次，因為數學知識是環環相扣的。所以，我們在數學函數對稱性學習過程中，應注重把握好最基本的知識點。只有如此，才能為日后知識的學習做好鋪墊，達到最佳的數學函數對稱性知識學習效果，增強“題感”。

五、結語

綜上所述，我們在高中數學函數對稱性的學習過程中，普遍存在應用能力弱，動手能力差等問題，因此在日常學習中，需培養良好的解題方法與數學思想，并熟練掌握與理解函數對稱性的基礎知識，學會融會貫通，加強各知識間的連貫性，從而提高高中數學函數對稱性的學習有效性。

參考文獻：

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