基于MATLAB的線性控制系統(tǒng)穩(wěn)定性仿真研究

費旻++林懷蔚++邢瑋++李云海

DOI：10.16661/j.cnki.1672-3791.2017.30.034

摘 要：穩(wěn)定性是保證控制系統(tǒng)正常工作的先決條件。為了判斷線性控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性，在MATLAB/Simulink仿真環(huán)境下，利用MATLAB軟件中的Simulink模塊組合方式建模，可以準確地創(chuàng)建動態(tài)系統(tǒng)的仿真模型。本文通過實例對線性控制系統(tǒng)進行穩(wěn)定性仿真研究，分析過程簡單、快捷，結果準確可靠，充分體現了MATLAB/Simulink仿真方便和直觀的特點，其創(chuàng)新點在于利用MATLAB/Simulink對線性控制系統(tǒng)進行穩(wěn)定性仿真研究，驗證了其穩(wěn)定理論的有效性和真實性。

關鍵詞：線性控制系統(tǒng) 穩(wěn)定性 MATLAB/Simulink 仿真

中圖分類號：TP391.9 文獻標識碼：A 文章編號：1672-3791（2017）10（c）-0034-03

自動控制系統(tǒng)是由控制器和被控對象按照一定的方式連接起來、完成一定自動控制任務的有機整體，盡管其實現的功能不盡相同，但任何控制系統(tǒng)要使其按照預期目標實現其功能，都必須以系統(tǒng)穩(wěn)定為首要條件。穩(wěn)定性是指系統(tǒng)重新恢復平衡狀態(tài)的能力，它是保證控制系統(tǒng)正常工作的先決條件。理論上判斷一個控制系統(tǒng)穩(wěn)定性的方法有很多，按照傳統(tǒng)方法判斷控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性，不但計算工作量大、效率低，而且不夠直觀，缺乏有力的輸出圖形支撐。隨著計算機科學技術的發(fā)展，各種功能強大的系統(tǒng)仿真軟件在自動控制領域得到廣泛應用，其中，最為典型的代表就是MATLAB仿真軟件，它是目前國際最流行、應用最廣泛的科學與工程計算軟件。

Simulink是基于MATLAB框圖設計環(huán)境實現動態(tài)系統(tǒng)建模、仿真和分析的軟件包，是MATLAB中一種可視化仿真工具，被廣泛應用于各種控制系統(tǒng)的建模、仿真和分析中。本文介紹了基于MATLAB/Simulink仿真環(huán)境下，通過單位階躍信號作用，利用仿真實例對線性控制系統(tǒng)進行穩(wěn)定性仿真研究，直接觀察和分析系統(tǒng)個別參數變化對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響，充分體現了利用MATLAB/Simulink實現仿真方便和直觀的特點。其創(chuàng)新點在于利用MATLAB/Simulink對線性控制系統(tǒng)進行穩(wěn)定性仿真研究，驗證了其穩(wěn)定理論的有效性和真實性。

1 線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性

1.1 穩(wěn)定性的概念

控制系統(tǒng)能在實際中應用，其首要條件是保證系統(tǒng)穩(wěn)定。原來處于平衡狀態(tài)的系統(tǒng)，在受到擾動作用后都會偏離原來的平衡工作狀態(tài)，產生初始偏差。所謂穩(wěn)定性，就是在擾動作用消失后，系統(tǒng)能否由初始偏差狀態(tài)回到原來的平衡狀態(tài)的性能。若系統(tǒng)能恢復到原來的平衡狀態(tài)，則稱系統(tǒng)是穩(wěn)定的；反之，偏差越來越大，則系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。

穩(wěn)定性是系統(tǒng)的固有特性，是擾動消失后系統(tǒng)自身的恢復能力。穩(wěn)定性只由系統(tǒng)本身的結構、參數決定，而與系統(tǒng)的初始條件以及外作用無關。

1.2 線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件

線性定常系統(tǒng)的特性可由線性微分方程來描述，而微分方程的解通常就是系統(tǒng)輸出量的時域表達式，它包括穩(wěn)態(tài)分量和暫態(tài)分量兩個部分。穩(wěn)態(tài)分量對應微分方程的特解，與外作用形式有關；暫態(tài)分量對應微分方程的通解，是系統(tǒng)齊次方程的解，它與系統(tǒng)的結構、參數以及初始條件有關，而與外作用形式無關。由上述穩(wěn)定性概念可知，研究系統(tǒng)的穩(wěn)定性，就是研究系統(tǒng)輸出量中暫態(tài)分量的運動形式，這種運動形式完全取決于系統(tǒng)的特征方程式。根據理論推導，線性控制系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是系統(tǒng)特征方程的所有根均為負實數或具有負的實部。

1.3 線性系統(tǒng)的穩(wěn)定判據

根據線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件，要判斷一個系統(tǒng)是否穩(wěn)定，需要求出系統(tǒng)特征方程的全部特征根，這對于低階系統(tǒng)容易取得，但對于三階以上高階系統(tǒng)，求系統(tǒng)的特征根比較困難。于是，對于高階系統(tǒng)，判斷系統(tǒng)穩(wěn)定與否可采用代數穩(wěn)定判據，它只要根據特征方程的系數便可判別出特征根是否具有負實部，從而判斷出系統(tǒng)是否閉環(huán)穩(wěn)定，常用的代數穩(wěn)定判據主要有赫爾維茨穩(wěn)定判據、林納德-齊帕特判據和勞斯判據等。利用代數穩(wěn)定判據還可確定系統(tǒng)個別參數變化對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響，從而給出使系統(tǒng)穩(wěn)定的參數取值范圍。

2 線性控制系統(tǒng)穩(wěn)定性仿真研究

2.1 仿真實例及其穩(wěn)定性判別

2.1.1 仿真實例

在CDIO模式下的“自動控制原理”課程實踐教學實例中，一串級直流電動機速度控制系統(tǒng)結構如圖1所示，其開環(huán)傳遞函數為：

其中，K為開環(huán)放大倍數；T為時間常數；給定時間常數T=0.1s，分析討論輸入單位階躍信號時，不同開環(huán)放大倍數K對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。

2.1.2 仿真實例的穩(wěn)定性理論判別

從系統(tǒng)的結構可知，系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數：

其特征方程為S3+20s2+100s=1000K=0，由勞斯判據易得：1000K>0，且20×100>1000K，聯立求得系統(tǒng)穩(wěn)定時K值的取值范圍為0

可見，閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性與系統(tǒng)開環(huán)放大倍數K值直接有關。當系統(tǒng)開環(huán)放大倍數K值增大時，系統(tǒng)相對穩(wěn)定性變差；當系統(tǒng)開環(huán)放大倍數K值大于其臨界值時，系統(tǒng)變?yōu)椴环€(wěn)定。

2.2 仿真實例模型構建

啟動MATLAB 7.0.4，進入Simulink仿真界面，在create a new model中繪制控制系統(tǒng)仿真結構圖如圖2所示。根據要求，雙擊各傳遞函數模塊，在出現對話框內設置相應參數，加入單位階躍信號，設置起始時間為0s，對開環(huán)放大倍數K取不同參數值，點擊Simulation菜單下start命令進行仿真，雙擊示波器模塊得到系統(tǒng)輸出響應曲線，觀察、記錄和分析仿真結果。

2.3 仿真結果及分析

（1）根據圖2所示仿真結構，當K=1時，在單位階躍信號作用下，仿真輸出響應曲線如圖3所示，系統(tǒng)開始呈現超調輸出，伴隨時間增加超調輸出逐漸減小直至為0，調節(jié)時間為3s，在0

（2）根據圖2所示仿真結構，當K=2時，仿真輸出響應曲線如圖4所示，系統(tǒng)輸出呈現等幅振蕩，系統(tǒng)為臨界穩(wěn)定狀態(tài)，工程上為不穩(wěn)定，仿真結果與理論分析一致。

（3）根據圖2所示仿真結構，當K=3時，在單位階躍信號作用下，仿真輸出響應曲線如圖5所示，系統(tǒng)開始呈現穩(wěn)定狀態(tài)，伴隨著時間增加，系統(tǒng)一旦受到外界擾動，輸出變?yōu)榘l(fā)散狀態(tài)，在超出0

3 結語

通過對控制系統(tǒng)實例的理論分析和仿真可知，系統(tǒng)開環(huán)放大倍數K值越大，且越接近臨界值，系統(tǒng)相對穩(wěn)定性越差；當系統(tǒng)開環(huán)放大倍數K值大于臨界值，系統(tǒng)變?yōu)椴环€(wěn)定。因此，增大系統(tǒng)開環(huán)放大倍數K值不利于閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定。

基于MATLAB/Simulink仿真環(huán)境下，通過Simulink軟件包所提供的基本模塊，不需任何硬件，在單位階躍信號作用下，利用仿真實例完好地實現了對線性控制系統(tǒng)進行穩(wěn)定性仿真研究，可直接觀察和分析系統(tǒng)輸出性能變化，驗證了其穩(wěn)定理論的有效性和真實性，在控制系統(tǒng)穩(wěn)定性判斷中具有很高的實用價值。

參考文獻

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