巧用勾股定理解決問題

朱華慶

對于勾股定理，有3種常見用法：1.已知直角三角形兩邊，求第三邊；2.已知直角三角形的兩邊或三邊存在數量關系，可以用含同一個字母的代數式表示出來，再利用勾股定理建立方程解決問題；3.已知普通三角形三邊存在某種聯系，可轉化為直角三角形，利用勾股定理建立方程或方程組解決問題.

一、方法回顧

對第三種較為復雜的情況，我們重點回顧一下：

例1 如圖1，在△ABC中，AD是BC邊上的高，D為垂足，AB=15，AC=13，BC=14，求高AD.

【分析】直接用勾股定理求AD，條件不夠，這里剛好有兩個直角三角形，可利用兩次勾股定理建立方程組.

【解】在Rt△ABD中，AD2=AB2-DB2，在Rt△ACD中，AD2=AC2-CD2，則AB2-DB2=AC2-CD2，設BD=x，CD=14-x，代入得：152-x2=132-（14-x）2.解得：x=9，代入AD2=AB2-DB2，得AD=12.

【點評】此題是兩次利用勾股定理建立方程組解決問題的典型例子.有個細節應該注意，AD雖然是兩個直角三角形的公共直角邊，但是直接設AD=x，計算就有很大困難，所以設未知量的時候要注意，不一定是要求什么就設什么.

二、小試牛刀

例2 如圖2，在△ABC中，AE是BC邊上的中線，AB=15，AC=13，BC=14，求中線AE的長.

【分析】我們應該找到以AE為邊的直角三角形，如果沒有，我們可以構建，這就需要作輔助線，基本上都是作垂線.

【解】作AD⊥BC，垂足為D，有了例1的回顧，易求得BD=9，AD=12，由AE為中線可知，BE=7，∴ED=2，在Rt△AED中，AE2=AD2+ED2，計算得：AE=2[37].

【點評】在復雜問題中，如果沒有合適的直角三角形，要嘗試把非直角三角形轉化為直角三角形來解決問題，即幾何問題中“化斜為直”的思想.但要考慮好從哪個點開始作垂線，不同的作法，會導致解法的難易程度不同.

三、靈活應用

例3 如圖3，某沿海城市A接到超強臺風警報，在該市正南方向150km的B處有一超強臺風中心正以30km/h的速度沿BC方向移動，已知城市A到BC的距離AD=90km.若在距超強臺風中心[2252]km的圓形區域內都受到臺風的影響，問城市A是否會受到臺風的影響，影響的時間有多久？（[182254]=[1352]）

【分析】只要探究臺風中心距離城市A最近的情形即可.找到臺風中心從開始到結束對城市A產生影響的兩個位置，作出草圖，利用勾股定理解決問題.

【解】當臺風中心到達D處時，臺風中心距離城市A最近，城市A距離臺風中心90km<[2252]km，∴城市A肯定會受到臺風的影響.當AE=[2252]km時，城市A剛好開始受到影響，當AF=[2252]km時，城市A剛好結束影響.在Rt△ADE中，ED2=AE2-AD2，所以DE=[1352]，所以EF=2DE=135，故t=135÷30=4.5h.

【點評】本題難點在于作圖，找到臺風中心對城市A開始影響和結束影響的位置.方法上與例2相同.

四、再攀高峰

例4 如圖4，某沿海城市A正南方向150km處有一小島B，有一艘旅游船以20km/h的速度從小島出發，沿BC方向航行.已知城市A到航線BC的距離AD=90km.一艘巡邏船從城市A出發，以akm/h的速度沿直線去追趕旅游船（兩船相遇以前都不停留）.（1）當a=15時，巡邏船能否追上旅游船，若能，則要幾小時追上？（2）當a=20時，巡邏船能否追上旅游船，若能，則要幾小時追上？

【分析】當巡邏船走完最短距離AD，到達點D時，看看旅游船是否到達點D，如果沒有到達，則巡邏船改變航行方向，一定可以追上旅游船，反之，則巡邏船不一定能追上旅游船.所以先判斷相遇位置，再畫出草圖，是解決這類問題的關鍵.

【解】（1）在Rt△ABD中，BD2=AB2-AD2，代入得BD=120，t巡邏船=AD÷15=6，t旅游船=BD÷20=6，∴巡邏船6小時能夠追上旅游船.（2）如圖5，t巡邏船=AD÷20=4.5，t旅游船=BD÷20=6，所以巡邏船一定可以追上旅游船，假設巡邏船經過x小時在E處追上旅游船，則BE=20x，AE=20x，DE=120-20x，在Rt△AED中，ED2=AE2-AD2，代入得：x=[7516]，即[7516]小時后，巡邏船追上旅游船.

【點評】對于這類問題，先判斷能否一定追上，如果能，那么相遇點E一定在線段BD上，否則，相遇點也有可能在BD的延長線上，很容易就作出草圖，然后利用勾股定理解決問題.最后，再次強調AD這條高，在復雜問題中沒有給出，可以嘗試作出.

五、終極挑戰

例5 （2008·常州）如圖6，港口B位于港口O正西方向120海里外，小島C位于港口O北偏西60°的方向.一艘科學考察船從港口O出發，沿北偏東30°的OA方向以20海里/小時的速度駛離港口O.同時一艘快艇從港口B出發，沿北偏東30°的方向以60海里/小時的速度駛向小島C，在小島C用1小時裝補給物資后，立即按原來的速度給考察船送去.（1）快艇從港口B到小島C需要多少時間？（2）快艇從小島C出發后最少需要多少時間才能和考察船相遇？

【解析】題（2）當年得分率非常低，同學們利用剛才所學方法可輕松列出方程，如果方程不會解，沒關系，那就到初三再解出來，正所謂“革命尚未成功，同志仍需努力”.關鍵是作CD⊥OA，再進行計算和判斷（快艇到達點D小于1小時，而科學考察船到達點D需2.5小時），所以兩船相遇點E在線段OD上，畫出草圖，設x小時快艇追上科考船，在Rt△CDE中用勾股定理列出方程，解決問題.參考答案：（1）t=1，（2）t=1.

（作者單位：江蘇省常州市金壇區堯塘中學）endprint