使洪荒之力尋錯誤之源

高如玉

初學勾股定理及其逆定理的同學，由于知識、方法不熟練， 常常出現一些不必要的錯誤，失分率較高. 下面針對同學們具體失誤的原因， 配合相關習題進行分析，希望同學們能借助這股“洪荒之力”走出誤區.

一、思維定勢錯判斷

【例1】 在△ABC中各邊長均為整數，a=3，b=4，c是最長邊，求c.

【錯解】由勾股定理，得c=[a2+b2]=[42+32]=5.

【錯因分析】這個解法是受思維定勢“勾三股四弦五”的影響， 將△ABC當成了直角三角形， 出現了知識的“負遷移”.實際上， 題中并沒有給出直角三角形這個前提條件.

【正解】由三角形三邊關系，得b

二、概念不清引爭議

【例2】下列各組數能構成勾股數的是：

①0.07， 0.24， 0.25； ② 6， 8， 10； ③7， 8， 10；④ [35]，[45]，1.

【錯解】①②④.

【錯因分析】首先， 勾股數必須是一組正整數；其次，勾股數要滿足兩個較小數的平方和等于最大數的平方. 選擇①④的同學主要是對勾股數概念不理解， 出現概念錯誤.

【正解】②.

三、不知分類導錯誤

1.不分勾、股、弦.

【例3】在Rt△ABC中，a=3，b=4，求c.

【錯解】由勾股定理，得c=[a2+b2]=[42+32]=5.

【錯因分析】這里默認了∠C為直角.其實，題目中沒有明確哪個角為直角，當b>a時，∠B可以為直角，故本題解答遺漏了這種情況.

【正解】因為直角三角形中，斜邊最長，所以a不能為斜邊，即∠A不能為直角.當∠C為直角時，c=[42+32]=5；當∠B為直角時，c=[42-32]=[7].

2.不分高在形內和形外.

【例4】在△ABC中，若AB=13，AC=15，BC邊上的高AD=12，求△ABC的周長.

【錯解】如圖，AB、AC在高AD的兩側，由勾股定理，得BD=[AB2-AD2]=[132-122]=5，CD=[AC2-AD2]=[152-122]=9 ，所以BC=5+9=14，最后△ABC的周長為AB+BC+AC=15+14+13=42.

【錯因分析】本題需要同學們先分析題意畫出符合要求的圖形再解答. 在作圖時，沒有考慮三角形的形狀，出現漏解情況.

【正解】情況1：AB、AC在高AD的兩側，由勾股定理，可得：BD=5，CD=9，BC=14，三角形ABC的周長為42.情況2：如下圖，AB、AC在AD的同側，前面已得BD=5，CD=9，所以BC=9-5=4，最后△ABC的周長為AB+BC+AC=15+4+13=32.

四、直覺經驗漏條件

【例5】如圖，在△ABC中，AB=15，AC=8，AD是中線且AD=8.5，求BC的長.

【錯解】由直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半得：BC=2AD=17.

【錯因分析】解題時看到熟悉的圖形，很多同學往往粗略審題，忽略了題目的條件與熟悉的圖形的細微差別，把未知的結論當已知條件直接使用，導致錯解.這里的∠BAC=90°并不容易證明.

【正解】如圖，延長AD到E，使DE=AD，連接BE，易證△ADC≌△EDB.∴BE=AC=8，∠CAD=∠E.∴AC∥BE.又∵BE2+AB2=82+152=289，AE2=172=289.∴BE2+AB2=AE2 .∴∠ABE=90°.∵AC∥BE.∴∠BAC=180°-90°=90°.∴BC=[82+152]=17 .

五、錯用特殊替一般

【例6】已知在△ABC中，三條邊長分別為a、b、c，a=n，b=[n24]-1，c=[n2+44]（n是大于2的偶數）.求證：△ABC是直角三角形.

【錯解】 ∵n是大于2的偶數，∴取n=4，這時a=4，b=3，c=5.∵a2+b2=42+32=25=52=c2，∴△ABC是直角三角形（勾股定理的逆定理）.

【錯因分析】同學們在解決此題時，往往會有這樣的疑惑：我的答案是正確的，為什么不得分呢？大多數同學錯誤地把特殊情況當成了一般規律，我們可以用這樣的辦法解決填空題和選擇題，但不能用來解決證明題，證明要有嚴密的邏輯展示.

【正解】 ∵a2+b2=n2+（[n24]-1）2=n2+[n416]-[n22]+1=[n416]+[n22]+1，c2=（[n2+44]）2=（[n24]+1）2=[n416]+[n22]+1，∴a2+b2=c2.∴由勾股定理的逆定理知，△ABC是直角三角形.

（作者單位：江蘇省常州市武進區禮嘉中學）