細說中考高頻題

戴曉燕+樊翠霞

勾股定理及其逆定理在近幾年的中考中是熱點問題，以下就以2017年部分中考題為例，希望為大家?guī)硪恍┧伎己徒梃b.

一、弦圖的應用

例1 （2017·長春）圖 1是我國漢代的趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時給出的，人們稱它為“趙爽弦圖”.此圖案的示意圖如圖 2，其中四邊形 ABCD 和四邊形 EFGH 都是正方形，△ABF，△BCG，△CDH，△DAE 是四個全等的直角三角形，若 EF=2，DE=8，則AB 的長為 .

【解】AF=DE=8，EF=2，AE=6，由勾股定理求得AD=10，故AB=AD=10.

例2 （2017·石家莊一模）圖甲是我國古代著名的“趙爽弦圖”的示意圖，它是由四個全等的直角三角形圍成的，若 AC=6，BC=5，將四個直角三角形中邊長為 6 的直角邊分別向外延長一倍，得到圖乙所示的“數(shù)學風車”，則這個風車的外圍周長是 （ ）.

A. 52 B. 42 C. 76 D. 72

【解】如圖3，由AC=6，得DC=12，在直角△DBC中，由BC=5，DC=12得BD=13，所以BD+AD=19，故周長為19×4=76.

【評析】教材中應用“趙爽弦圖”證明勾股定理，“趙爽弦圖”是初中數(shù)學的重要基本圖形之一，近年來在全國各地的中考題里常有出現(xiàn).

二、折疊問題

例3 （2017·武威）如圖4，一張三角形紙片 ABC，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm.現(xiàn)將紙片折疊：使點 A 與點 B 重合，那么折痕長等于 cm.

【解】如圖5，作AB的垂直平分線，分別交AB、AC于D、E，在Rt△BEC中，由勾股定理得（8-BE）2

+62=BE2，解得BE=[254]，進一步算得DE=[154].

例4 （2017·嘉興）一張矩形紙片 ABCD，已知 AB=3，AD=2，小明按下圖步驟折疊紙片，則線段 DG 長為（ ）.

【解】由翻折得到△A′DE，△B′GE是等腰直角三角形，DE=[22]，GE=[2]，故DG=[2].

【評析】統(tǒng)觀近年各省市的中考試題，不難發(fā)現(xiàn)“折疊”問題在中考試題里頻頻出現(xiàn)，而利用勾股定理建立方程是解決問題的重要方法.命題者通常以直角三角形為載體，以數(shù)形結(jié)合、方程思想等重要的數(shù)學思想為依托，實現(xiàn)了對“四基四能”的全面考查.

三、逆定理的應用

例5 （2017·益陽）如圖6，△ABC 中，AC=5，BC=12，AB=13，CD 是 AB 邊上的中線，則 CD=

【解】由AC=5，BC=12，AB=13知△ABC是直角三角形，故CD=6.5.

例6 （2017·南京）“直角”在初中幾何學習中無處不在.如圖7，已知 ∠AOB.請仿照小麗的方式，再用兩種不同的方法判斷 ∠AOB 是否為直角（僅限用直尺和圓規(guī)）.

小麗的方法：如圖8，在 OA、OB 上分別取點 C，D，以 C 為圓心，CD 長為半徑畫弧，交 OB 的反向延長線于點 E.若 OE=OD，則 ∠AOB=90°.

【解】方法 1：如圖9，在 OA、OB 上分別截取OC=4，OD=3.若 CD=5，則 ∠AOB=90°.方法 2：如圖10，在 OA，OB 上分別取點 C，D，以 CD 為直徑畫圓.若點 O 在圓上，則 ∠AOB=90°.

【評析】勾股定理的逆定理主要是由數(shù)量關(guān)系確定三角形是否為直角三角形，然后在直角三角形的背景下解決有關(guān)問題.勾股定理的逆定理體現(xiàn)了由數(shù)到形的重要數(shù)學思想，在近年來各地的中考題中常有出現(xiàn)，但往往考查定理本身，故難度不是太大.

四、旋轉(zhuǎn)問題

例7 （2013·包頭）如圖11，點E是正方形ABCD內(nèi)的一點，連接AE、BE、CE，將△ABE繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°到△CBE′的位置.若AE=1，BE=2，CE=3，則∠BE′C= 度.

【解】本題采用分割的方式，如圖12，通過連接EE′將∠BE′C轉(zhuǎn)化為∠BE′E與∠EE′C的和.首先根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠EBE′=90°，BE=BE′=2，AE=E′C=1，那么，在Rt△EBE′中，由等腰直角三角形，可得∠BE′E=45°，由勾股定理可得EE′=2[2].此時△EE′C的三邊長都已知了，且E′E2+E′C2=8+1=9，EC2=9，即E′E2+E′C2=EC2，又由勾股定理的逆定理知△EE′C是直角三角形，所以可得∠EE′C=90°.故∠BE′C=135°.

【評析】根據(jù)已知得出△EE′B是等腰直角三角形比較容易，但想到利用勾股定理的逆定理找出△EE′C是直角三角形才是解題關(guān)鍵.勾股定理常用，同學們也比較容易想到，而勾股定理的逆定理，也是將邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系的常用方法，同學們可要用心哦！

（作者單位：江蘇省常州市金壇區(qū)茅麓中學，常州市金壇區(qū)西崗中學）endprint