極限思想對無理數的建構

郭龍先

（昭通學院 數學與統計學院， 云南 昭通 657000）

●數學研究

極限思想對無理數的建構

郭龍先

（昭通學院 數學與統計學院， 云南 昭通 657000）

在嚴格的實數理論建立之前，人們曾直觀地將無理數看成是無窮有理數序列的極限，但這在理論上是存在缺陷的.19世紀后期，德國數學家戴德金、康托爾、魏爾斯特拉斯先后創立了各自風格鮮明的實數理論.戴德金的核心思想是對連續性直線的“截斷”或“分割”；康托爾則嚴格地以有理數基本序列構建了無理數；巴赫曼以魏爾斯特拉斯的思想為基礎，用區間套對實數作出了定義.20世紀的數學家們，則以公理化思想為基礎，建立了公理實數論.

無理數； 閉區間套； 戴德金分割； 康托爾公理； 公理化思想

古希臘數學家很早就發現了既非整數，也不是分數的一種新數——無理數，這是人類數系擴張過程中所遇到的第一個障礙.與自然數向有理數的擴張不同，從有理數到無理數的擴張，是一個“質”的飛躍，它體現了“有限”與“無限”的根本區別.因為把無理數表示成無限不循環小數，實際上是辦不到的.這個過程嚴格來講，就是用一串有理數（無窮多個）來逼近一個無理數的過程.

在嚴格的實數理論建立之前，人們曾直觀地將無理數看成是無窮有理數序列的極限.但這在理論上是存在缺陷的，因為若該極限本身就是一個無理數，則將導致邏輯混亂.對此，正如弗雷格在《算術基礎》一書中所言：“負數和無理數長期以來已為科學所接受，它們的合理性卻必須得到更嚴格的證明.”[1]

19世紀后期，隨著數學分析基礎的嚴格化，算術地定義實數的問題，引起了極大的關注.德國數學家魏爾斯特拉斯、戴德金、康托爾、巴赫曼等，先后創立了各自風格鮮明的實數理論.魏爾斯特拉斯提出用遞增有界數列的極限來定義無理數；戴德金無理數理論的核心思想是對連續性直線的“截斷”或“分割”；康托爾則嚴格地以有理數序列構建了無理數.1892年，巴赫曼提出了區間套原理.貝爾在《數學大師》一書中寫道：

維爾斯特拉斯和戴德金在歐多克斯公元前4世紀停下來的地方重新開始對無理數和實際上對連續的討論；……康托爾則闖出了一條他自己的新路，力圖領悟隱含在連續這個概念中的實無窮本身.[2]

戴德金的觀點獨樹一幟，以幾何連續性為基礎；魏爾斯特拉斯、巴赫曼和康托爾所依據的原理則是分析性的，是對以滿足柯西準則的序列來定義無理數這一普遍思想的深化與發展.

1 用區間套住無理數——魏爾斯特拉斯的實數論

1817年，波爾查諾給出了有界實數集最小上界（即上確界）的定義；1823年，柯西給出了“數列收斂定理”.之后，魏爾斯特拉斯證明了“波爾查諾—魏爾斯特拉斯緊致性定理”.他認識到無理數理論對數學分析基礎的重要性，堅持對無理數必須通過不可違反的推理返回到整數上去，直到一切都以整數為基礎，按照能夠理解的語言陳述清楚為止.對此，弗雷格亦寫道：只要對算術的整個大廈的基礎的認識還有缺陷，也許就很難能夠完全弄清楚負數、分數和復數.［1］2

魏爾斯特拉斯曾用遞增有界數列的極限來定義無理數.巴赫曼在1892年出版的《無理數的性質》一書中以魏爾斯特拉斯的思想為基礎，第一次用區間套對實數作出了定義.1895年，波萊爾完善并證明了由海涅提出的“有限覆蓋定理”.波爾查諾——魏爾斯特拉斯定理，即有界無窮集合必有聚點，與區間套原理是等價的.

所謂區間套，實際上是無窮多個區間，一個套一個，而且這些區間越來越小.考慮以有理數為端點的閉區間，這種有理閉區間套滿足：對于所有的且）的問題是，雖然=0，例如在十進位制基礎上，即可構造出這樣的區間套In，其長為10-n，但也可以是2-n或只要求它小于.對此，還可以引進區間套的等價關系，兩個有理區間套[an，bn]和等價的充分必要條件是或者對于一切n來說，不等式成立 .

下述事實被作為定義實數的一個基本幾何公理：如果I1，I2，…是一個具有有理端點的區間套序列，則存在一個點x包含于所有的In之中.該公理要求任何一個實數直線上的區間套序列都對應實數直線上唯一一點，這其實是一個連續性公理，它保證實軸上沒有空隙存在.作為公理，并不需要從其他數學事實邏輯地推導出來.不難看出，所有這些區間的公共點最多只有一個，因為區間的長度趨于零，而對兩個不同的點來說，長度比它們之間的距離還小的區間，不能同時包含它們.

具有有理端點的每一個區間由兩個有理數來描述，因此數軸上的每一個點，即每一個實數，能夠由無窮多個有理數來準確描述.如果兩個不同的區間套序列是等價的，則由它們所確定的實數就是相等的.在這種等價關系之下，可定義實數為有理閉區間的等價類.按此定義，在點和數之間建立了一個完全的對應.顯然有理數也都包含在其中，如對任意的有理數r，都有區間套序列代表有理數r.

實際上區間套的觀念在數學發展的早期就已經使用，特別是用有理數來逼近無理數時，總是把誤差限定在一定范圍之中.在這一實數理論中，其實并沒有多少新的東西，只不過是對無限十進位小數定義作了一個更為一般的表述罷了.需要注意的是，對于區間套序列來說，強調In都為閉區間是很關鍵的.否則，如果In表示開區間這時，每一個區間In都包含著下一個區間，并且區間的長度趨向于零，卻并不存在屬于所有In的點.

用區間套原理定義無理數的好處在于加、乘等運算，以及“大于”“小于”等關系，能立即從有理數域得到推廣，而且保持著有理數域中原有的一切規律.從純形式的觀點來看，首先，可以在直線上只作出有理點，然后，定義一個無理點是某個有理端點區間套的一個符號.一個無理點完全由長度趨于零的有理點區間套所描述.這一實數理論的特點，可通過無理數e的定義說明如下：

閉區間序列

構成一個退縮閉區間套，所以可以把這些區間的唯一的公共交點定義為e，即

2 連續的秘密在于把直線截斷——戴德金的實數論

戴德金作為數學大師高斯的關門弟子，在瑞士蘇黎世綜合工業學院講授微積分時，深感分析基礎的薄弱，開始了實數理論的研究，并于1872年出版了《連續性與無理數》一書.戴德金認為“必須要有連續性的一個精確定義，使它可以成為邏輯推理的基礎.”他首先提出了幾何連續性的問題，把直線與實數對應起來，彰顯了有理數的稠密性與實數的連續性的區別.戴德金把直線上的點分割成兩類，使其中一類的每一個點位于另一類中每一個點的左側，在這樣劃分下，有且只有一個點產生，這就是關于直線連續性的戴德金公理，它深刻揭示了直線連續的本質.對此，柯朗寫道：

事實上，戴德金證明了這樣一點：從費爾馬和牛頓到高斯和黎曼，一切大數學家采用的“樸素的”方法，是沿著一條正確的道路前進的.[3]

戴德金無理數理論的核心是他的“截斷”或“分割”概念.在他提出的把有理數系分成兩類的“分割”理論中，第一類A1的所有數都小于第二類A2的數，并用（A1，A2）表示這樣的分割.若A1中存在最大數，或者A2中有最小數，則有且只有這樣的分割才是由一個有理數確定的.

但并非所有的分割都是由有理數確定的，如果A1中不存在最大數，A2中也沒有最小數，那么戴德金就稱這個分割定義了一個無理數，或者簡單地說這個分割是一個無理數.例如A1是所有負有理數、零和所有平方小于2的正有理數，A2是所有平方大于2的正有理數，則這個分割就不是由有理數確定的（其實就是）.戴德金通過這樣的分割，“創造出一個新的無理數α來，它是完全由這個分割確定的.”

戴德金提出的“分割”概念，作為“人類心智的自由創造”，是一種大膽而首創的思想，每一個分割中，都必然存在與之對應的唯一的有理數或無理數.籠罩在連續性問題上的種種迷霧，通過在直線上一截為二的分割便煙消云散了.對此，貝爾贊譽道：“真理應該從概念而不是從記號得出來.”戴德金實數理論，因其理論的深刻和簡潔性，而具有獨特的思想魅力和美學特征.

3 以有理數序列構建無理數——康托爾的實數論

1872年，康托爾將一篇概述了實數理論的關于三角級數方面的文章寄給戴德金，作為答謝，戴德金將自己剛發表的《連續性和無理數》贈與他.從此開始了他們之間的友誼和思想交流.在康托爾最富創造力的時期，戴德金給予過極大的幫助和影響.

康托爾的博士論文中有非常引人注目的名句：“在數學上，提出問題比解決問題更有價值.”在實數理論中，康托爾提出的問題是，在不預先假定無理數存在的條件下，如何建立一個令人滿意的無理數理論.為此，他堅持用有理數的無窮序列{an}定義無理數及其順序關系.康托爾首先定義了基本序列，即：

一個有理數序列a1，a2，…， ak，…，對于給定的任何正有理數ε＞0，總存在一個正整數序數N，使得當m，n＞N時，對任何n及m，恒有：

兩個基本序列可能都收斂于同一極限.為此，康托爾定義了在這些集合中的一個等價關系.如果兩個基本序列{ak}與{bk}，當k→∞時，則兩者等價.他把實數定義為基本序列（a1，a2，…， ak，…，）的等價類，記作a.例如，有理數r可用序列r，r，…，r，…定義；而序列1，1.4，1.41，1.414，…則定義了無理數

利用基本序列可以自然地定義實數的加法、乘法以及它們之間的關系：等于、大于、小于等.這樣定義的實數既包含有理數也包含無理數，而且實數構成的基本序列的極限也在實數當中，從而證明了實數系的完備性.康托爾的思想是受到下述事實啟發的：

1）實數可以看成一個無限十進位小數；

2）無限十進位小數可以看成有限十進位小數的極限.

如果擺脫對十進位系統的依賴，則可以說：任何一個有理數序列，如果“收斂”的話，就定義為一個實數.由于用有理數序列逼近同一個實數有許多方法，所以，如果在兩個收斂的有理數列a1，a2，…， ak，…，和 b1，b2，…，bk，…中，當n無限增大時，an-bn→0，則它們就可以定義同一個實數.顯然直線上每一點都有對應的實數，但是，對每一實數，在直線上都有相應的點，則須通過公理才能保證.因此，實數集與直線上的點建立一一對應，被稱為康托爾公理.

正如貝爾所言：“從無理數的真正性質去看，似乎在有可能建立一個適當的無理數理論之前，有必要先徹底理解數學上的無窮.在戴德金的分割定義中明顯地需要無窮類.這樣的類導致了嚴重的邏輯困難.”對此，柯朗寫道：

在哲學上，戴特金的無理數定義涉及一個更高程度的抽象，因為它對確定兩類A和B的這個數學規則的性質沒有加以限制.康托用一個更為具體的方法來定義實數連續統.雖然，初看起來它和區間套方法或分割方法很不同，但是，用這三種方法定義的數系有相同的性質，在這個意義上說，它與那兩個方法中的任何一個都等價.[4]

丹齊克也指出：狄德金分割與康托爾序列的出發點如此相反，所循的道路是那樣地不同，而結果卻極其一致，……實際上，進一步分析狄德金的程序，就發現這里雖然沒有明顯地用到無限，卻暗含了無限在內.還有一層，利用這原理以決定某一無理數的任何實用方法，都必需使用一種與康托爾的無限序列相類似的工具才能完成.[5]

4 結語：殊途同歸——公理實數論

運動與連續的問題最終引起19世紀數學家的疑慮，他們采取多種辦法，通過實數的“算術式定義”來消除其中的矛盾.另一方面，受到希爾伯特嚴格的幾何公理化思想的鼓舞，數學家們認識到，只要不涉及矛盾性問題，同樣的方法也能應用到實數系，實數的公理化，能為整個分析建立基礎并能避免“算術式定義”的復雜性.

在實數理論建立之前，自然數列作為意義確定的數學模式，已由皮亞諾五條公理作出了完整的表述：

（1）元素1是自然數.

（2）若a為自然數，則后繼（a+）也是自然數.

（3）任何一個自然數的后繼都不是1.

（4）若自然數a與b有相同的后繼a+=b+，則a=b.

（5）滿足上述4條公理的所有自然數作成唯一的集合.

其中第5條公理稱之為“歸納公理”，即肯定了自然數的無限性.從n到n+1，這一步接一步的程序產生了數的無限序列，也構成數學推理的一個最基本的類型（即數學歸納法）的基礎.柯朗認為，關于實數的“公理”：

原則上只不過是有關自然數的一些需要證明的定理.實際上，我們已經從認定有理數作為已知元素出發了.因為由自然數構造有理數，以及推出有理數的基本性質，根本不會發生困難.［3］98

按公理方式引入實數，將它的一切基本性質作為公理，被認為比歐幾里得幾何學的公理系統更簡單，因為它只有一類“本原對象”——“實數”，而在實數之間，只有三種“本原關系”：

1）兩個實數之間的關系x≤y（也寫為y≥x）（“序”）.

2）三個實數之間的關系z=x+y（“加法”）.

3）三個實數之間的關系z=xy（“乘法”）.

建立完整的實數系理論需要17條公理：

R1）存在兩個不同的實數.

R2）如果x，y是兩個實數，則或者x≤y，或者y≤x.

R3）如果同時有x≤y和y≤x，則x=y；反之亦然.

R4）如果x≤y，y≤z，則x≤z.

R5）x+y+z=x+(y+z) .

R6）y+x=x+y.

R7）存在實數a，使得對每個x，有a+x=x.

R8）對于每個實數x，存在實數x′，使得x+x′=a.

R9） 如 果 x≤y， 則 對 每 個 實 數 z， 有x+z≤y+z.

R10）x（yz）=（xy）z.

R11）xy=yx.

R12）存在實數ε，使對每個實數x，有εx=x.

R13）對于每個不等于a的實數x，存在實數x′，使得xx′=ε.

R14）如果a≤x，a≤y，則a≤xy.

R15）x（y+z）=xy+xz.

對于每個實數 x，按 1·x=x，（n+1）x=nx+x，通過關于n的歸納定義數n·x.

R16）如果a≤x且a≠x，則對每個實數y，存在整數n，使得y≤n·x(“阿基米德公理”).

R17）如果{bk}，{ck}（k≥0）是兩個實數無窮序列，滿足：對每個k≥0，有bk≤bk+1≤ck+1≤ck.則存在實數x，使對每個k，有bk≤x≤ck(區間套公理)[6]

與實數的算術構造理論相反，實數的公理構造是用公理規定實數，然后再定義整數、正整數直至自然數的.但這些公理的相容性是必須證明的，只要做到這一點之后，由此定義的對象就在數學的意義下存在了.對此，希爾伯特特別強調，反對無限集合存在的論點是站不住腳的.

那么這些公理是怎樣產生的呢？策梅羅說：“皮亞諾是如何得到他的基本原理的呢？其實他一點也不能證明這些原理.顯然，他只是通過分析在歷史上已成定論的一些推理的方式，通過指出這些原理在直觀上是很明顯的，且為科學所需要，就得到這些原理而已.”對于用公理化方法建立實數理論帶來的簡潔方便這一好處，羅素幽默地說道：“我們所需要的這種假設方法有很多優點，它一下子就假定那些能從小得多的一組公理推演出來的東西，正如竊取總比誠實勞作來得快一樣.”[7]對此，柯朗寫道：

原則上我們只承認關于自然數的公理（包括數學歸納法原理）.有理數和實數都是在這個基礎上被構造出來的.

正如克萊因所言：“邏輯地定義出來的無理數是一個智慧的怪物”.[8]無理數的各種理論在實質上是十分類似的，除了上面介紹的幾種實數理論之外，還可以用其他方法建立相應的理論，其主要變化在于完備性公理等價的命題上.

［1］（德）G.弗雷格.算術基礎[M].王路 譯，王炳文 校.北京：商務印書館，1998：11.

［2］（美）E.T.貝爾.數學大師——從芝諾到龐加萊[M].徐源 譯.上海：上海科技教育出版社，2004：490.

［3］（美）R.柯朗，F.約翰.微積分和數學分析（第一卷·第一分冊）[M].張鴻林，周民強譯.北京：科學出版社，2005：7.

［4］（美）R.柯朗.什么是數學[M].左平 譯.上海：復旦大學出版社，2005：86.

［5］（美）丹齊克.數科學的語言[M].蘇仲湘 譯.北京：商務印書館，1985：146.

［6］（法）讓·迪厄多內.當代數學：為了人類心智的榮耀[M].沈永歡 譯.上海：上海教育出版社，1999：78.

［7］（美）M.克萊因.數學：確定性的喪失[M].李宏魁 譯.長沙：湖南科學技術出版社，1997：219.

［8］（美）M.克萊因.古今數學思想（第4冊）[M].北京大學數學系數學史翻譯組 譯.上海：上海科技出版社，1981：51.

The Construction of Limit Thought for Irrational Numbers

GUO Long -xian
(School of Mathematics and Statistics, Zhaotong University, Zhaotong 657000 China)

Before strict real number theory was established, people regarded the irrational number as the limit of infinite rational sequence intuitively, but it was flawed in theory.In the late nineteenth Century, German mathematician Dadekind、 Cantor and Weierstrass successively created their own real numbers theory.Dadekind's core idea is the quot;cutquot; or quot;segmentationquot;of a continuity line; Cantor constructed irrational numbers strictly by the rational numbers sequence ; Bachman defined the real number with the interval sets on the Weierstrass's thought.In twentieth Century, mathematicians established axiomatic theory of real numbers on the axiomatic thought.

irrational number；closed interval sets；Dadekind cut；Cantor axiom；axiomatic thought

O171

A

2095-7408（2017）05-0001-05

2017-09-15

郭龍先（1965— ），女，云南昭通人，教授，主要從事代數學思想史研究.