《高等數學》啟發式教學

包弘+周笑峰

【摘要】學習《高等數學》不是單純的記憶，通過大量的練習掌握所學的知識，數學課堂有責任讓學生了解認識數學的本質，老師精心選擇問題，巧妙的進行啟發，培養學生的數學思維能力。

【關鍵詞】數學課堂；教學；啟發式

【中圖分類號】G633.41 【文獻標識碼】B 【文章編號】2095-3089（2017）11-0004-01

一、《高等數學》課堂現狀

在國內的很多《高等課堂》都是大班教學，一個班都是七八十甚至上百人，嚴重的違反教學規律，由于人數眾多，師生互動就比較困難，老師觀察不到所有學生的反應，數學效率比較低，為了保障教學效率，老師花整堂課講解數學定義、定理及方法，學生通過反復的模仿、練習來掌握老師所講的內容，數學方法和規律的形成和發展被人為的忽略，現在的教科書，為了遵循數學內部的邏輯性，形式化的表述有關概念、命題、公式，沒有把數學的來龍去脈講清楚，所以很多學生對數學提不起興趣，覺得枯燥、乏味、學習數學是一件迫不得已的事情。

二、教師教學水平對數學課堂的重要性

著名的數學教育家弗來登塔爾說過：“沒有一種數學的思想，以它被發現時的那個樣子公開發表出來[1]。”數學概念、法則、結論的產生和發展經歷了反復曲折的過程，數學課堂有責任讓學生了解數學的本質，這就對老師的專業素質提出很高的要求。教師不能像教科書上一樣的把靜態的知識點一一羅列，而是要把數學的本質給學生呈現出來，因為往往在課堂上對教學效率起著決定性作用的是老師的教學水平并非教材的水準。有些老師可以把枯燥無味的知識點講得生動有趣，而有些水平較差的數學老師，卻無法依靠一本好的教材而提高自己的教學水平。

三、教師要善于啟發學生

對于課堂教育而言，高等數學要培養能發現問題，提出問題，解決問題的創新型人才，而不是簡單的承載知識的容器，數學課堂要給學生展示數學最為鮮活的一面。盡可能的引導學生探索新問題以激發他們的學習興趣，通過解決實際問題讓他們獲得成就感。學生在數學課堂上學會以問題為導向有針對性的學習相關方面的知識，這對他們未來的生活和學習都是非常重要的。引導學生就需要有相應的問題情境，這些問題也不是自發產生的，而是教師有目的地進行活動的結果。例如：常數變異法是解線性微分方程的一種非常有用的方法，下面我們以一階的為例。

課本上先得到對應齊次線性方程的解是。接著就說所謂常數變異法來求非齊次線性方程的通解，就是把通解中的C換成x的未知函數[2]。

對于這樣一個結果，學生不知道它的來龍去脈，不明白自己到底在學什么，為什么看似沒有任何關聯的數學方法就這樣生拉硬扯的結合在了一起，形成了解這一類題的思路。作為老師就有責任引導、啟發學生，讓學生主動的參加創造性的實踐活動，領會研究數學中猜想和估計的重要性。

下面通過問題情境的方法啟發學生得到一階齊次線性微分方程的通解：

師：把微分方程改寫為，觀察這個方程，左邊是導數，右邊有兩項，回憶導數的四則運算，那什么樣的函數求導還有兩項呢？

生：乘積函數求導有兩項。

師：再觀察右邊，有一部分還保留了y，什么函數求導后自身還存在？

生：含有指數函數。

師：所以猜測解是乘積的形式，并且含有指數函數部分。再來觀察齊次的解，它的解是乘積的形式，并且含有指數函數，但可惜的是它求導后只有一項，如果C不是一個常數，而是一個函數，就符合我們的猜想。就猜測的解，這就是常數變異法的由來。

師：我們猜測解是這樣，現在問題的關鍵在哪里？

生：不知道。

師：怎么求？

生：如果是微分方程的解，它就要滿足這個微分方程，

代入原方程，得：

即

所以

所以，原方程的通解為：

這樣，學生知道了常數變異法是怎么來的，而不是去死記硬背一些解題套路，鍛煉學生的猜測能力和解決問題的能力，調動了學生的積極性，激發學生的求知欲。

參考文獻

[1]韓龍淑.數學啟發式教學研究述評[J].教學與管理，2008.11.

[2]同濟大學數學系.高等數學第七版（上）[M].高等教育出版社，2014.1.endprint