淺談怎樣理解比的意義

戴月

【摘要】北師大版數(shù)學(xué)突出的特點(diǎn)之一是強(qiáng)調(diào)學(xué)生整理信息、分析信息、運(yùn)用信息，在“比的認(rèn)識(shí)”這一課是在學(xué)生已經(jīng)學(xué)過(guò)了除法的意義、分?jǐn)?shù)的意義以及分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系的基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)的。引導(dǎo)學(xué)生在實(shí)際情景中，體會(huì)化簡(jiǎn)比的必要性，會(huì)運(yùn)用商不變的性質(zhì)化簡(jiǎn)比，并能運(yùn)用比的意義，解決一些按照一定的比進(jìn)行分配的實(shí)際問(wèn)題，進(jìn)一步體會(huì)比的意義，感受比在生活中的應(yīng)用，提高解決問(wèn)題的能力。

【關(guān)鍵詞】概念；抽象；比的意義；比值

【中圖分類號(hào)】G623.5 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】B 【文章編號(hào)】2095-3089（2017）11-0256-01

比在數(shù)學(xué)中是一個(gè)重要的概念，同時(shí)，學(xué)生理解比的意義往往比較困難。因此，我并沒(méi)有采取給出幾個(gè)案例，就直接定義比的概念的做法，教師應(yīng)注意聯(lián)系生活和已有經(jīng)驗(yàn)，建構(gòu)比的知識(shí)。引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)比在生活中的廣泛存在以及引用比的必要性。本文探究啟發(fā)式教學(xué)來(lái)理解比的意義，具有一定的現(xiàn)實(shí)意義。

在傳統(tǒng)的小學(xué)數(shù)學(xué)教材里，比的意義是“比較兩個(gè)量之間的倍數(shù)關(guān)系”。現(xiàn)行教材把比的意義改為“兩個(gè)數(shù)相除又叫做兩個(gè)數(shù)的比”。為什么要這樣改呢？

比的概念是從對(duì)同類量進(jìn)行比較而產(chǎn)生的。在日常生活中，對(duì)事物作數(shù)量上的比較，通常有兩種方法：一種是求一個(gè)量比另一個(gè)量多幾或少幾，比較他們的相差關(guān)系；另一種是求一個(gè)量是另一個(gè)量的幾倍或幾分之一，比較他們的倍數(shù)關(guān)系。我們通常把比較兩個(gè)量的倍數(shù)關(guān)系，也叫做兩個(gè)量的比。例如，一個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)3米，寬2米，求他們的倍數(shù)關(guān)系，得到長(zhǎng)是寬的3÷2=1，寬是長(zhǎng)的2÷3=。這種倍數(shù)關(guān)系，有時(shí)也可以用比表示，說(shuō)成長(zhǎng)與寬的比是3：2，寬與長(zhǎng)的比是2：3.而比較兩個(gè)量的相差關(guān)系，如上面的長(zhǎng)方形，求長(zhǎng)比寬多幾米，或?qū)挶乳L(zhǎng)少幾米，就不屬于“比”的范圍，不能叫做兩個(gè)量的比。至于球賽時(shí)記分牌上出現(xiàn)的幾比幾，如3：2、4：0等，雖然借用了比的符號(hào)，也寫成比的形式，但不同于數(shù)學(xué)中比的含義。

除了同類量的比以外，還有不同類量的比。例如，路程與時(shí)間的比，產(chǎn)生了一個(gè)新的量—速度，物體的重量與它的體積的比，產(chǎn)生了一個(gè)新的量—比重，這些都是學(xué)生在進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和其他學(xué)科時(shí)經(jīng)常要接觸到的實(shí)際問(wèn)題。如果按傳統(tǒng)教材的說(shuō)法，不同類量時(shí)不能相比的，因?yàn)椴煌惲恐g談不上什么倍數(shù)關(guān)系，那么就會(huì)產(chǎn)生問(wèn)題。

所以，在現(xiàn)代國(guó)內(nèi)外的教材改革中，逐漸趨向于給比的定義作為較廣義的解釋，把不同類量的比也納入比的范圍，這對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)新的科學(xué)知識(shí)是有好處的。當(dāng)然，不是任意兩個(gè)不同類量都可以相比的。例如，3支鉛筆與4輛汽車相比就沒(méi)有意義。相比的兩個(gè)量必須是相互關(guān)聯(lián)的。

在教比的意義時(shí)，一般可以根據(jù)教材列舉的兩個(gè)量相除的實(shí)際例子，概括出“兩個(gè)數(shù)相除又叫做兩個(gè)數(shù)的比”。然后分析，兩個(gè)同類量的比，表示兩個(gè)量的倍數(shù)關(guān)系，比值是一個(gè)不名數(shù)；兩個(gè)不同類量的比，如已知路程和時(shí)間，求速度，已知總產(chǎn)量和畝數(shù)，求畝產(chǎn)量等，也有其實(shí)際意義。再給學(xué)生一些練習(xí)，把兩個(gè)量相除用比的形式表示，使學(xué)生從正面理解比的意義。要使學(xué)生明確，比的前項(xiàng)和后項(xiàng)要根據(jù)具體問(wèn)題來(lái)確定，弄清楚是什么量跟什么量比，不能隨意顛倒位置。a對(duì)b比是以b為標(biāo)準(zhǔn)，記作：a：b，不能寫作b：a。變換比的標(biāo)準(zhǔn)，意義就發(fā)生變化。例如，汽車2小時(shí)行100公里，路程與時(shí)間的比是100：2，表示汽車的速度，即每小時(shí)行多少公里。如果寫成2：100，就變成時(shí)間與路程的比，表示汽車行1公里所需的時(shí)間，這是兩種完全不同的含義。在學(xué)生練習(xí)時(shí)，還要指導(dǎo)學(xué)生書寫完整，像上面的例子，應(yīng)寫成“路程與時(shí)間的比是100：2，時(shí)間與路程的比是2：100”，不能簡(jiǎn)單地寫成100：2，2：100。

為了使學(xué)生比較深刻地理解比的意義，鞏固比的概念，也可以反過(guò)來(lái)給出一個(gè)比，讓學(xué)生說(shuō)出它和除法的關(guān)系。例如，甲數(shù)與乙數(shù)的比使4：3，問(wèn)甲數(shù)是乙數(shù)的多少倍？乙數(shù)是甲數(shù)的幾分之幾？甲數(shù)比乙數(shù)多幾分之幾？乙數(shù)比甲數(shù)少幾分之幾？甲、乙兩數(shù)各占兩數(shù)和的幾分之幾？等等。還可以聯(lián)系實(shí)際，培養(yǎng)學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題的能力。

例如，五年級(jí)人數(shù)與六年級(jí)人數(shù)的比是9：10，分別寫出五年級(jí)人數(shù)與六年級(jí)人數(shù)的比，五年級(jí)、六年級(jí)人數(shù)與五、六年級(jí)總?cè)藬?shù)的比，五、六年級(jí)人數(shù)占五、六年級(jí)總?cè)藬?shù)的幾分之幾，等等。有經(jīng)驗(yàn)的教師往往采用多種方法，活躍學(xué)生思維，既鞏固比的概念，又為以后學(xué)習(xí)打下扎實(shí)的基礎(chǔ)。

比的書寫形式，在傳統(tǒng)教材里強(qiáng)調(diào)寫成比的一般形式，即前項(xiàng)：后項(xiàng)=比值，現(xiàn)行教材比較強(qiáng)調(diào)用比的分?jǐn)?shù)形式表示，即=比值，原因是可以和中學(xué)數(shù)學(xué)中比的書寫形式一致起來(lái)。但在寫成分?jǐn)?shù)形式以后，要讓學(xué)生注意，當(dāng)它是表示比時(shí)，就要理解為幾比幾，如，要理解為4：3，讀作4比3，不能讀作三分之四。

比的前項(xiàng)、后項(xiàng)和比值，相當(dāng)于除法中的被除數(shù)、除數(shù)和商，或分?jǐn)?shù)中的分子、分母和分?jǐn)?shù)值，這是比、除法、分?jǐn)?shù)三者之間的聯(lián)系。但是，它們之間還有區(qū)別，比表示兩個(gè)數(shù)的關(guān)系，除法是一種運(yùn)算，分?jǐn)?shù)是一個(gè)數(shù)。因而不能認(rèn)為比與除法、分?jǐn)?shù)是同一個(gè)概念，要注意講清它們之間的聯(lián)系與區(qū)別。

根據(jù)比的基本性質(zhì)可以把比化簡(jiǎn)，比的化簡(jiǎn)與求比值又是既有聯(lián)系又又區(qū)別的。特別是把比寫成分?jǐn)?shù)形式后，比值與比往往不易區(qū)別，要向?qū)W生說(shuō)明比值是一個(gè)數(shù)，化簡(jiǎn)比的結(jié)果還是一個(gè)比，要寫成比的形式，不能寫成整數(shù)或小數(shù)的形式。如36：16，化簡(jiǎn)得=，結(jié)果還是一個(gè)比，讀作9比4；求比值得=2，結(jié)果是一個(gè)分?jǐn)?shù)。

：，化簡(jiǎn)得：=，結(jié)果還是一個(gè)比，讀作4比1，求比值則得：=÷=4，結(jié)果要一個(gè)整數(shù)。

由于這一部分內(nèi)容是用一種新的觀點(diǎn)、新的方法來(lái)認(rèn)識(shí)數(shù)量關(guān)系，對(duì)于小學(xué)生來(lái)說(shuō)，難于透徹理解，所以在教學(xué)中除突出比的意義外，還要講清各個(gè)具體概念，便于學(xué)生接受。

參考文獻(xiàn)

[1]教育部基礎(chǔ)教育司，教學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)研制組編，《全日制義務(wù)教育教學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)解讀（實(shí)驗(yàn)稿）》[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2002.

[2]吳文侃，《比較教學(xué)論》[M].人民教育出版社，1999.

[3]羅增儒、李文銘《數(shù)學(xué)教學(xué)論》[M].陜西師范大學(xué)出版社，2003.

[4]張奠宙，《數(shù)學(xué)教育研究導(dǎo)引》[M].南京：江蘇教育出版社，1998.

[5]李玉琪，《數(shù)學(xué)教育概論》[M].中學(xué)科學(xué)技術(shù)出版社，1994、11.

[6]劉安君等，《數(shù)學(xué)教育學(xué)》[M].山東大學(xué)出版社，1997、12.