兩類“磁聚焦”與“磁發散”問題探析

浙江 李軍豪

平行微粒變會聚，發散微粒變平行。

兩類“磁聚焦”與“磁發散”問題探析

所謂磁聚焦，是指利用特殊邊界的勻強磁場，讓從不同空間位置以相同速度、平行射入磁場的帶電微粒束會聚于同一點的現象。所謂磁發散，是指從某一空間位置點沿不同方向、發射速率相同的帶電微粒束，經磁場偏轉后變為相互平行、同向運動的現象。

磁聚焦與磁發散，是兩個相反的物理過程，具有情景新穎、能力要求高、思維難度大的特點，是磁場類高考命題的熱點，能有效考查分析綜合能力、邏輯推理能力、應用數學知識解決物理問題的能力。現選取兩類經典案例，分類探究其發生的條件、遵循的規律及其拓展應用，供教學復習參考。

一、圓形磁場的聚焦與發散

圓形磁場的聚焦與發散是借助圓形邊界的勻強磁場，使速度相同、相互平行的帶電微粒聚焦于一點，和由某一固定點沿不同方向、發射速率相同的帶電微粒，經磁場偏轉后發散為相互平行的帶電微粒的現象。畫出規范的運動軌跡圖，應用物理作圖方法與數學方程方法，選取端值點與任意位置點的微粒來探究其規律，是求解這類問題的最有效途徑。

【例1】如圖1所示，x軸正方向水平向右，y軸正方向豎直向上。在xOy平面內有一個半徑為R、與xOy平面垂直的勻強磁場。在圓形磁場的左邊放置一帶電微粒發射裝置，它沿x軸正方向發射出一束具有相同質量m、電荷量q(qgt;0)和初速度v的帶電微粒。發射時，這束帶電微粒分布在0lt;ylt;2R的區間內。不計微粒重力，忽略微粒間的相互作用。

圖1

(1)從A點射出的帶電微粒平行于x軸從C點進入有磁場區域，并從坐標原點O沿y軸負方向離開，求磁感應強度的大小與方向。

(2)請指出這束帶電微粒與x軸相交的區域，并說明理由。

(3)若這束帶電微粒初速度變為2v，那么它們與x軸相交的區域又在哪里？并說明理由。

圖2

圖3

(2)這束帶電微粒都通過坐標原點O。亦即這束帶電微粒都將會聚于坐標原點O。理由及解法說明如下：

從任一點P水平進入圓形磁場的帶電微粒，在磁場中做半徑為R的勻速圓周運動，如圖3所示。其中四邊形PQOO′為菱形，邊長為R，設P點與O′點的連線與y軸的夾角為θ，則∠QOO′=θ，微粒圓周運動的圓心Q的坐標為(-Rsinθ，Rcosθ)，故微粒圓周運動的軌跡方程為：(x+Rsinθ)2+(y-Rcosθ)2=R2①

又圓形磁場的圓心坐標為(0，R)，故圓形磁場的邊界方程為：

x2+(y-R)2=R2②

聯解①②兩式，可得帶電微粒做圓周運動的軌跡與磁場邊界的兩個交點坐標為：

x1=0、y1=0與x2=-Rsinθ、y2=R(1+cosθ)，

顯然，后者坐標點(x2，y2)就是P點，須舍去。

可見，這束帶電微粒都是通過坐標原點離開磁場的。

(3)這束帶電微粒與x軸相交的區域是0lt;xlt;∞。理由說明如下：

圖4

很顯然，靠近M點發射出的帶電微粒穿過磁場后會射向靠近x軸正方向的無窮遠處；靠近N點發射出的帶電微粒穿過磁場后會射向靠近原點O處。

綜上可知，這束帶電微粒與x軸相交的區域范圍是0lt;xlt;∞。

【規律小結】

綜上可知，平行同方向運動的帶電微粒在圓形磁場區域的聚焦問題，具有以下特點與規律：

(1)條件性。重力不計的帶電微粒，在勻強磁場中做勻速圓周運動的半徑r=mv/qB，與圓形磁場的半徑R相同的條件下，才能使平行射入圓形磁場的帶電微粒束會聚于一點。

(2)聚焦性。沿+x方向平行射入圖1的圓形磁場的帶正電微粒束，將會聚于磁場圓周的最低點；如果微粒束帶負電，或者磁場方向相反，微粒束將會聚于磁場圓周的最高點。

(3)發散性。在圖1中ygt;0的空間區域，從坐標原點O處沿不同方向射出的速率相同的帶正電的微粒束，經圓形磁場偏轉后都將沿+x方向平行射出；如果微粒束帶負電，或磁場方向相反，經圓形磁場偏轉后都將沿-x方向平行射出。

(4)可逆性。聚焦與發散是兩個相反、可逆的過程，運用圓形磁場的組合，或者改變微粒束的電性，或者改變磁場方向，可以實現磁聚焦與磁發散的逆向轉換。

明確圓形磁場的聚集與發散的條件，以及會聚性、發散性、逆向性的規律，就能快速、有效地求解更深層次的同類問題。

【拓展應用】

【例2】真空中有一半徑為r的圓柱形勻強磁場區域，磁場方向垂直于紙面向里，Ox為過邊界上O點的切線，如圖5所示，從O點在紙面內向各個方向發射速率均為v0的電子，設電子間相互作用忽略，且電子在磁場中偏轉半徑也為r。已知電子的電量為e，質量為m。

圖5

圖6

(1)速度方向分別與Ox方向夾角成60°和90°的電子，在磁場中的運動時間分別為多少；

(2)所有從磁場邊界出射的電子，速度方向有何特征；

(3)今在某一平面內有M、N兩點，其水平間距MN=l，從M點向平面內各個方向發射速率均為v0的電子。請在圖6中設計一種勻強磁場分布，使得由M點發出的電子都能夠匯聚到N點，并求出勻強磁場的磁感應強度B的最小值。

【解析】(1)如圖7所示，令入射時電子速度與x軸夾角為θ，其入射點為O，射出點為A。由于電子在磁場中偏轉半徑與圓形磁場區域半徑相等，故無論入射的速度方向與x軸的夾角為何值，磁場區域圓心O1和電子圓周運動軌道圓心O2一定組成邊長為r的菱形。

圖7

因O1O⊥Ox，OO2垂直于入射速度，故∠OO2A=θ。即電子在磁場中所轉過的角度一定等于入射時電子速度與Ox軸的夾角。

(2)因O2A∥OO1，且O1O⊥Ox，故O2A⊥Ox。又O2A與電子射出的速度vA方向垂直，可知電子射出方向vA一定與Ox軸方向平行，即vA⊥Ox，故所有的電子射出圓形磁場時，速度方向均與Ox軸同方向、且相互平行。

(3)由于磁發散與磁聚焦的路徑是可逆的，所以從圖7中的圓形磁場射出的這些速度相同、相互平行的電子束，若再進入一相同的圓形勻強磁場后，一定會聚焦于某一點。

在圖8所示中，四個圓形磁場的半徑相同，磁感應強度大小相等，磁場方向上下相反，上下圓形磁場分別與MN相切，其中，M、N為切點。

圖8

對于從M點向MN連線上方射出的電子，經圓形磁場MM1與NN1依次發散、磁聚后，都能夠匯聚到N點。同理，對于從M點向MN連線下方射出的電子，經圓形磁場MM2與NN2依次發散、磁聚后，亦都能夠會聚到N點。

【特別說明】例2中的磁場設計，涵蓋圓形磁場的發散與聚焦兩個過程。圖8中的磁場分布，只是符合題意的磁場之一，是符合題意的磁場面積最小的情形。其實，只要在矩形區域M1N1M2N2內除圖中四個半圓形磁場外必須無其他磁場存在，矩形M1N1M2N2區域外的磁場均可向其余區域擴展。

二、“葉形”磁場的聚焦與發散

什么形狀的勻強磁場，使磁場區域的面積最小，也能使速度相同、相互平行的帶電微粒聚焦于一點，或者由某一固定點沿不同方向發射的速率相同的帶電微粒，經過磁場偏轉后發散為相互平行的帶電微粒？要探究這類問題的規律性，關鍵是要建立起正確的空間幾何圖形，具備扎實的數學知識，特別是圓的方程知識。這類問題重在考查探究性、創造性的思維能力，以及深層次應用數學知識解決物理問題的能力。

【例3】如圖9所示，ABCD是邊長為a的正方形。質量為m、電荷量為e的電子以大小為v0的初速度沿紙面垂直于BC邊射入正方形區域。在正方形內適當區域中有勻強磁場。電子從BC邊上的任意點入射，都只能從A點射出磁場。不計重力，求：

圖9

(1)此勻強磁場區域中磁感應強度的方向和大小；

(2)此勻強磁場區域的最小面積。

【解析】(1)如圖9所示，設磁場的磁感應強度大小為B。現考察特殊情形，即電子自C點垂直于BC入射，其運動軌跡為圓弧CEA，圓弧的圓心在A、C連線的中垂線上，故B點即為圓周運動的圓心。由左手定則可知，磁場的方向應垂直于紙面向外。

由圖10可知，電子做圓周運動的半徑為r=a，

(2)由(1)中決定的磁感應強度B的方向和大小情形下，自C點垂直于BC入射的電子，在A點沿DA方向射出；自BC邊上其他點垂直入射的電子，其運動軌跡只能在BAEC區域中。故圓弧CEA是所求的最小磁場區域的一個邊界。

為了確定該磁場區域的另一邊界，我們來考查自BC邊上任意點垂直BC入射的電子的情形。設該電子的運動軌跡qpA如圖10所示，其中，qp為無磁場區域做勻速直線運動，圓弧pA為磁場區域做勻速圓周運動，運動半徑r仍然為a。

圖10

若以A為坐標原點，以AB為x軸、AD為y軸，建立直角坐標系，并設從A點射出的電子的速度方向與x軸負方向的交角為θ，則磁場邊界入射點P的坐標(x,y)數值為：

x=asinθ，y=a-acosθ，

顯然，其滿足以下圓方程：x2+(y-a)2=a2。

這意味著，電子射入磁場的點p，是以D為圓心、a為半徑的四分之一圓弧CFA，即圓弧CFA是電子做直線運動與圓周運動的分界線，也就是構成所求最小磁場區域的另一邊界。

因此，所求的最小勻強磁場區域，就是分別以B和D為圓心，以a為半徑的兩個四分之一圓弧CEA和CFA所圍成的區域，其最小面積數值為：

【規律小結】綜上可知，平行同方向運動的帶電微粒在最小磁場區域的聚焦問題，具有以下特點與規律：

(1)條件性。最小磁場區域的兩個邊界，就是兩個正對的半徑相同的四分之一圓周的圓弧；最小的磁場面積就是兩個四分之一圓弧之交集的面積。最小磁場區域形狀呈“葉形”。

(2)聚焦性。沿-x方向平行射入圖10“葉形”磁場的電子束，將會聚于“葉形”磁場的最低點(A點)；若電子束沿+x方向平行射入“葉形”磁場，將會聚于“葉形”磁場的最高點(C點)。

(3)發散性。若改變圖10中的磁場方向，則從坐標原點A向第Ⅰ象限射入速率相同、方向不同的電子束，經“葉形”最小磁場偏轉后發散，將變為平行于+x軸方向的電子束離開。

若從圖10磁場的最高點C向“葉形”磁場內射入速率相同、方向不同的帶正電粒子束，經磁場偏轉后發散，將變為平行于-x軸方向的粒子束離開。

(4)可逆性。運用“葉形”磁場的組合與對接，或者改變微粒束的電性，或者改變磁場的方向，可以實現磁聚焦與磁發散的逆向轉換。

浙江省衢州第一中學)