自主招生電學問題講與練

2017-12-13 10:30:38江蘇

教學考試(高考物理) 2017年5期

江蘇吳俊

立足高考，直通自招，在講練中感悟提升。

自主招生電學問題講與練

在電學內容中，自主招生與高考有重疊的內容，如庫侖定律、電阻定律、閉合電路的歐姆定律、楞次定律、法拉第電磁感應定律等，常用的方法有微元法、圖象法、等效法、對稱法、類比法、近似法、補償法(電學實驗)等。因為名校自主招生對學生的掌握程度要求更高，所以復習應考中還要補充學習均勻帶電球殼殼內的場強和殼外的場強公式、電勢公式、歐姆表、惠斯通電橋、電流的磁場表達式、反電動勢、電流和電壓的相位差等知識。

一、庫侖定律的應用

庫侖定律成立的條件，歸納起來有三條：(1)電荷是點電荷；(2)兩點電荷是靜止或相對靜止的；(3)只適用真空。

【例1】(2013·華約自招)“頓牟綴芥”是兩千多年前我國古人對摩擦起電現(xiàn)象的觀察記錄，經摩擦后帶電的琥珀能吸起小物體。現(xiàn)用下述模型分析探究。

在某處固定一個電荷量為Q的點電荷，在其正下方h處有一個原子。在點電荷產生的電場(場強為E)作用下，原子的負電荷中心與正電荷中心會分開很小的距離l，形成電偶極子。描述電偶極子特征的物理量稱為電偶極矩p，p=ql，這里q為原子核的電荷。實驗顯示，p=αE，α為原子的極化系數(shù)，反映其極化的難易程度。被極化的原子與點電荷之間產生作用力F。在一定條件下，原子會被點電荷“綴”上去。

(1)F是吸引力還是排斥力?簡要說明理由；

【解析】(1)F為吸引力。理由：當原子極化時，與Q異性的電荷移向Q，而與Q同性的電荷被排斥而遠離Q。這樣異性電荷之間的吸引力大于同性電荷的排斥力，總的效果是吸引。

(3)設電荷Q帶正電(見圖1)。電荷Q與分離開距離l的一對異性電荷間的總作用力為

圖1

實驗顯示，p=aE，而電荷Q在離它h處的原子所在地產生的電場大小為

于是，電荷Q與極化原子之間的作用力為

【點悟】本題在庫侖定律的基礎上，加設了電偶極矩、極化公式等信息，這需要在審題時反復讀題，找出題眼。在運算中，又設置了微小量的近似運算，這種方法要掌握。

有關庫侖定律的命題可以單獨命制，也可以綜合命制，如高考復習中的三個電荷中的平衡問題；庫侖定律在動力學中的應用、在圓周運動中的應用等，有些問題還與圖象結合起來，讀者可以在練習或者后面的專題講解中慢慢體會。

二、平行板電容器與其中粒子的運動

【例2】(2010·華約自招)如圖2所示，三個面積均為S的金屬板A、B、C水平放置，A、B相距d1，B、C相距d2，A、C接地，構成兩個平行板電容器。上板A中央有小孔D。B板開始不帶電。質量為m、電荷量為q(qgt;0)的液滴從小孔D上方高度為h處的P點由靜止一滴一滴落下。假設液滴接觸B板可立即將電荷全部傳給B板。油滴間的靜電相互作用可忽略，重力加速度取g。

圖2

(1)若某帶電液滴在A、B板之間做勻速直線運動，此液滴是從小孔D上方落下的第幾滴？

(2)若發(fā)現(xiàn)第N滴帶電液滴在B板上方某點轉為向上運動，求此點與A板的距離H。

【解析】(1)根據(jù)題意，A、B板與B、C板構成的兩個平行板電容器的電容分別為

設第n滴帶電液滴可在A、B板之間做勻速直線運動。當?shù)趎滴帶電液滴處于A、B板之間時，B板所帶電荷量為

Q1+Q2=(n-1)q③

式中，Q1和Q2分別為金屬板B上下兩個表面上的電荷量。設B板電勢為U，則

Q1=C1U④

Q2=C2U⑤

由于第n滴帶電液滴在A、B板之間做勻速直線運動，有

qE1=mg⑦

按題意，第N滴帶電液滴會在下落到離A板距離為H(Hlt;d1)時，速度為零，此時液滴所在位置的電勢為

由能量守恒得

由①②④⑤⑨⑩式得

電容器中的帶電粒子從運動狀態(tài)看有靜止、直線運動和曲線運動三種情況。受力分析是首要的步驟。對靜止狀態(tài)利用平衡方程解決。對于直線運動可用牛頓運動定律和功能關系解答，利用圖象法輔助求解有時更佳，而對于曲線運動分為類平拋運動，利用分解思想解答。對于圓周運動要注意等效加速度和物理最高點等問題，充分利用牛頓運動定律和功能規(guī)律。

三、帶電粒子在電磁場中的運動

帶電粒子運動的方向恰與磁場方向在一條直線上，該粒子仍不受洛倫茲力的作用，粒子就以這個速度在磁場中做勻速直線運動。

帶電粒子速度方向與磁場方向垂直，帶電粒子在垂直于磁場方向的平面內以入射速度v做勻速圓周運動。

【例3】(2013·北約自招)如圖3所示，在一豎直平面內有水平勻強磁場，磁感應強度B的方向垂直該豎直平面朝里。豎直平面中a、b兩點在同一水平線上，兩點相距l(xiāng)。帶電量qgt;0，質量為m的質點P，以初速度v從a對準b射出。忽略空氣阻力，不考慮P與地面接觸的可能性，設定q、m和B均為不可改動的給定量。

圖3

(1)若無論l取什么值，均可使P經直線運動通過b點，試問v應取什么值;

(2)若v為(1)問可取值之外的任意值，則l取哪些值，可使P必定會經曲線運動通過b點;

(3)對每一個滿足(2)問要求的l值，計算各種可能的曲線運動對應的P從a到b所經過的時間；

(4)對每一個滿足(2)問要求的l值，試問P能否從a靜止釋放后也可以通過b點?若能，在此過程中可達到的最大運動速率vmax。

【解析】(1)要使P經過直線運動通過b點，必有

mg=qvB

(2)設質點速度為v+Δv，質點所受到的洛倫茲力為q(v+Δv)B，與重力的合力為mg+q(v+Δv)B=qΔvB，所以質點的運動可視為沿ab連線方向做速度為v的勻速直線運動和速度為Δv的圓周運動，要使質點通過b點，

t=nT②

l=vt④

以上各式解得

【點悟】從最近幾年的自主招生試題看，以帶電粒子在電場、磁場、復合場中的運動命題皆有。有的內容與高考接近，有的要高于高考，特別是復合場問題。如本題第一問利用復合場的平衡知識就可以解決，第二、第三問要對速度進行分解。另外曲率半徑、功能規(guī)律與牛頓運動定律在圓周運動中的綜合性使用都是高于高考的。

四、電磁感應現(xiàn)象中的綜合性問題

電磁感應內容中，自主招生涉及規(guī)律與高考差不多，但是加強了微元法、等效法、守恒思想等的應用。

圖4

【例4】(2013·卓越自招)如圖4所示，兩根電阻不計的光滑金屬導軌豎直放置，相距為L，導軌上端接有阻值為R的電阻，水平條形區(qū)域Ⅰ和Ⅱ內有磁感應強度為B、方向垂直導軌平面向里的勻強磁場，其寬度均為d，Ⅰ和Ⅱ之間相距為h且無磁場。一長度為L、質量為m、電阻不計的導體棒，兩端套在導軌上，并與兩導軌始終保持良好接觸。現(xiàn)將導體棒由區(qū)域Ⅰ上邊界H處靜止釋放，在穿過兩段磁場區(qū)域的過程中，流過電阻R上的電流及其變化情況相同。重力加速度為g，求：

(1)導體棒進入?yún)^(qū)域Ⅰ的瞬間，通過電阻R的電流大小與方向；

(2)導體棒穿過區(qū)域Ⅰ的過程中，電阻R上產生的熱量Q；

(3)下面四個圖象定性地描述了導體棒速度大小與時間的關系，請選擇正確的圖象并簡述理由。

由法拉第電磁感應定律得E=BLv

由楞次定律判斷通過R的電流方向由右向左。

(2)設導體棒穿出區(qū)域Ⅰ的瞬間的速度大小為v′，根據(jù)能量守恒定律有

由題意知，導體棒穿過兩端磁場過程中，流過電阻R的電流及變化情況相同，所以，導體棒在進入?yún)^(qū)域Ⅰ和Ⅱ的瞬時速度相同。導體棒在兩磁場之間運動時只受到重力的作用，因為機械能守恒定律，有：

以上聯(lián)立解得Q=mg(h+d)。

(3)導體棒由靜止進入?yún)^(qū)域Ⅰ之前，只受到重力作用，導體棒做自由落體運動，加速度為g，因為在0～t1時間段內v-t圖象為直線。導體棒在兩磁場之間運動時也只受重力的作用，同理在t2～t3時間段內v-t圖象為直線。

兩磁場區(qū)域的寬度相同，導體棒穿過兩端磁場的過程中，流過電阻R的電流及其變化情況相同，可知導體棒在進入Ⅰ和Ⅱ瞬間的瞬時速度相同，且在兩磁場區(qū)域內速度的變化相同，因此導體棒在t1～t2和t3～t4時間段內v-t圖象相同，而且導體棒在磁場區(qū)域內做加速度減小的減速運動，C項正確。

【答案】C

【點悟】在電磁感應的備考中，讀者需要注意幾點。第一，要分清勻強磁場、非勻強磁場、輻向型磁場，還有交替變換型磁場；第二，知道導體桿有單桿和雙桿在不同磁場中的過程分析，會分析導體方形框、梯形框、圓形框等在磁場中的運動，在解決問題時合理運用牛頓運動定律、法拉第電磁感應定律、閉合電路歐姆定律、能量守恒定律、動量定理等，很多問題還可以借助圖象分析說明。

小試身手

1．(多選)(2012·卓越自招)在如圖所示的坐標系內，帶有等量負電荷的兩點電荷A、B固定在x軸上，并相對于y軸對稱，在y軸正方向上的M點處有一帶正電的檢驗電荷由靜止開始釋放。若不考慮檢驗電荷的重力，那么檢驗電荷運動到O點的過程中

( )

A．電勢能逐漸變小

B．電勢能先變大后變小，最后為零

C．先做加速運動后做減速運動

D．始終做加速運動，到達O點時加速度為零

2．(2012·華約自招)兩電源電動勢分別為E1、E2(E1gt;E2)，內阻分別為r1、r2。當這兩個電源分別和一阻值為R的電阻連接時，電源輸出功率相等。若將R減小為R′，電源輸出功率分別為P1、P2，則

( )

A．r1lt;r2，P1lt;P2________________B．r1gt;r2，P1gt;P2

C．r1lt;r2，P1gt;P2D．r1gt;r2，P1lt;P2

3．(2011·華約自招)空間某區(qū)域內存在勻強磁場，磁場的上下邊界水平，方向和豎直平面(紙面)垂直，兩個由完全相同的導線制成的剛性線框a和b，其形狀分別為周長為4l的正方形和周長為6l的矩形，線框a和b在豎直平面內從如圖所示的位置開始自由下落，若從開始下落到線框完全離開磁場的過程中安培力對兩線框的沖量分別為Ia、Ib，則Ia∶Ib為

( )