巧解導數(shù)壓軸試題，彰顯指對不等式本色
——談談導數(shù)綜合問題中幾個常見的不等式

陜西 王寶林

巧解導數(shù)壓軸試題，彰顯指對不等式本色
——談談導數(shù)綜合問題中幾個常見的不等式

陜西 王寶林

導數(shù)的綜合問題一般在高考中以壓軸題的形式出現(xiàn)，題目往往以導數(shù)為工具討論函數(shù)的單調(diào)性、求函數(shù)的極值和最值、解決恒成立問題、探究存在性問題、證明不等式等.這些問題是高考的熱點和重點，同時也是學生的難點.這類問題往往要涉及到y(tǒng)=ex和y=lnx這兩個函數(shù)，利用它們構造新的超越函數(shù)，從而提高了題目的難度.解決此類問題時，利用幾個常見的指數(shù)不等式和對數(shù)不等式對導數(shù)問題進行轉化、分類，對函數(shù)值進行定量分析，就能突破難點，找到解題的最佳途徑.本文給出了這幾個重要不等式的內(nèi)容、證明過程和圖形表示以及它們在解決導數(shù)綜合問題中的應用，僅供師生們在導數(shù)專題復習中參考.

一、幾個重要不等式及其推導過程和圖形表示

1.三個重要指數(shù)不等式

不等式1：ex≥x+1. (1)

證明：設f(x)=ex-x-1，則f′(x)=ex-1，當xgt;0時，f′(x)gt;0，當xlt;0時，f′(x)lt;0，所以f(x)=ex-x-1≥f(0)=0，即ex≥x+1，當且僅當x=0時取等號，得證.

圖形表示：如圖，y=ex在(0,1)處的切線方程為y=x+1.

不等式2：exgt;x2(xgt;0). (2)

證明：設f(x)=ex-x2，則f′(x)=ex-2x，

設g(x)=ex-2x，則g′(x)=ex-2，

當xgt;ln2時，g′(x)gt;0，當0lt;xlt;ln2時，g′(x)lt;0，

所以f′(x)=g(x)gt;g(ln2)=eln2-2ln2=2(1-ln2)gt;0，

故f(x)=ex-x2在(0,+∞)上單調(diào)遞增，所以f(x)gt;f(0)=1gt;0即exgt;x2(xgt;0)，得證.

圖形表示：如圖.

圖形表示：如圖.

2.兩個重要對數(shù)不等式

不等式4：lnx≤x-1. (4)

圖形表示：如圖，y=lnx在(1,0)處的切線方程為y=x-1.

不等式5：xlnx≥x-1(xgt;0). (5)

證明：設f(x)=xlnx-x+1，則f′(x)=lnx，當xgt;1時，f′(x)gt;0，當0lt;xlt;1時，f′(x)lt;0，所以f(x)≥f(1)=0，即xlnx≥x-1(xgt;0)，當且僅當x=1時取等號，得證.

圖形表示：如圖，y=xlnx在(1,0)處的切線方程為y=x-1.

二、在導數(shù)綜合問題中的應用

【例1】(2013·全國新課標Ⅱ·第21題)已知函數(shù)f(x)=ex-ln(x+m).當m≤2時，證明f(x)gt;0.

分析：當m≤2時，f(x)=ex-ln(x+m)≥ex-ln(x+2)，故只需證明g(x)=ex-ln(x+2)gt;0，就轉化為求函數(shù)g(x)=ex-ln(x+2)的最小值問題了.此法雖然可行(下見證法1)，但函數(shù)的極值點無法準確確定，對學生的運算能力和思維能力要求很高，一般學生無法解答.

如果能注意到由不等式(1)ex≥x+1和不等式(4)lnx≤x-1的變式(向左平移2個單位)ln(x+2)≤x+1就可順利得到ex≥x+1≥ln(x+2)，問題就輕松解決了(下見證法2).

綜上，當m≤2時，f(x)gt;0，得證.

評注：證法1對學生的運算能力和思維能力要求很高，一般學生無法解答.證法2的巧妙之處就在于利用第三者x+1的媒介作用很好的完成了ex和ln(x+2)的比較.這正是這幾個重要的指數(shù)不等式和對數(shù)不等式給予我們的.有了這些不等式，我們在解決此類問題時往往能感受到什么是柳暗花明.

事實上，如圖，我們不難發(fā)現(xiàn)y=x+1是y=ex和y=ln(x+2)的公切線，這就為我們以后解決此類問題指明了方向，如果兩條曲線的公切線將它們分隔在兩側，我們就可以用本例中的方法解決相應的問題.

【例3】(2010·全國新課標·第21題)設函數(shù)f(x)=ex-1-x-ax2.

(Ⅰ)若a=0，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(Ⅱ)若當x≥0時，f(x)≥0，求a的取值范圍.

第二種解法就是直接求出f(x)的最小值，由[f(x)]min≥0得到a的取值范圍，但由f′(x)=ex-1-2ax來確定函數(shù)的單調(diào)性比較困難(可行，見下文解法1).學生能認識到這個問題的復雜性是由ex引起的，而高考題中一般沒有無緣無故的第一問的，第一問其實已經(jīng)滲透了不等式(1)ex≥x+1，由此進行放縮也許就能柳暗花明，化繁為簡，從而筆者得到以下兩種解法.

解：(Ⅰ)a=0時，f(x)=ex-1-x，f′(x)=ex-1.

當x∈(-∞，0)時，f′(x)lt;0；

當x∈(0，+∞)時，f′(x)gt;0.

故f(x)在(-∞，0)上單調(diào)遞減，在(0，+∞)上單調(diào)遞增.

評注：解法1對學生的運算能力和思維能力要求很高，一般學生無法解答.解法2的巧妙之處就在于兩次利用不等式(1).這些問題中往往含有ex或lnx的復合函數(shù)，都比較復雜，但只要我們能靈活應用本文所提到的指數(shù)或對數(shù)不等式對函數(shù)值進行放縮，往往能事半功倍.今年山東卷的壓軸題命題思路幾乎和本題一致：設函數(shù)f(x)=ln(x+1)+a(x2-x)，其中a∈R.(Ⅰ)討論函數(shù)f(x)極值點的個數(shù)，并說明理由；(Ⅱ)若?xgt;0，f(x)≥0成立，求a的取值范圍.(解題時要用到不等式4，給出題目供大家思考)

在復習這部分內(nèi)容時，經(jīng)常有學生會問到我怎么就沒有想到要構造這樣的函數(shù)，我怎么才能找到那個合適的值或區(qū)間來一錘定音.其實只要我們掌握并能熟練運用這些常見的不等式，就能使我們從較高的角度把握全局，從而快捷準確的找到解決問題的路徑.最后再給出幾個題目供大家在備考復習中參考.

思考題1：(2014·福建·第20題)已知函數(shù)f(x)=ex-ax(a為常數(shù))的圖象與y軸交于點A，曲線y=f(x)在點A處的切線斜率為-1.

(Ⅰ)求a的值及函數(shù)f(x)的極值；

(Ⅱ)證明：當xgt;0時，x2lt;ex；

(Ⅲ)證明：對任意給定的正數(shù)c，總存在x0，使得當x∈(x0,+∞)，恒有x2lt;cex.

(提示：第(Ⅲ)問利用不等式3可輕松證明)

思考題2：已知函數(shù)f(x)=ex，g(x)=x-m，m∈R.

(Ⅰ)若曲線f(x)=ex與g(x)=x-m相切，求m的值；

(Ⅱ)若h(x)=f(x)g(x)，求h(x)在[0,1]上的最大值；

(Ⅲ)當m=0時，試比較ef(x-2)和g(x)的大小.

陜西榆林市教研室)