圓周運動臨界問題的題型及其求解

河北

孫學(xué)禮

圓周運動臨界問題的題型及其求解

孫學(xué)禮

在一定束縛條件下的圓周運動是典型的變速圓周運動，在變速圓周運動中經(jīng)常出現(xiàn)“剛好”“恰好”“正好”“最大”“最小”“至少”等字眼，這些關(guān)鍵詞恰恰說明此題中含有臨界條件，而高考對圓周運動中含有臨界條件試題的考查幾乎每年都會出現(xiàn)。

對于圓周運動中的臨界問題，分析時應(yīng)首先考慮達(dá)到臨界條件時物體所處的狀態(tài)，然后分析該狀態(tài)下物體的受力特點，結(jié)合圓周運動知識，列出相應(yīng)的動力學(xué)方程，對有關(guān)范圍類的臨界問題，應(yīng)注意分析兩個極端狀態(tài)，以確定變化范圍。

一、水平面上的臨界情況

水平面內(nèi)做圓周運動的物體其向心力可能由彈力、摩擦力等力提供，常涉及繩的張緊與松弛、接觸面分離等臨界狀態(tài)。在水平面內(nèi)做圓周運動的物體，當(dāng)角速度ω變化時，物體有遠(yuǎn)離或向著圓心運動的趨勢，這時要根據(jù)物體的受力情況，判斷物體所受的某個力是否存在以及這個力存在時大小或方向的變化，特別是繩的拉力、彈簧的拉力、接觸面的彈力和摩擦力等，通過受力分析來確定臨界條件和臨界狀態(tài)，是較常使用的解題方法。

【例1】如圖1示，兩個質(zhì)量均為m的小木塊a和b(可視為質(zhì)點)放在水平圓盤上，a與轉(zhuǎn)軸OO′的距離為l，b與轉(zhuǎn)軸的距離為2l。木塊與圓盤的最大靜摩擦力為木塊所受重力的k倍，重力加速度大小為g。若圓盤從靜止開始繞轉(zhuǎn)軸緩慢地加速轉(zhuǎn)動，用ω表示圓盤轉(zhuǎn)動的角速度，下列說法正確的是

( )

圖1

A.b一定比a先開始滑動

B.a、b所受的摩擦力始終相等

【解析】本題應(yīng)該從向心力來源入手，分析發(fā)生相對滑動的臨界條件。關(guān)鍵語句“兩個質(zhì)量均為m的小木塊”暗示二者所受最大靜摩擦力相同；而“放在水平圓盤”則提示二者具有相同的角速度；由于二者與轉(zhuǎn)軸的距離不同，則轉(zhuǎn)動中所受到的向心力不同。

【答案】AC

【例2】如圖2示，用一根長為l=1 m的細(xì)線，一端系一質(zhì)量為m=1 kg的小球(可視為質(zhì)點)，另一端固定在一光滑錐體頂端，錐面與豎直方向的夾角θ=37°，當(dāng)小球在水平面內(nèi)繞錐體的軸做勻速圓周運動的角速度為ω時，細(xì)線的張力為FT。g取10 m/s2，下列說法正確的是

( )

圖2

【解析】本題中，盡管小球在錐體的表面運動，但是由于小球是在水平面內(nèi)繞錐體的軸做圓周運動，因此仍然屬于水平面上的圓周運動。

(1)若要小球剛好離開錐面，則小球受到重力和細(xì)線拉力如圖3所示。小球做勻速圓周運動的軌跡圓在水平面上，故向心力水平。

圖3

在水平方向運用牛頓第二定律及向心力公式

(2)同理，當(dāng)細(xì)線與豎直方向成60°角時，由牛頓第二定律及向心力公式

有：mgtanα=mω′2lsinα

【答案】AC

二、豎直面上的臨界情況

在豎直平面內(nèi)做圓周運動的物體，運動至軌道最高點時的受力情況可分為兩類，即“輕繩模型”和“輕桿模型”。它們的共同特點是物體在豎直平面內(nèi)做變速圓周運動，這兩類模型常伴有“最大”“最小”“剛好”等詞語，是典型的涉及臨界(極值)的問題，兩種模型分析比較如下：

類型輕繩模型(最高點無支撐)輕桿模型(最高點有支撐)實例球與繩連接、水流星、翻滾過山車球與桿連接、球與豎直管道、套在圓環(huán)上的物體等

續(xù)表

【例3】如圖4所示，乘坐游樂園的翻滾過山車時，質(zhì)量為m的人隨車在豎直平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，下列說法正確的是

( )

圖4

A.過山車在最高點時人處于倒坐狀態(tài)，全靠保險帶拉住，沒有保險帶，人就會掉下來

B.人在最高點時對座位不可能產(chǎn)生大小為mg的壓力

C.人在最低點時對座位的壓力等于mg

D.人在最低點時對座位的壓力大于mg

【答案】D

【例4】如圖5所示，輕桿長3L，在桿兩端分別固定質(zhì)量均為m的球A和B，光滑水平轉(zhuǎn)軸穿過桿上距球A為L處的O點，外界給系統(tǒng)一定能量后，桿和球在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動，球B運動到最高點時，桿對球B恰好無作用力。忽略空氣阻力。則球B在最高點時

( )

圖5

A.球B的速度為零

C.水平轉(zhuǎn)軸對桿的作用力為1.5mg

D.水平轉(zhuǎn)軸對桿的作用力為2.5mg

【答案】C

三、斜面上的臨界情況

當(dāng)物體在斜面上運動時，需要正確找出圓周運動的圓心和半徑，解題的關(guān)鍵仍然是確定臨界狀態(tài)并找出滿足臨界狀態(tài)的條件。而由于物體在斜面上運動，所以向心力的來源不像上述兩種情況那么簡單，必須確定物體在斜面方向上的受力，如重力沿斜面方向的分力mgsinθ；當(dāng)物體與斜面之間存在摩擦?xí)r，摩擦力也可能參與提供向心力，這時的摩擦力也不再是簡單的μmg，而是變成了μmgcosθ，這些都需要根據(jù)實際情況確定。

【例5】如圖6所示，在傾角為α=30°的光滑斜面上，有一根長為L=0.8 m的細(xì)繩，一端固定在O點，另一端系一質(zhì)量為m=0.2 kg的小球，小球沿斜面做圓周運動，若使小球能在斜面上做完整的圓周運動(g取10 m/s2)，則小球在最高點A的最小速度是

( )

圖6

【答案】A

四、圓周運動與平拋運動的綜合

圓周運動和平拋運動是兩種典型的曲線運動，圓周運動與平拋運動結(jié)合的綜合問題，是高考的熱點，也是高考的重點。此類綜合問題主要是水平面內(nèi)的圓周運動與平拋運動的綜合考查和豎直面內(nèi)圓周運動與平拋運動的綜合考查，首先根據(jù)運動的獨立性和各自的運動規(guī)律列式，其次尋找兩種運動的結(jié)合點,找出有關(guān)物理量之間的關(guān)系列式求解。

【例6】如圖7所示，置于圓形水平轉(zhuǎn)臺邊緣的小物塊隨轉(zhuǎn)臺加速轉(zhuǎn)動，當(dāng)轉(zhuǎn)速達(dá)到某一數(shù)值時，物塊恰好滑離轉(zhuǎn)臺開始做平拋運動。現(xiàn)測得轉(zhuǎn)臺半徑R=0.5 m，離水平地面的高度H=0.8 m，物塊平拋落地過程水平位移的大小s=0.4 m。設(shè)物塊所受的最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，重力加速度g取10 m/s2。求：

(1)物塊做平拋運動的初速度大小v0；

(2)物塊與轉(zhuǎn)臺間的動摩擦因數(shù)μ。

圖7

河北省衡水市鄭口中學(xué))