天體力學問題求解的兩條基本思路及其運用

河北

趙寶菊

天體有奧妙，求解有思路。

天體力學問題求解的兩條基本思路及其運用

趙寶菊

天體之間的作用力，主要是萬有引力。而行星和衛星的運動，可近似看作勻速圓周運動，萬有引力即是行星、衛星做勻速圓周運動的向心力。盡管萬有引力定律知識點不多,但需要用萬有引力定律處理的習題題型卻很多,如計算天體的質量、天體的密度、天體的重力加速度、天體運行的速度等，且綜合性較強。歷年來高考在天體力學中考查的重點主要是解決有關天體運動的問題，題型以選擇題居多，但近年也會出現計算題來考查這個知識點，考生往往感到很困難，故非常值得關注。

一、天體質量、密度等基本物理量的計算

天體質量、密度等是天體的基本物理量，對于研究天體的性質以及應用，具有重要的意義，所以確定天體的質量、密度等基本物理量，是我們首先應該掌握的。

【例1】在某星球上，宇航員用彈簧秤稱得質量為m的砝碼重量為F，乘宇宙飛船在靠近該星球表面空間飛行，測得其環繞周期為T，根據上述數據，得出該星球的質量為

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而對砝碼有F=mg，

【答案】C

【點評】本題中，如果宇航員能夠測出其繞該星球運動的周期和離開該星球的高度，并已知該星球的半徑，即可求得飛船運動的速度大小，以及該星球的質量和平均密度。但由于不知道飛船的質量，故飛船運動時的向心力不能求得。類似地，已知某行星的半徑以及繞該行星表面運行的衛星周期，即可求得行星的質量和行星表面的重力加速度，但不能求得行星的自轉周期和行星的同步衛星的軌道半徑。同樣，已知月球繞地球運行的周期T1及月球到地球中心的距離R1，或者已知人造地球衛星在地面附近的運行速度v和運行周期T3，均可計算出地球的質量M地(引力常數G為已知)，如果僅已知地球繞太陽運行的周期T2及地球到太陽中心的距離R2或者地球“同步衛星”離地面的高度，則不能完成地球質量的計算。

【例2】某物體在地球赤道上受到的重力是它在兩極處受到重力的n倍(n<1)，設地球自轉周期為T，萬有引力常量為G，地球可視為規則球體，求地球的平均密度。

二、地球同步衛星問題

【例3】“神舟十一號”載人飛船于2016年10月17日7時 30分在中國酒泉衛星發射中心發射，經過長達33天的飛行時間，于2016年11月18日下午順利返回著陸。與地球同步衛星相比

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A.“神舟十一號”的軌道半徑大

B.“神舟十一號”的線速度大

C.“神舟十一號”的周期長

D.“神舟十一號”的加速度大

【答案】BD

三、變軌問題

【例4】探月衛星沿地月轉移軌道直奔月球，在距月球表面200 km的P點進行第一次變軌后被月球捕獲，先進入橢圓軌道Ⅰ繞月飛行，如圖1所示。之后，衛星在P點又經過兩次變軌，最后在距月球表面200 km的圓形軌道Ⅲ上繞月球做勻速圓周運動。對此，下列說法不正確的是

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圖1

A.衛星在軌道Ⅲ上運動的速度小于月球的第一宇宙速度

B.衛星在軌道Ⅲ上運動周期比在軌道Ⅰ上短

C.衛星在軌道Ⅲ上運動的加速度大于沿軌道Ⅰ運動到P點時的加速度

D.Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三種軌道運行相比較，衛星在軌道Ⅲ上運行的機械能最小

【答案】C

四、三種宇宙速度

1.第一宇宙速度(環繞速度)：v1=7.9 km/s，是人造地球衛星的最小發射速度，也是人造地球衛星繞地球做圓周運動的最大速度；

2.第二宇宙速度(脫離速度)：v2=11.2 km/s，使物體掙脫地球引力束縛的最小發射速度；

3.第三宇宙速度(逃逸速度)：v3=16.7 km/s，使物體掙脫太陽引力束縛的最小發射速度。

【例5】2016年8月16日，我國科學家自主研制的世界首顆量子科學實驗衛星“墨子號”成功發射并進入預定圓軌道。已知“墨子號”衛星運行軌道離地面的高度約為500 km，地球半徑約為6 400 km，則該衛星在圓軌道上運行時

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A.速度大于第一宇宙速度

B.速度大于地球同步衛星的運行速度

C.加速度大于地球表面的重力加速度

D.加速度大于地球同步衛星的向心加速度

【解析】由于衛星的運動速度大小隨軌道半徑的增大而減小，而第一宇宙速度是衛星繞地球表面運動的速度，所以第一宇宙速度是衛星繞地球做圓周運動的最大速度。由此可見，該衛星在圓軌道上運行時速度必定小于第一宇宙速度，同時大于地球同步衛星的運行速度，即選項A錯誤，B正確；而衛星的運動加速度大小隨軌道半徑的增大也減小，所以該衛星在圓軌道上運行時，加速度小于地球表面的重力加速度，但是大于地球同步衛星的向心加速度，即選項C錯誤，D正確。

【答案】BD

五、雙星系統模型

如果兩顆星彼此相距較近，靠相互之間的萬有引力繞同一圓心做勻速圓周運動，稱為雙星。且兩顆行星做勻速圓周運動的周期、角速度相等；圓心在兩顆行星的連線上，且兩星的軌道半徑之和等于兩星間的距離，兩顆行星做勻速圓周運動的半徑與行星的質量成反比。雙星系統的周期的平方與雙星間距離的三次方之比只與雙星的總質量有關，而與雙星個體的質量無關。

【例6】在天文觀測中，因為觀測視角的問題，有時會看到一種比較奇怪的“雙星”系統：與其他天體相距很遠的兩顆恒星，在同一直線上往返運動，它們往返運動的中心相同，周期也一樣。模型如圖2所示，恒星A在A1A2之間往返運動，恒星B在B1B2之間往返運動，且A1A2=a,B1B2=b，現觀測得它們運動的周期為T，恒星A、B的質量分別為M、m，萬有引力常量G，則

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圖2

河北省故城縣育才中學)

從價值觀的角度看科學概念的力量在于它具有解釋和概括一大類自然現象的能力。在這方面能量概念的作用十分獨特。