圖象在追及和相遇問題中的應用

山西

石有山

講方法，挖模型，提能力。

圖象在追及和相遇問題中的應用

石有山

追及和相遇問題是一類常見的運動學問題。用圖象來描述兩個物理量之間的關系，是物理學中常用的方法，是一種直觀且形象的語言和工具。它運用數和形的巧妙結合，恰當地表達各種現象的物理過程和物理規律。相遇問題在位移—時間圖象和速度—時間圖象中有具體的體現，其他類型的運動圖象也可以獲取信息解決追及和相遇問題。

一、位移—時間圖象

若兩物體從同一地點出發，沿同一直線運動，則x-t圖象下的交點坐標表示兩物體相遇。

圖1

【例1】如圖1所示，直線a和曲線b分別是在平直公路上行駛的汽車a和b的位置—時間(x-t)圖線。由圖可知

( )

A.在時刻t1，a車追上b車

B.在時刻t2，a、b兩車運動方向相反

C.在t1到t2這段時間內，b車的速率先減少后增加

D.在t1到t2這段時間內，b車的速率一直比a車的大

【解析】由x-t圖線分析可知，t1時刻b車追上了a車，A項錯誤；x-t圖線斜率的正負表示運動方向，t2時刻a車沿正方向運動，b車沿負方向運動，B項正確；x-t圖線斜率的大小表示速度大小，t1到t2這段時間內曲線b斜率先減小后增加，C項正確、D項錯誤。

【答案】BC

【點評】在t1時刻x-t圖象下兩圖線相交，是相遇，但b車速度大于a車，b車追上a車，要注意x-t圖象的斜率意義。

二、速度—時間圖象

圖2

若兩物體從同一地點出發，沿同一直線運動，則v-t圖象與橫軸所圍面積相等表示兩物體相遇。

【例2】甲、乙兩車在平直公路上同向行駛，其v-t圖象如圖2所示。已知兩車在t=3 s時并排行駛，則

( )

A.在t=1 s時，甲車在乙車后

B.在t=0時，甲車在乙車前7.5 m

C.兩車另一次并排行駛的時刻是t=2 s

D.甲、乙車兩次并排行駛的位置之間沿公路方向的距離為40 m

【答案】BD

【點評】本題屬于兩車不是從同一地點出發的情景，因此相遇時v-t圖象與橫軸所圍面積的差值表示t=0 s時，甲乙兩車的間距。

圖3

( )

A.兩物體在t1時刻加速度相同

B.兩物體在t2時刻運動方向均改變

C.兩物體在t3時刻相距最遠，t4時刻相遇

D.0～t4時間內甲物體的平均速度等于乙物體的平均速度

【解析】兩物體在t1時刻加速度方向相反，A項錯誤；兩物體均做單方向的直線運動，B項錯誤；兩物體在t3時刻速度相等，距離有極值，兩物體相距最遠，0～t4時間內，兩圖線與t軸所圍面積大小相等，即兩物體在t4時刻相遇，C項正確；0～t4時間內兩物體位移相等，平均速度相等，D項正確。

【答案】CD

【點評】本題屬于兩物體從同一地點開始沿同一方向運動的相遇問題，圖象與t軸所圍面積大小相等，表示兩物體相遇，速度相等，即v-t圖的交點坐標表示兩物體距離有極值。

三、加速度—時間圖象

若兩物體初始速度相同，在同一直線上運動，則a-t圖線下的面積相等表示兩物體速度相等，兩物體間距有極值。

【例3】甲、乙兩車從同一地點沿相同方向由靜止開始做直線運動，它們運動的加速度隨時間的變化圖象如圖4所示。關于兩車的運動情況，下列說法正確的是( )

圖4

A.在0～4 s內甲車做勻加速直線運動，乙車做勻減速直線運動

B.在0～2 s內兩車間距逐漸增大，2～4 s內兩車間距逐漸減小

C.在t=2 s時甲車速度為3 m/s，乙車速度為4.5 m/s

D.在t=4 s時甲車恰好追上乙車

【答案】C

【點評】由a-t圖線下面積相等，再根據初速度相等，可得兩車速度相等，能直接得到距離最大的時刻，但不能直接得到相遇的時刻。

四、其他圖象

其他類圖象不能直接分析相遇和距離極值，但可從圖象得到有關信息，分析追及和相遇問題。

【例4】在平直公路上有甲、乙兩輛汽車同時從同一位置沿著同一方向做勻加速直線運動，它們速度的平方隨位移變化的圖象如圖5所示，則

( )

圖5

A.甲車的加速度比乙車的加速度大

B.在位移x=0.5 m處甲乙兩車的速度相等

C.在位移x=0.5 m處甲乙兩車相遇

D.在時間t=2 s末甲乙兩車相遇

【答案】ABD

【點評】從圖象中獲取有用信息作為解題的條件，弄清試題中圖象所反映的物理過程及規律，從中獲取有效信息，利用速度的平方隨位移變化圖象的斜率表示加速度的2倍是解決問題的關鍵。

【變式】隨著機動車數量的增加，交通安全問題日益凸顯，分析交通違法事例，將警示我們遵守交通法規，珍惜生命。如圖6所示為某型號車緊急制動時(假設做勻減速直線運動)的v2-x圖象(v為貨車的速度，x為制動距離)，其中圖線1為滿載時符合安全要求的制動圖象，圖線2為嚴重超載時的制動圖象。某路段限速72 km/h，該型號貨車滿載時以72 km/h速度正常行駛，發現前方x0=25 m處有一電動自行車以10 m/s的速度勻速同向行駛，駕駛員立即制動，若駕駛員從發現險情到采取緊急制動措施的反應時間為1 s，則:

圖6

(1)通過計算說明滿載時貨車會不會撞上電動自行車；

(2)其他條件不變，通過計算說明嚴重超載時貨車會不會撞上電動自行車。

【解析】(1)由勻變速直線運動的速度位移公式：

2ax=0-v2

由圖示圖象可得：滿載時，加速度為a1=-5 m/s2

嚴重超載時加速度為a2=-2.5 m/s2

該型號貨車滿載時以72 km/h=20 m/s速度正常行駛時

勻速位移x1=v0t1=20 m

勻減速到與電動車速度相等時貨車經過的時間