“滑塊—滑板類”模型的解題策略

福建

邱基斌

“滑塊 — 滑板類”問題微探。

“滑塊—滑板類”模型的解題策略

邱基斌

一、“滑塊—滑板類”模型的解題策略

1.考點分析

“滑塊—滑板類”模型即滑塊疊放在長木板上，當其中之一以某一初速度滑上另一物體(或在外力F的作用下)通過摩擦力帶動另一物體運動的模型。“滑塊—滑板類”模型題是力學中比較常見的問題，也是綜合性很大的難題。其運動過程變化多端，運動狀態隱蔽性較強，常常成為高考命題的重點和熱點，在各地高考試題中頻頻出現。

2.解題思路

(1)審題建模：求解時應先仔細審題，清楚題目的含義、分析清楚每一個物體的受力情況、運動情況。

(2)求加速度：準確求出各物體在各運動過程的加速度(注意兩過程的連接處加速度可能突變)。

(3)明確關系：找出物體之間的位移(路程)關系或速度關系是解題的突破口。求解中更應注意聯系兩個過程的紐帶，每一個過程的末速度是下一個過程的初速度。

注意：

①“滑塊—滑板類”模型關鍵是根據相對運動情況分析摩擦力的大小和方向，進而分析物塊的運動性質和過程。尤其注意兩者速度相同時刻，往往是摩擦力性質、大小及方向變化的臨界點。

②兩種位移關系：滑塊由滑板的一端運動到另一端的過程中，若滑塊和滑板同向運動，位移之差等于板長；反向運動時，位移之和等于板長。

3.臨界條件

(1)滑塊與滑板存在相對滑動的臨界條件

①運動學條件：若兩物體速度和加速度不等，則會相對滑動。

②動力學條件：假設兩物體間無相對滑動，先用整體法算出一起運動的加速度，再用隔離法算出其中一個物體“所需要”的摩擦力Ff；比較Ff與最大靜摩擦力Ffm的關系，若Ff>Ffm，則發生相對滑動。

(2)滑塊滑離滑板的臨界條件

當滑板的長度一定時，滑塊可能從滑板滑下，恰好滑到滑板的邊緣達到共同速度是滑塊滑離滑板的臨界條件。

4.常見的解法

“滑塊—滑板類”模型問題往往存在一題多解情況，常見的解法如下：

(1)動力學分析法：分別對物塊和滑板受力分析，根據牛頓第二定律求出各自加速度，然后結合運動學公式求解。

圖1

二、典題精析

【例1】如圖2所示，在光滑水平面上有一質量為m1的足夠長的木板，其上疊放一質量為m2的木塊。假定木塊和木板之間的最大靜摩擦力和滑動摩擦力相等。現給木塊施加一隨時間t增大的水平力F=kt(k是常數)，木板和木塊加速度的大小分別為a1和a2，圖3中反映a1和a2變化的圖線正確的是

( )

圖2

圖3

【答案】A

【說明】解決此題的關鍵是分析出木塊和木板“發生相對滑動”這一臨界轉折點，即當m1和m2之間的靜摩擦力達到最大靜摩擦力時，木塊和木板將發生相對滑動。

【例2】如圖4甲所示，靜止在光滑水平面上的長木板B(長木板足夠長)的左端放著小物塊A。某時刻，A受到水平向右的外力F作用，F隨時間t的變化規律如圖4乙所示，即F=kt，其中k為已知常數。若物體之間的滑動摩擦力的大小等于最大靜摩擦力Ff，且A、B的質量相等，則圖5中可以定性地描述長木板B運動的v-t圖象的是

( )

圖4

圖5

【解析】當F較小時，A、B整體具有共同的加速度，二者相對靜止，當F較大時，二者加速度不同，將會發生相對運動，此后A做變加速直線運動，B做勻加速直線運動，為了求出兩物體開始分離的時刻，必須知道分離時F的大小，此時采用整體法和隔離法分別列牛頓第二定律的方程即可。

選AB整體為研究對象，AB整體具有共同的最大加速度

【答案】B

【說明】當兩者相對運動后，B將受恒力作用，做勻加速運動，可排除C、D選項，A、B選項的差別在于恰好相對運動的時刻，就需采用隔離法和整體法分別列方程了，也可以采用反證法，確定當F=Ff時是否相對滑動。所以，要注意總結解題方法。

【例3】質量M=9 kg、長L=1 m的木板在動摩擦因數μ1=0.1的水平地面上向右滑行，當速度v0=2 m/s時，在木板的右端輕放一質量m=1 kg的小物塊如圖6所示。當小物塊剛好滑到木板左端時，物塊和木板達到共同速度。取g=10 m/s2。求：

圖6

(1)從木塊放到木板上到它們達到相同速度所用的時間t；

(2)小物塊與木板間的動摩擦因數μ2。

解法一:動力學分析法

(1)設木板在時間t內的位移為x1；木塊的加速度大小為a1，木板的加速度大小為a2，時間t內的位移為x2，則有

x1=L+x2③

v0-a1t=a2t④

聯立①②③④代入數據得t=1 s。 ⑤

(2)根據牛頓第二定律，有

μ1(M+m)g+μ2mg=Ma1⑥

μ2mg=ma2⑦

聯立④⑥⑦代入數據解得μ2=0.08。 ⑧

解法二:圖象描述法

圖7

(2)根據牛頓第二定律和圖象意義有：

聯立①②③代入數據解得v共=0.8 m/s，μ2=0.08。

【答案】(1)從木塊放到木板上到它們達到相同速度所用的時間t為1秒 (2)小物塊與木板間的動摩擦因數為0.08

【說明】本題關鍵是先根據運動學公式列式后聯立求解出時間，然后再受力分析后根據牛頓第二定律列式求解；對于第(1)問，可以以長木板為參考系列式求解，會使問題大大簡化。

【例4】如圖8所示，質量M=0.4 kg、長為L=10 m的木板靜止在光滑水平面上，一個質量m=0.1 kg的子彈以某一速度從右端射入木板。已知子彈可看做質點，子彈在木板中受到恒定的阻力f=0.8 N。若要使木板獲得的速度不大于2 m/s，則子彈的初速度v0應滿足的條件是

( )

圖8

A.v0≤8 m/s

B.v0≤10 m/s

C.v0≥15 m/s

D.v0≥20 m/s

解法一:動力學分析法

(1)子彈未射出木板時兩者已共速，由v0-a1t=a2t得v0=10 m/s，所以子彈的初速度v0≤10 m/s，選項B正確；

解法二:圖象描述法

(1)子彈未射出木板，作出子彈、木板的v-t圖象如圖9甲所示。

圖9

由題意知v0-8×1=2，解得v0=10 m/s，所以子彈的初速度v0≤10 m/s，選項B正確。

【答案】BC

福建省沙縣第一中學)