自主招生力學問題講與練

江蘇

吳 俊 蘇忠明

自主招生力學問題講與練

吳 俊 蘇忠明

圓夢名校是每一個學子的追求，隨著高校招生制度的改革，圓夢名校的途徑變多，如自主招生考試，但是自主招生的考試緊跟高考之后，復習時間很短，沒有統一的考綱、教材，給學生準備帶來一定的困難。本刊經過了5年的探索和沉淀，堅持以高考內容為基礎，適度提高，引用自主招生真題講練，讓學生在課余、假期適當地了解自主招生命題的內容、難度與動向。實踐證明本刊取得了良好的效果，形成了獨有的口碑欄目，所以今年應廣大師生之需再次延續撰文。

一、物體的平衡問題

圖1

(2)有固定轉軸的物體的平衡條件：合力矩為零，∑M=0或∑M+=∑M-。

【例1】(2010·清華自招)如圖2所示，用等長絕緣線分別懸掛兩個質量、電量都相同的帶電小球A和B，兩線上端固定于O點，B球固定在O點正下方。當A球靜止時，兩懸線夾角為θ。能保持夾角θ不變的方法是

( )

圖2

A.同時使兩懸線長度減半

B.同時使A球的質量和電量都減半

C.同時使兩球的質量和電量都減半

D.同時使兩懸線長度和兩球的電量都減半

圖3

【答案】BD

【點評】(1)求解平衡問題方法。有正交分解法、矢量三角形定則法、拉密定理法等，這些高考復習中都會應用到，但是力矩平衡法高考不做要求(上海除外)。

二、牛頓運動定律及應用

(1)牛頓第二定律數學表達式為：∑F=ma，為矢量式。應用對象可以是單個物體，也可以是多個物體組成的系統。

(2)力的獨立作用原理：物體同時受到幾個外力時，每個力各自獨立地產生一個加速度，就像別的力不存在一樣，這個性質叫做力的獨立作用原理。物體的實際加速度就是這幾個分加速度的矢量和。

牛頓第二定律的分量形式：∑Fx=max，∑Fy=may。

(3)牛頓第二定律不僅對單個質點適用，也適用于質點組，對質點組運用牛頓第二定律的表達式為：F合=m1a1+m2a2+m3a3+…+mnan。當系統各物體相對靜止時，a1=a2=a3=…=an，當加速度不同，就用通式F合=m1a1+m2a2+m3a3+…+mnan。

【例2】(2010·清華自招)在光滑的水平面上有一質量為M、傾角為θ的光滑斜面，其上有一質量為m的物塊，如圖4所示。物塊在下滑的過程中對斜面壓力的大小為

( )

圖4

對m有FNsinθ=m(a1cosθ-a2)

mg-FNcosθ=ma1sinθ

圖5

【答案】C

三、拋體運動

平拋運動高考必須掌握。斜拋運動的規律如下：

任一時刻的速度：vx=v0cosθ，vy=v0sinθ-gt。

豎直上拋運動、平拋運動可分別認為是斜拋運動在θ=90°和θ=0°時的特例。

斜拋運動具有對稱性，在同一段豎直位移上，向上和向下運動的時間相等；在同一高度上的兩點處速度大小相等，方向與水平方向的夾角相等；向上、向下的運動軌跡對稱。

【例3】(2014·卓越自招)如圖6所示，滑雪運動員從初始(光滑)滑道上下降45 m后起跳，起跳角度與水平面的夾角為30°，且起跳不損失動能。降落滑道可看作傾角為30°的斜面，求運動員在空中飛行的時間及落地時速度與斜面的夾角。(g取10 m/s2)

圖6

【解析】運動員從初始(光滑)滑道上下降45 m過程中，

之后運動員做斜拋運動，運動員起跳后的運動分解為沿斜面(x)方向和垂直于斜面(y)方向的勻變速直線運動,如圖7所示

圖7

代入數據解得t=6 s

【拓展】拋物運動的共同特點是加速度相同，因此，當研究多個拋體的運動規律時，以自由落體為參照物，則各物體的運動均為勻速直線運動，這種選擇參照物的方法，能大大簡化各物體運動學量之間的聯系，使許多看似復雜的問題簡單、直觀。

四、動能定理

對于單一物體(可視為質點)∑W=Ek2-Ek1，只有在同一慣性參照系中計算功和動能，動能定理才成立。當物體不能視為質點時，則不能應用動能定理。

對于幾個物體組成的質點系，因內力可以做功，則∑W外+∑W內=∑Ek2-∑Ek1，同樣只適用于同一慣性參照系。

在非慣性系中，質點動能定理除了考慮各力做的功外，還要考慮慣性力做的功，其總和對應于質點動能的改變。此時功和動能中的位移、速度均為相對于非慣性參照系的值。

【例4】(2013·北約自招)某車輛在平直路面上作行駛測試，測試過程中速度v(帶有正負號)和時間t的關系如圖8所示。已知該過程發動機和車內制動裝置對車輛所作總功為零，車輛與路面間的摩擦因數μ為常量，試求μ值。數值計算時，重力加速度取g=10 m/s2。

圖8

倒車過程根據動能定理有W2+Wf2-μmgx2=0

根據題意有W1+Wf1+W2+Wf2=0

由圖象得x1=21 m，x2=6 m

【總結】使用動能定理解決多過程問題時，要注意幾個運動性質不同的分過程中，有些力是全過程都起作用的，有些力在分過程中起作用，所以求解功時要分清，計算時要把各力的功連同符號(正負)一同代入公式。

五、功能關系

(3)機械能守恒：當質點系滿足：W外+W非保內=0，則ΔE=0即Ek+Ep=Ek0+Ep0=常量。

(4)功能原理：物體系外力做的功與物體系內非保守力做的功之和，等于物體系機械能的增量。即∑W外+∑W非保守=∑E2-∑E1。

【例5】(2013·卓越自招)如圖9所示，斜面固定在地面上，A與斜面無摩擦，B與繩無摩擦，mA=m，mB=2m，g已知，B離地面高度為h。

圖9

(1)求繩上拉力；

(2)求A沿斜面上升的最大位移。

(2)對AB系統分析，AB開始運動到B剛好接觸地面，滿足機械能守恒定律，有：ΔE增=ΔE減

B落之后A繼續上沖直到速度為0，根據機械能守恒定律或動能定理有

六、動量守恒定律與能量守恒定律的綜合應用

【例6】(2011·華約自招)如圖10所示，豎直墻面和水平地面均光滑，質量分別為mA=m，mB=3m的A、B兩物體如圖所示放置，其中A緊靠墻壁，AB之間有質量不計的彈簧相連。現對B物體緩慢施加一個向左的力，該力做功W，使AB之間彈簧被壓縮但系統靜止，后突然撤去向左推力解除壓縮，求：

(1)從撤去外力到物體A運動，墻壁對A的沖量大小；

(2)AB都運動后，A、B兩物體的最小速度各是多大？

圖10

此時墻壁對A的沖量等于彈簧對A沖量的大小，也等于彈簧對B的沖量的大小，則

I=3mv-0

(2)彈簧恢復原長后，物體A的速度為最小值，為vAO=0，物體A離開墻壁后，彈簧伸長，A的速度逐漸變大，B的速度逐漸減小，當彈簧恢復原長時，物體A的速度達到最大值，為vA，物體B的速度減小到最小值，為vB，在此過程中系統的動量守恒，機械能守恒，有：

3mvBO=mvA+3mvB

對于動量守恒定律，使用時要注意“四性”即矢量性、同時性、相對性、普適性。而追碰問題中要注意系統動量是否守恒、系統能量不能增加。

小試身手

( )

2.(2011·復旦大學)物體從具有共同底邊、但傾角不同的若干光滑斜面頂端由靜止開始自由滑下，當傾角為多少時，物體滑至底端所需的時間最短

( )

A.30度 B.45度

C.60度 D.75度

3.(2011·華約自招)如圖所示，水流從與水平方向成α角的柱形管流入水平水槽，并有水槽左右兩端流出，則從右端流出的水量與從左端流出的水量的比值可能為

( )

A.1+2sin2αB.1+2cos2α

C.1+2tan2αD.1+2cot2α

4.(2012·北約自招)兩質量相同的衛星繞地球做勻速圓周運動，運動半徑之比R1∶R2= 1∶2 ，則關于兩衛星的下列說法正確的是

( )

A.向心加速度之比為a1∶a2= 1∶2

B.線速度之比為v1∶v2= 2∶1

C.動能之比為Ek1∶Ek2= 2∶1

D.運動周期之比為T1∶T2= 1∶2

5.(2016年北京大學科學營資格賽)將地面參考系處理為慣性系，蹲在水平地面上的少年猛地豎直向上跳起，過程中所受空氣阻力可略。

(1)先寫出慣性系中的質點系動能定理。再回答：少年跳起的過程中，哪些力是做正功，或者做負功？

(2)先寫出慣性系中的質點系質心動能定理。再回答，少年起跳的過程中，哪些力是做正功，或者做負功？

6.(2013·北約自招)如圖所示，將斜面分成三等分，從下到上依次為A、B、C和D，從A釋放初速度為v0的小物體。若斜面光滑，小物體剛好到達D點，如果AB間有摩擦時，那么同樣初速v0釋放，小物體剛好到達C點然后滑下。求再次到達B以及A點時的速度vB和vA。

7.(2014·北約自招)如圖所示，一個質量為2m的球和一個質量為m的球，用長度為2R的輕桿連在一起，兩個球都被限制在半徑為R的光滑圓形豎直軌道上，軌道固定于地面。初始時刻，輕桿豎直，且質量為2m的球在上方；此時，受擾動兩球開始運動。求：

(1)當質量為2m的球運動到軌道最低點時，速度為多少；

(2)在(1)問的情況下，求軌道對兩球組成的系統的力。

8.(2014·華約自招)在磁場中，一靜核衰變成為a、b兩核，開始分別做圓周運動。已知a和b兩核圓周運動的半徑和周期之比分別為Ra∶Rb=45∶1,Ta∶Tb=90∶117。此裂變反應質量虧損為Δm。求：

(1)a和b兩核的電荷數之比qa/qb；

(2)a和b兩核的質量數之比ma/mb；

(3)靜核的質量數和電荷數；

(4)a核的動能Eka。

9.(2016·中科大自招)勁度系數為k=1 N/m的輕彈簧連接著兩個質量均為m=2 kg的小球，靜止于光滑水平桌面上。另一質量為M=10 kg的小球1，以速度v0撞向小球2，v0的方向沿著兩小球2和3的連線方向，設碰撞為彈性的且碰撞時間極短。

(1)試問第一次碰撞剛結束時三個小球的速度分別是多少？

(2)第一次碰撞后，小球1、2有可能再次發生碰撞，試求第一次碰撞與可能的第二次碰撞之間小球1、2的位置隨時間變化的關系；

(3)試由前面的結論判斷小球1、2是否會發生第二次碰撞？如果發生，試估算前兩次碰撞之間的時間間隔約為多少？如果不會發生，解釋原因。

參考答案

5.(1)W內+W外=ΔEk(內力做功之和加上外力做功之和等于質點系動能增量)。過程中內力做功之和為正功，外力即重力做功之和為負功。

(2)W合外-C=ΔEkC(合外力對質心做功等于質心動能增量)。過程中地面豎直向上支持其做正功，重力做負功。

7.解：(1)根據機械能守恒有：

9.解：(1)對小球1、2組成的系統，根據動量守恒定律和機械能守恒定律，有

Mv0=Mv1+mv2①

聯立①②式，得

化簡，得-t=5sint

江蘇省江陰市第一中學)