踏花歸來馬蹄香
——2017浙江卷第21題“別解”賞析與思考

浙江 李承法

踏花歸來馬蹄香
——2017浙江卷第21題“別解”賞析與思考

浙江 李承法

2017浙江卷第21題是與拋物線有關(guān)的最(極)值問題，這道題若是不加以思考，直接計算，則計算量大，容易出錯；若是先深入思考，利用幾何視角或者代數(shù)視角轉(zhuǎn)化，則會減少計算量．

(Ⅰ)求直線AP斜率的取值范圍；

(Ⅱ)求|PA|·|PQ|的最大值．

1 幾何視角下解法探析

則f′(x)=-4x3+3x2+1=-(x-1)(2x+1)2，

令f′(x)=0得x=1，

評注：此解法運用了平面幾何中圓的相關(guān)性質(zhì)：直徑所對的圓周角為直角、圓中相交弦定理等知識，優(yōu)化思維，簡化計算，最后同前面解法一樣構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)求出問題的最值．

變式：將條件“過點B作直線AP的垂線，垂足為Q”改為“過點B作直線BQ與直線AP相交于點Q，且∠AQB=60°”，其他條件不變，求|PA|·|PQ|的最大值．

∵BQ⊥AP，

2 代數(shù)視角下的解析

評注：此法最為簡單，線段長度之積，考試時聯(lián)想到參數(shù)方程解答這道題會更簡捷利索些．

∴|PA|·|PQ|=-(k-1)(k+1)3，令f(k)=-(k-1)(k+1)3，

評注：此解法是充分運用坐標(biāo)、方程思想，但解法顯得繁瑣，計算量大，容易出現(xiàn)差錯．

評注：此解法運用坐標(biāo)思想，利用了直線方程、直線與拋物線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，是常用方法之一.

浙江省開化中學(xué))