由一個考題得到的球內接幾何體的公式化計算

云南 楊相元

由一個考題得到的球內接幾何體的公式化計算

云南 楊相元

球內接幾何體的相關計算是考查學生空間想象能力、作圖能力和計算能力的有效載體，是最近幾年全國高考卷的核心考點，其基本解法是通過補形，連接“心心距”構造直角三角形和建系等，本文通過一個模考題的深入分析得出解決此類問題的公式化計算解決方案.

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A．3π B．5π

C．9π D．12π

【解析】如圖，在三棱錐A1-ABC中，A1A⊥平面ABC，

設高A1A=h，△ABC為邊長a的正三角形，

過球心O作OK⊥A1A于點K，

于是在Rt△OKA1中，

所以在Rt△OO1A中，

探究：將題中的三棱錐改為“三棱柱A1B1C1-ABC中,A1A⊥底面ABC，底面ABC是正三角形”.

如圖，設AA1=h，△ABC的邊長為a，由重心定理易知

類似，若將題中的錐體進一步更改，通過補形、構造直角三角形等手段(讀者可自行完成)可得如下結論：

【解析】由公式②得

【解析】由公式③得

所以S=4π×42=64π.

【變式3】在三棱柱ABC-A1B1C1中，側棱AA1垂直底面，∠ACB=90°,∠BAC=30°,BC=1，且三棱柱ABC-A1B1C1的體積為3，則三棱柱ABC-A1B1C1的外接球表面積為________.

所以S=4π×22=16π.

【變式4】一個幾何體的三視圖如圖所示，其中主視圖和左視圖是腰長為1的兩個全等的等腰直角三角形，則該幾何體的外接球的表面積為

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【變式5】(2013·遼寧卷理·10)已知三棱柱ABC-A1B1C1的6個頂點都在球O的球面上,若AB=3，AC=4,AB⊥AC,AA1=12,則球O的半徑為

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【解析】由公式⑥得

云南省下關第一中學)