突破探究性問題的幾種有效策略

四川 蔡勇全 趙菊英

突破探究性問題的幾種有效策略

四川 蔡勇全 趙菊英

探究性問題是運用已有知識，利用觀察、試驗、聯(lián)想、類比、演繹、歸納、分析、綜合、猜想等手段，對問題進行探索和研究的一類問題，其立意具有新穎性，思維具有發(fā)散性，解法具有探索性，結(jié)論具有多元性，因而備受各級各類考試命題者的青睞.本文借助實例，介紹突破探究性問題的幾種有效策略，旨在探索題型規(guī)律，揭示解題方法，以期拋磚引玉.

一、特值探路法

當我們面臨一道難以入手的一般性題目時，不妨以退為進，退到特殊，先考察包含在一般情形里的某些比較簡單的特殊問題，即對題設條件取某些特殊值，然后探求出結(jié)論或滿足結(jié)論所需要的某些條件，并予以驗證或證明.

例1已知不等式a(4-sinθ)4+cos2θ-3+agt;0對一切θ∈R恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.

評注特值探路法實質(zhì)上是特殊化思想在解題中的體現(xiàn)，先行運用特值試探可以將繁雜的問題簡單化，抽象的問題具體化，就像在大海里航行的船只發(fā)現(xiàn)了航線中的燈塔，能使人準確定位,快速答題，高效且省時省力.

二、觀察猜想法

當題目中給出幾個具體的關(guān)系式，要求寫出一般性規(guī)律或后續(xù)某一項的具體形式或結(jié)果，可通過觀察、分析，進而發(fā)現(xiàn)或猜測得到結(jié)果，必要時還應按要求對猜測結(jié)論進行證明.

例2給出下列等式:

①cos2α=2cos2α-1；

②cos4α=8cos4α-8cos2α+1；

③cos6α=32cos6α-48cos4α+18cos2α-1；

④cos8α=128cos8α-256cos6α+160cos4α-32cos2α+1；

⑤cos10α=mcos10α-1280cos8α+1120cos6α+ncos4α+pcos2α-1.

可以得出，m-n+p=________.

解析下面通過觀察各等式中各項系數(shù)的變化規(guī)律，作出猜想.

(1)先觀察各等式右邊的首項系數(shù):2=21，8=23，32=25，128=27，猜想m=29=512；

(2)再觀察各等式倒數(shù)第2項的系數(shù):2=12+12，-8=-(22+22)，18=32+32，-32=-(42+42)，猜想n=52+52=50.

(3)最后觀察各行右邊各項系數(shù)之和:2-1=1，8-8+1=1，32-48+18-1=1，128-256+160-32+1=1，猜想⑤中應有512-1280+1120+50+p-1=1，得p=-400.

綜上所述，m-n+p=512-(-400)+50=962.

變式觀察下列各式:

……

提示下面通過觀察各等式中n的取值與等式右邊指數(shù)的變化規(guī)律，作出猜想.

第一個等式中，n=1，右邊式子為40=41-1；

第二個等式中，n=2，右邊式子為41=42-1；

第三個等式中，n=3，右邊式子為42=43-1；

Woodruff顧客價值層次模型認為顧客感知價值具有3個不同層次，即基于產(chǎn)品屬性的價值感知，基于使用結(jié)果的價值感知與基于使用目的的價值感知，3種價值感知之間存在層次影響關(guān)系，且具有“自上而下”與“自下而上”兩種影響關(guān)系，“自下而上”主要應用于對產(chǎn)品屬性的完善以達到消費者使用結(jié)果，從而強化消費者的需求[18]853。本文主要對“自下而上”即“屬性-結(jié)果-目的”層次關(guān)系進行實證研究，并且基于游客感知視角，依據(jù)感知價值層次模型的關(guān)聯(lián)程度提供完善鄉(xiāng)村旅游地游客中心的功能的對策。

第四個等式中，n=4，右邊式子為43=44-1；

……

猜想，第n個等式的右邊為4n-1.

評注此類問題有效地考查了學生由特殊到一般的歸納推理能力，解題時，能否完成歸納，關(guān)鍵在于能否通過觀察、抽象、概括出隱藏在現(xiàn)象背后的規(guī)律.

三、逆推判斷法

當題目中要求判斷在某些確定條件下的某一數(shù)學對象(數(shù)值、圖形、函數(shù)等)是否存在或某一結(jié)論是否成立時，可采用逆推的策略，即先假設題中的數(shù)學對象存在或結(jié)論成立或暫且認可其中一部分結(jié)論，然后在這個前提下進行邏輯推理，若由此導出矛盾，則否定假設；否則，給出肯定結(jié)論的證明.

(Ⅰ)令bn=an+1-an-1，求證:數(shù)列{bn}是等比數(shù)列；

(Ⅱ)求數(shù)列{an}的通項公式；

評注上例及其變式分別是從某一數(shù)學對象最終存在、不存在兩個角度進行設計，值得一提的是，逆推時，常見的數(shù)學對象不存在的依據(jù)可能是導出了常識性的錯誤，也可能是導出了知識深度性錯誤，所以解題策略應往這兩方面考慮.

四、分類整合法

在探究性問題中，由于參數(shù)的變化或元素的位置關(guān)系可能有多種情況發(fā)生，因此往往需要用分類整合的方法進行探索或排除，恰當?shù)剡M行分類整合，可避免以偏概全，防止丟值漏解.

例4已知{an}為正項等差數(shù)列，{bn}為正項等比數(shù)列，是否存在實常數(shù)a，使an-a1=logabn-logab1對一切n∈N*恒成立？若存在，求出a；若不存在，請說明理由.

變式已知數(shù)列{an}的通項公式為an=ntn+t(tgt;0)，數(shù)列{an}是否存在最大的項？若存在，指出是第幾項最大；若不存在，請說明理由.

提示an-an+1=ntn-(n+1)tn+1=tn[n(1-t)-t].

(1)當t≥1時，易知an-an+1lt;0，即a1lt;a2lt;a3lt;…，所以數(shù)列{an}不存在最大項；

五、聯(lián)想類比法

當題目中事先給出某一數(shù)學對象的性質(zhì)或特征，要求指出與該數(shù)學對象處于同一體系內(nèi)或不同維度下另一種數(shù)學對象的性質(zhì)或特征，解決此類問題，常需進行類比、分析、聯(lián)想，或構(gòu)造數(shù)學模型，或?qū)栴}從低維推廣到高維，最終給出具體答案或得出新的結(jié)論.

試對空間中的四面體V-BCD寫出具有類似的結(jié)論，并加以證明.

四川省資陽市外國語實驗學校 四川省資陽市雁江區(qū)第二中學)