算不下去了怎么辦？
——從一道解析幾何試題的解法說起

安徽 陳曉明

算不下去了怎么辦？
——從一道解析幾何試題的解法說起

安徽 陳曉明

這是筆者所在學校(省級示范高中)一道高三聯考數學(文科)試題，考場上此題讓大多數的同學或束手無策，或半途而廢，得分率極低．許多同學都是在計算過程中遇到障礙，算到最后算不下去了.算不下去了怎么辦?于是在試卷講評課上筆者帶領學生對該題解法一探究竟，以求找到困難原因，掌握此類問題解題策略．結果課堂上精彩紛呈，生成不斷，帶來好多意外收獲！課后讓我久久難忘，引起筆者對數學課堂教學的再次思考，一心想再次回味課堂，不斷反思，不斷提高……

為了保持課堂的原汁原味，還是先回到課堂．

1．課堂實錄

首先在黑板上展示題目：

( )

接下來教師讓學生充分思考，動筆去解，老師在學生中巡視……

教師：誰來談談你的看法？

這時班上有名的數學王子發話了．

學生1(解法1)：如圖所示，

令切點為M，顯然切線F1M的斜率不為0，

故可令切線F1M的方程為x=my-c，

即x-my+c=0．因為OM⊥F1C，

所以點O到切線F1M:x-my+c=0的距離

d=R=|OM|=a，

c2(b2-a2)y2-2acb3y+a2b4=0．②

(接下來本想通過十字相乘法解方程，可嘗試幾次未成功．只好用公式法解方程！)

因為Δ=4a4b4c2，

因為|CD|=|CF2|，所以由兩點間距離公式得方程

這個方程太恐怖！

接下來算不下去了……

教師：你的解法很自然樸素，屬通性通法．而且你很有魄力，敢于嘗試！學習數學需要你這種勇敢精神！解出C點坐標，得到方程③很不容易．令人遺憾的是方程③確實復雜，算起來太麻煩，我們同學可以課后去挑戰一下！許多同學也是到這里算不下去了，算不下去了怎么辦？是硬著頭皮慢慢算，還是另辟蹊徑？在考場上要算出來肯定是得不償失，因為需要時間太多了．

就在這時，數學課代表舉手了．

學生2(解法2)：由雙曲線定義得

|CF1|-|CF2|=2a，又|CD|=|CF2|，

故|CF1|-|CD|=2a．即|F1D|=2a．

化簡得b4+a2b2=4a2c2,

即(c2-a2)2+a2(c2-a2)=4a2c2,

進一步化簡可得c2=5a2,

教師：厲害！簡單多了．在圓錐曲線中定義法是解題的靈魂，真是不假．看來，當我們算不下去的時候，換個思路，可能峰回路轉，柳暗花明！這里的關鍵是轉化思想，利用雙曲線定義及已知條件，巧妙地將用兩次兩點間距離公式(|CD|=|CF2|)轉化為只用一次(|F1D|=2a)，從而成功回避了求C點坐標．

我剛講到這兒，平時一直喜歡動腦的姚同學可能是看到別人得了表揚也想證明自己，他插了一句話．

學生3：D點坐標也不用求．

他這句話像平地驚雷，把大家都驚呆了，覺得不可思議！

教師：那你快說說看．

所以OD⊥F1M，

又由圓的切線的性質定理知OM⊥F1M，

故點D與點M重合．這樣在Rt△OMF1中(如圖所示)，

因為|F1M|=|F1D|=2a，

所以由勾股定理得4a2+a2=c2．

教師：太神奇了！算不下去了怎么辦？退一步海闊天空．姚同學有一雙敏銳的眼睛，竟然發現點D與點M重合，這樣計算雙曲線的離心率只需口算，計算量一下由地獄走到天堂，不戰而勝，真是太爽了！

這時班上同學都發出驚嘆的唏噓聲，向姚同學投去了欽佩的目光！

就在筆者準備鳴鑼收兵時，平時有點內向的劉同學可能是被課堂氣氛所感染，他舉手了．

學生4(解法4)：求切線F1M的斜率可直接在Rt△OMF1中求(如圖所示)：

因為|OM|=a，|OF1|=c，所以|F1M|=b．

教師：對呀．真聰明．這樣求切線F1M的斜率的方法又簡單了．

教師：解析幾何題是高考中的必考題．經常有計算量較大的試題出現，對我們同學的計算能力是一個考驗．特別是有時候因方法不當出現算不下去的局面，算不下去了怎么辦？這時我們可能要多一些思路，不能在一棵樹上吊死，否則考試時間不允許．對同一個問題，可從不同的視角來進行思考，可能會有新的發現：某些點是特殊點，某些值是特殊值，某些直線處于特殊位置，某些線有特殊的位置關系……這時就是踏破鐵鞋無覓處，得來全不費工夫了！就算是沒有簡便方法，同樣的算式我們也可能找到一些計算技巧，使計算簡化．

此時下課鈴聲響起！

我看到了學生臉上的表情：驚嘆之余，有些不舍和遺憾！

2．教學思考

看來，我們教師要充分相信學生，教學中要多給學生一點自由思考的時間，教師不能只按照自己事先想好的思路來教學，否則就會限制學生的思維，強扭學生的思維，題目剛出來就先進行提示或分析，那樣做會扼殺學生的自主思維能力，剝奪學生的自由創造空間．在學生還沒來得及思考的時候，老師硬是用自己固定的思路框定他們的頭腦，使他們服從于已有的模式，這對他們思維能力的形成是個不小的打擊．

離開了學生的“自主活動”“智力參與”“個人體驗”就沒有真正的學習了．把課堂還給學生，引發學生積極思維，讓每位學生在數學思維的世界里自由地翱翔，向習題課教學要效益，通過問題解決，促進學生對數學知識的理解，讓每位學生主動、積極地參與教學．當然，要做到這點，首先教師對習題的本身要有深入的研究，其次，對學生的課堂參與要給予足夠的激勵和引導．把課堂還給學生，注意傾聽他們的聲音，點燃他們的思維之火．

到這里，我想起葉瀾教授曾說：“課堂是向未知方向挺進的旅程，隨時都有可能發現意外的通道和美麗的因素，而不是一切都必須遵循固定路線而沒有激情行程．”

3．結束語

安徽省寧國中學)