對(duì)線性代數(shù)的研究性教學(xué)法的若干思考

王高振

【摘要】首先嘗試對(duì)線性代數(shù)的研究性教學(xué)法的若干思考與建議，其次從幾個(gè)方面闡述開展研究性教學(xué)法的必要性，最后給出線性代數(shù)的研究性教學(xué)法的若干措施與建議。

【關(guān)鍵詞】線性代數(shù)；研究性教學(xué)法；合作探究學(xué)習(xí)

【Abstract】Firstly we try to give some thoughts and suggestions on the research teaching method of linear algebra， secondly from several aspects explain to the necessity of research teaching method， finally give some measures and suggestions on the research teaching method of linear algebra.

【key words】linear Algebra；research teaching method；cooperative inquiry learning

【中圖分類號(hào)】O1-4 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】B 【文章編號(hào)】2095-3089（2017）14-0027-02

線性代數(shù)是理工科專業(yè)學(xué)生的一門重要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程，能培養(yǎng)學(xué)生抽象邏輯思維能力和科學(xué)創(chuàng)新能力。線性代數(shù)這門課程有著它獨(dú)特的抽象美、邏輯美、縝密的嚴(yán)謹(jǐn)，從而也造就了想把它學(xué)好需要下很大的功夫。筆者在多年的教學(xué)實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)大多數(shù)學(xué)生在學(xué)習(xí)線性代數(shù)中感到困難重重和枯燥乏味，而這種現(xiàn)象存在的根本原因在于學(xué)生沒能掌握學(xué)習(xí)線性代數(shù)的正確方法。而研究性學(xué)習(xí)是在教師的引導(dǎo)下，以問題解決為中心，以學(xué)習(xí)合作探究為特點(diǎn)，用合作探討的方式去主動(dòng)獲取知識(shí)與解決生活中的實(shí)際問題。鑒于此，這就要求廣大的數(shù)學(xué)教育工作者在線性代數(shù)課程的教學(xué)實(shí)踐中勇于嘗試研究性教學(xué)方法，在文獻(xiàn)[1]，[2]，[5]中，作者都從自己的教學(xué)實(shí)踐中提出對(duì)線性代數(shù)的研究性教學(xué)法的策略和建議。本文也就線性代數(shù)的研究性教學(xué)法做些若干思考和建議。

一、開展線性代數(shù)的研究性教學(xué)的幾個(gè)步驟

1.研究性教學(xué)中應(yīng)著重細(xì)節(jié)的培養(yǎng)

俗話說得好“細(xì)節(jié)決定成敗”，所以我們?cè)诮虒W(xué)中應(yīng)注重對(duì)學(xué)生處理細(xì)節(jié)能力的培養(yǎng)，只有把細(xì)節(jié)做好，才能開展線性代數(shù)的研究性教學(xué)和學(xué)習(xí)，否則就像地基沒打好就在上面蓋房子注定房子會(huì)倒塌一樣。在筆者多年教學(xué)中發(fā)現(xiàn)存在一種非常普遍的現(xiàn)象，就是有一部分學(xué)生在學(xué)習(xí)完線性代數(shù)這門課程后，仍然對(duì)行列式與矩陣的記號(hào)不分。還有行列式運(yùn)算中每步都應(yīng)該用等號(hào)連接，但還是好多學(xué)生都用箭頭來連接。而在矩陣變換中每步都用箭頭連接，但還是好多學(xué)生都把它用等號(hào)連接。這些看似無關(guān)緊要的小毛病，嚴(yán)格來說這些都是致命的錯(cuò)誤。所以我們?cè)诮虒W(xué)中應(yīng)注重學(xué)生對(duì)細(xì)枝末節(jié)的處理技巧，不應(yīng)在細(xì)小的環(huán)節(jié)上栽跟頭呀！

2.研究性教學(xué)中應(yīng)講透概念的本質(zhì)

概念是線性代數(shù)這門課程的奠基石，只有對(duì)概念理解透和掌握，才能學(xué)習(xí)起來線性代數(shù)這門課程得心應(yīng)手。而傳統(tǒng)教學(xué)往往忽視了這一點(diǎn)或者做的不夠這么好，這就要求在研究性教學(xué)中應(yīng)加強(qiáng)對(duì)概念理解的訓(xùn)練，從而要求老師一定要先把概念講清，然后列舉針對(duì)所講的概念的例子讓學(xué)生參透概念的本質(zhì)，弄清概念的來龍去脈。比如很多人認(rèn)為克萊姆法則徒有華麗的外表，而沒有多大的實(shí)際應(yīng)用。殊不知它的理論性很強(qiáng)，但告訴我們什么樣的方程組滿足特定的條件就存在解，并且解可準(zhǔn)確的解出，它給我們探討一般方程組解的存在性問題提供了可借鑒的思想源泉。再比如講到矩陣的方冪時(shí)一定要再次強(qiáng)調(diào)矩陣乘法的前提，只有理解到這一點(diǎn)才明白為什么只有方陣才可以有冪。研究性學(xué)習(xí)中應(yīng)多注重與平行的知識(shí)點(diǎn)的串并聯(lián)學(xué)習(xí)，倒不是一味的模仿，不然就會(huì)掉進(jìn)“陷阱”里。如數(shù)的簡(jiǎn)便運(yùn)算公式，，等并不能簡(jiǎn)單地搬到矩陣的冪中，這時(shí)老師可以拋磚引玉地向?qū)W生拋出問題“這個(gè)等式是否正確”，讓學(xué)生動(dòng)手動(dòng)腦分組研究討論，老師從側(cè)面引導(dǎo)學(xué)生從矩陣的冪的定義本身出發(fā)思考這個(gè)問題，表示2個(gè)的乘積，然后熟悉運(yùn)用矩陣乘法就可以得到，從而加深學(xué)生對(duì)該知識(shí)點(diǎn)的牢固掌握。

3.合理設(shè)計(jì)教學(xué)過程，注重學(xué)生合作探究學(xué)習(xí)

如講到矩陣的秩，應(yīng)著重強(qiáng)調(diào)秩是矩陣的本質(zhì)屬性，否則學(xué)生會(huì)認(rèn)為秩是人為賦予矩陣的特性。k階子式的概念也應(yīng)著重強(qiáng)調(diào)，它來源矩陣，但卻有著與母體矩陣完全不同的性質(zhì)，這是因?yàn)閗階子式為k階行列式而非矩陣。對(duì)矩陣的秩的概念講解時(shí)定要逐字逐句地分析，一定把概念的本質(zhì)清晰準(zhǔn)確地向?qū)W生傳達(dá)，為A中至少有一個(gè)r階子式不為零，且它的所有的r+1階（若存在的話）全都為零，應(yīng)強(qiáng)調(diào)“至少”和“所有”兩個(gè)字眼，然后向?qū)W生拋出問題“設(shè)，那么A的r+2， ，r+3，…階子式應(yīng)為多少？”，引導(dǎo)學(xué)生得出上述的結(jié)論應(yīng)為全都為零，從而為A的非零子式的最高階數(shù)，然后可以啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生借助圖像把結(jié)論形象地表示出來。

在研究與的特征值與特征向量有何聯(lián)系時(shí)，教師可以設(shè)置問題情境，合理引導(dǎo)學(xué)生開展合作探究學(xué)習(xí)。先提示學(xué)生從特殊的矩陣出發(fā)探討得出結(jié)論，然后把得出的結(jié)論是否可以推到一般的矩陣。具體為若為實(shí)對(duì)稱矩陣，則與有完全相同的特征值和特征向量，這一特殊結(jié)果是否具有一般化呢？啟發(fā)學(xué)生應(yīng)該緊抓矩陣的特征值與特征向量的本質(zhì)定義出發(fā)，合作探究，從而推測(cè)得出關(guān)于一般矩陣與其轉(zhuǎn)置矩陣的特征值與特征向量間的關(guān)系的正確結(jié)論。該如何證明呢？讓學(xué)生分組來進(jìn)行討論，引導(dǎo)學(xué)生從矩陣的所有的特征值都為它的特征方程的根的角度出發(fā)，得出根據(jù)得出與有相同的特征值，但是通過上述式子未必得出與一定有著相同的特征向量，這時(shí)因?yàn)樘卣飨蛄繎?yīng)為其所對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組的非零解，如果從這一點(diǎn)出發(fā)似乎問題不怎么好解決，原因就在矩陣是泛指的，從而方程組也是不具體的，如果這時(shí)仍從正面解決問題，似乎走進(jìn)了死胡同里，這時(shí)就應(yīng)要求審時(shí)度勢(shì)地啟發(fā)學(xué)生從問題的反面來思考，即舉了簡(jiǎn)單地反例來說明與未必有著相同的特征向量。endprint

通常求矩陣的逆的方法就是，但是好多學(xué)生都不能真確地寫出。這因?yàn)樵谒麄兊哪X海里并沒有真正地領(lǐng)悟到的真諦，構(gòu)造就是把行列式和矩陣巧妙地融合在一起，而矩陣的逆的定義并沒有給出行之有效的求逆矩陣的方法，只是告訴逆矩陣存在的條件，而行列式展開定理告訴我們一個(gè)很漂亮的結(jié)論，即一行（列）各元與其代數(shù)余子式的乘積之和為行列式的值；即一行（列）各元與另一行（列）代數(shù)余子式的乘積之和為零。從而借助這一漂亮的結(jié)論來構(gòu)造方陣的特殊伙伴—伴隨矩陣，并且兩者有著完美的性質(zhì)，與逆矩陣定義中的等式有著驚人的相似，從而啟發(fā)我們可以從這里尋找求逆矩陣的方法。

當(dāng)我們讓學(xué)生分組討論線性方程組的解會(huì)有多少情況時(shí)，可以啟發(fā)學(xué)生從幾何的角度出發(fā)，（1）和（2）分別代表平面上的直線方程，而平面上的任意兩條直線的位置關(guān)系有：相交，平行，重合。而該方程組的解就為（1）和（2）所代表平面上的兩直線的交點(diǎn)的坐標(biāo)。從而決定了該方程組的解只有3種情況：惟一解（相交），無解（平行），無窮解（重合）。反過來也可以通過方程組的解來判別平面上的兩直線的位置關(guān)系。在學(xué)生掌握二元線性方程組的解的情形后，啟發(fā)學(xué)生能把上述結(jié)論推廣到通過來討論3維空間中的3個(gè)平面的位置關(guān)系，并讓學(xué)生寫出相應(yīng)的研究報(bào)告，從而可以鍛煉學(xué)生的發(fā)散思維的能力和創(chuàng)新研究的能力。

4.研究性學(xué)習(xí)中應(yīng)注重知識(shí)點(diǎn)的串并聯(lián)

行列式和矩陣是線性代數(shù)的兩個(gè)重要的基本工具，后續(xù)內(nèi)容基本上都圍繞這兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)展開和加深的。學(xué)生往往學(xué)習(xí)起來感到非常困難，原因就在忽視了知識(shí)點(diǎn)的梳理和串并聯(lián)，因?yàn)榫€性代數(shù)的好多知識(shí)點(diǎn)是承前啟后的和彼此關(guān)聯(lián)和相似的。在線性代數(shù)研究性教學(xué)中讓學(xué)生做好知識(shí)點(diǎn)的梳理和串并聯(lián)，能給他們學(xué)習(xí)線性代數(shù)帶來很大的便捷。比如向量可由向量組：線性表出的充要條件為線性方程組有解，所以線性表出只是比解非齊次方程組多披了一層神秘的面紗而已。向量組：線性相關(guān)的充要條件為線性方程組有非零解，所以線性相關(guān)只是比解齊次方程組多披了一層神秘的面紗而已。讓學(xué)生勇于撥開云霧見青天發(fā)現(xiàn)問題的本質(zhì)，找到與之相關(guān)較容易的知識(shí)點(diǎn)來解決。在研究性學(xué)習(xí)中讓學(xué)生養(yǎng)成善于發(fā)現(xiàn)問題和知識(shí)點(diǎn)的橫縱向的串聯(lián)與類比，從而可以做到知識(shí)的鞏固和加深與升華。

二、結(jié)束語

在線性代數(shù)研究性教學(xué)中應(yīng)時(shí)刻以學(xué)生為主體，教師為引導(dǎo)的基本發(fā)展策略，充分挖掘?qū)W生的內(nèi)在潛能，激發(fā)學(xué)生主動(dòng)接受知識(shí)的主觀能動(dòng)性，向課堂教學(xué)要最大的效率。同時(shí)在線性代數(shù)研究性教學(xué)中要注意學(xué)生的個(gè)體差異的實(shí)際情況，按照學(xué)生的發(fā)展實(shí)際情況把他們分成若干個(gè)討論小組，注意到學(xué)習(xí)小組間的均衡發(fā)展和良性競(jìng)爭(zhēng)，發(fā)揚(yáng)小組間互助互利的優(yōu)良傳統(tǒng)，結(jié)合教師適量適度地引導(dǎo)和啟發(fā)，從而達(dá)到每個(gè)學(xué)生都能得到最全面的發(fā)展和創(chuàng)新潛能的最大程度地被開發(fā)出來，最終線性代數(shù)的教學(xué)效果收獲到最完美的效果。

參考文獻(xiàn)

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