類方形蜂窩夾芯結構力學性能研究

童 冠，李 響，梅月媛，周幼輝

(1. 福建省送變電工程有限公司，福建福州 350013；2.三峽大學水電機械設備設計與維護湖北省重點實驗室，湖北宜昌 443002；3. 三峽大學機械與動力學院，湖北宜昌 443002)

類方形蜂窩夾芯結構力學性能研究

童 冠1，李 響2,3，梅月媛3，周幼輝3

(1. 福建省送變電工程有限公司，福建福州 350013；2.三峽大學水電機械設備設計與維護湖北省重點實驗室，湖北宜昌 443002；3. 三峽大學機械與動力學院，湖北宜昌 443002)

為了證明類方形蜂窩結構與六邊形蜂窩結構之間的關系，將類方形蜂窩夾芯結構分解為特有的T字形胞元，應用Euler梁原理和能量法分別推導了T字形胞元模型的等效彈性常數公式。同時，在用經典方法推導的六邊形蜂窩夾芯的等效彈性常數公式中，代入了類方形蜂窩結構的特征參數，得到了與前述2種方法相同的結果，證明了類方形蜂窩是六邊形蜂窩的演變體，指出了這2個經典蜂窩公式存在的局限性和應用范圍，由類方形蜂窩的結構特征，發現經典蜂窩理論公式在特征角等于零或零附近的值是奇異和不準確的。研究結果對蜂窩結構力學性能相關理論的后續研究和完善有著重要的參考價值。

結構力學；夾層結構；類方形蜂窩；能量法；等效彈性常數；力學性能

夾層結構是由2塊高強度的薄表層板和填充在中間的夾芯層組成的，中間使用新型黏結劑黏結而成[1-2]。表層一般采用金屬、玻璃鋼、高硬度輕質材料等，而夾芯一般是用泡沫塑料、鋁或不銹鋼波片、波紋金屬鋼等制成的蜂窩，其中以鋁質正六邊形蜂窩的應用最為常見。近年來出現了很多新的蜂窩結構型式，進一步擴大了蜂窩的結構體系和應用范圍[3-9]。

研究夾芯面內力學性能的代表人物主要有GIBSON[10-12]，BURTON[13]和富明慧[14-15]等，他們采用簡化的線彈性Bemoulli-Euler梁模型，推導了蜂窩結構的多個等效彈性參數的解析式，在此基礎上展開后續的研究工作，增加考慮彎曲變形、伸縮變形和剪切變形對面內等效剛度的影響，不斷對GIBSON公式進行修正。這其中，WARREN等[16]發現胞元周期性重復排列是蜂窩結構的重要特點，于是選取其中代表性的簡化胞元進行了分析，創立了此類結構研究方法的一個新范式。

到目前為止，國內外有關蜂窩結構的等效彈性模量參數研究工作大部分都是在胞元理論基礎上展開的。本文分別運用Euler梁原理、能量法和經典蜂窩理論，針對類方形蜂窩結構進行深入研究。研究中涉及的主要符號說明見表1。

表1 主要符號說明

1 基于T模型求解等效力學常數

類方形蜂窩結構如圖1所示，其由許多正方形的蜂窩孔組成。使用胞元分解原理[16]，根據類方形蜂窩胞元周期性重復排列的特點，選取T型胞元模型進行力學分析，見圖2。

等效力學參數求解采用等效模型與胞元模型相等的原理。首先，使蜂窩胞元模型處于單向受力狀態，推導對應于該狀態的應力應變量；然后建立等效模型，將蜂窩夾芯層等效為均質實心體，保持受力狀態不變，進行應力應變量求解。由于等效模型結構與原胞元模型結構等價，因而在同樣受力狀態下2種模型的應力應變量相等，由此建立方程求解，得到夾芯結構的等效力學性能參數。表征蜂窩夾芯結構整體力學性能的3個等效力學性能參數分別是蜂窩夾芯結構面內等效彈性模量Ecx，Ecy和面內剪切模量Gcxy。

如圖2所示，虛線所包圍的四邊形即為類方形蜂窩夾芯胞元，本文稱之為“T模型”，其幾何要素分別為胞元長h、寬l、壁厚t。T型胞元結構有如下特點：1)T型的長寬所在矩形面積等于類方形蜂窩孔的面積；2)每個T型單元有3個完整胞壁，而單獨屬于每個類方形蜂窩的完整胞壁也是3個。

1.1 類方形蜂窩x方向等效彈性模量

T型胞元在x方向上的受力圖如圖3所示，其等效體為虛線所圍成的矩形，取厚度t=b的類方形蜂窩胞元進行研究。

1.2 類方形蜂窩y方向等效彈性模量

所以，等效泊松比μ2=0 ，等效體在y方向的等效彈性模量為

1.3 類方形蜂窩等效剪切模量

根據分析，計算模型的受力狀態不僅要滿足胞元平衡，而且要滿足整個芯子平衡，即各節點平衡，圖5所示為受剪力的等效模型圖。在模型建立時，假設A，B，C節點沒有相對位移，同時各節點轉過的角度是相等的，剪切變形是由BD繞B點的轉動和BD的彎曲形成的。

T型胞元變形及端點D的位移見圖6。如圖6所示，AB胞壁可看成A點和B點簡支，在A點和B點均有彎矩M，則此時可由AB桿受力情況得到在B點產生的逆時針轉角：

綜合式(1)—式(3)，對于類方形蜂窩結構有h=2l，得到利用Euler梁原理推導的類方形蜂窩夾層結構的等效力學常數為

2 基于能量法求解等效力學常數

同樣，將類方形蜂窩夾芯結構分解為T型胞元結構，定義相同的尺寸要素，使用能量法原理，通過等效模型建立方程，推導具有類方形蜂窩夾芯結構特征參數的等效力學常數。

2.1 類方形蜂窩x方向等效彈性模量

2.2 類方形蜂窩y方向等效彈性模量

(6)

2.3 類方形蜂窩等效剪切模量

通過分析，所計算模型的受力狀態既要滿足類方形蜂窩胞元結構的平衡，同時也要滿足整個宏觀尺度下夾芯結構的平衡，即每一個節點的平衡，等效模型的受力情況如圖5所示。

(7)

綜合式(5)—式(7)，對于類方形蜂窩結構有h=2l，得到利用能量法推導的類方形蜂窩夾芯結構的等效彈性常數為

(8)

對比式(4)、式(8)可知，2種方法推導得到的等效彈性模量Ecx和Ecy結果完全相同，而剪切模量Gcxy整體值近似，但在分母中多出了關于t/l的一個二次項。實際上，類方形蜂窩的胞元壁厚t遠遠小于胞壁壁長l，所以式(4)中的Gcxy可認為是式(8)中3+1/2(t/l)2≈3的結果。

綜上所述，能量法求解得到類方形蜂窩夾芯等效力學常數的結果與用Euler梁原理求解的結果是一致的，這2種方法在理論上可以互為驗證，從而保證結果的準確性。

3 類方形蜂窩與六邊形蜂窩的關系

各種蜂窩夾芯形式中，傳統的正六邊形蜂窩用料省、制造簡單、結構效率最高，從而被廣泛應用于航空、包裝、軍事、建筑、交通等領域。正六邊形蜂窩結構的力學性能、聲學特性、抗震能力也是學者研究的熱點[19-22]正六邊形蜂窩和類方形蜂窩見圖7。作為最早研究蜂窩結構的學者，GIBSON等[12]系統地提出了胞元材料理論，在分析時將蜂窩夾芯層結構簡化為線彈性 Bernoulli-Euler 梁，忽略了胞壁在方向和向厚度的不一致性，采用固體力學理論推導出解析式。盡管該方法會給理論研究帶來一定的誤差，但是目前有關蜂窩夾芯結構的等效力學常數的研究工作絕大部分都是在此基礎上展開的。

GIBSON推導出的蜂窩夾芯結構等效力學常數被人們稱為GIBSON公式，其是研究蜂窩夾芯結構力學性能的經典理論公式。在此基礎上，根據結構特點，BURTON等[13]給出修正后的雙壁厚六邊形蜂窩的GIBSON公式：

(9)

式中設定值：β=h/l，如圖8所示，h為直邊的長度，l為斜邊的長度，t為胞元壁板的厚度，Es為制作蜂窩材料的彈性模量，θ為直邊與斜邊的夾角。

雖然反映蜂窩材料等效彈性參數的GIBSON公式結果簡單，便于應用，但由于對應于蜂窩壁板伸縮變形的剛度被忽略，導致對蜂窩夾層結構數值進行分析時芯層材料的彈性矩陣表現出不確定性。富明慧等[14]重新考慮了蜂窩壁板的伸縮變形對面內剛度的影響，對GIBSON公式進行了修正，得到了富明慧公式：

(10)

在經典蜂窩理論公式(9)和公式(10)中，蜂窩特征角θ、相鄰邊長比β是反應蜂窩結構形狀特征的變量，其取值是根據蜂窩結構形狀確定的，如正六邊形蜂窩,θ=60°，β=1。經過比較(見圖8)發現，當蜂窩夾芯的特征角θ=0°、相鄰邊長比β=2時，蜂窩夾芯可演變成類方形蜂窩夾芯。由此可認為類方形蜂窩夾芯結構是蜂窩夾芯結構的特征參數變化時的一種特殊結構，包含在蜂窩結構體系中，是蜂窩結構的一種演變體。

因此，經典蜂窩結構的理論研究成果可以直接應用到類方形蜂窩結構的研究中。然而研究發現，把類方形蜂窩夾芯結構特征參數(θ=0°,β=2)直接代入到經典蜂窩理論公式(9)和公式(10)中，會出現等效彈性常數為零或者無窮大的奇異值，這明顯是不合理的。

為了應用蜂窩夾芯的等效力學常數公式，直接求解類方形蜂窩夾芯的等效力學常數，將式(10)中的Ecx和Ecy作進一步的等價變換，得到：

(11)

對于類方形蜂窩夾芯結構，有θ=0°,β=2，將其代入式(11)中，得到：

(12)

式(12)與式(4)、式(8)的結果相同，所以根據經典蜂窩力學理論公式也推理得到了類方形蜂窩夾芯結構的等效力學常數，進一步從理論上證明了類方形蜂窩結構是蜂窩結構的演變體，其與正六邊形蜂窩等結構的屬性相似。

類方形蜂窩結構具有一個顯著特征就是蜂窩特征角θ=0°。根據Euler梁方法和能量法推導的結果可知，類方形蜂窩結構等效力學常數存在合理的準確值。而GIBSON公式、富明慧公式在蜂窩特征角θ=0°處的值是奇異的。由于類方形蜂窩結構是一個連續的物理實體，其彈性模量Ecx(θ)和Ecy(θ)均是關于θ的連續函數，所以2個經典蜂窩公式在特征角等于零附近的值都是奇異和不準確的，這說明經典蜂窩理論公式有自己的應用范圍和局限性。

3 結 語

應用Euler梁方法、能量法和經典蜂窩力學理論公式，分別求解了類方形蜂窩結構的3個重要力學性能參數。Euler梁方法、能量法的求解結果均與經典蜂窩力學理論公式的求解結果相同，說明類方形蜂窩結構是六邊形蜂窩結構的演變體，它與六邊形蜂窩結構的屬性相似。本文同時發現，GIBSON公式、富明慧公式在蜂窩特征角等于零及零附近的值為零或無窮大，這種奇異和不準確的現象與實際情況不符，指出這2個經典蜂窩公式存在局限性和應用范圍。

本文的不足之處是偏重于對類方形蜂窩結構力學性能的理論研究，因此需要用實驗進一步驗證和完善。未來的研究方向是類比經典六邊形蜂窩結構，需繼續探究類方形蜂窩結構在扭轉、剪切等受力狀態下的承載性能，以及其屈曲、失穩等變形過程。

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Mechanic properties analysis of quasi-square honeycomb sandwich structure′s core

TONG Guan1, LI Xiang2,3, MEI Yueyuan3, ZHOU Youhui3

(1. Fujian Electric Power Transmission & Transformation Engineering Company Limited, Fuzhou, Fujian 350013, China; 2. Hubei Key Laboratory of Hydroelectric Machinery Design & Maintenance, China Three Gorges University, Yichang, Hubei 443002, China;3. College of Mechanical and Power Engineering, China Three Gorges University, Yichang, Hubei 443002, China)

In order to illustrate the relationship between the quasi-square-honeycomb structure and the hexagonal honeycomb structure, after decomposing the quasi-square honeycomb sandwich structure into unique T-shaped cell, the equivalent elastic constants equations of T-shaped cell model are derived respectively by applying Euler beam theory and energy method. At the same time, the quasi-square honeycomb's characteristic structure parameters are substituted into the equivalent elastic constants equations which are derived by the classical method of a hexagonal honeycomb core, and the same results are obtained as that of the preceding both methods. It is proved that the quasi-square-honeycomb structure is an evolution of hexagonal honeycomb. The limitations and application scope of the two classical honeycomb formulas are pointed out. The research of the structural characteristics of the square-shaped honeycomb shows that the classical cellular theoretical formula are singular and inaccurate when the feature angle values equal to zero or near zero. This study has important reference value for the subsequent research and improvement of the theories about cellular structure mechanical properties.

structural mechanics; sandwich structure; quasi-square honeycomb; energy method; equivalent elastic constant; mechanical property

1008-1542(2017)06-0522-08

10.7535/hbkd.2017yx06003

TB333

A

2017-05-31；

2017-09-17；責任編輯：張士瑩

國家自然科學基金(51305232)

童 冠(1990—)，男，湖北黃岡人，碩士，主要從事結構輕量化設計方面的研究。

李 響副教授。E-mail:lixiangcfy@163.com

童 冠，李 響，梅月媛，等.類方形蜂窩夾芯結構力學性能研究[J].河北科技大學學報,2017,38(6):522-529.

TONG Guan，LI Xiang，MEI Yueyuan，et al.Mechanic properties analysis of quasi-square honeycomb sandwich structure′s core[J].Journal of Hebei University of Science and Technology,2017,38(6):522-529.