具有隨機波動率的美式期權定價

李 萍，李建輝

(1.西安工程大學理學院，陜西西安 710048；2.西京學院應用統(tǒng)計與理學系，陜西西安 710123)

具有隨機波動率的美式期權定價

李 萍1，李建輝2

(1.西安工程大學理學院，陜西西安 710048；2.西京學院應用統(tǒng)計與理學系，陜西西安 710123)

為了更好地解決期權定價中存在的問題，研究了帶有Heston隨機波動率模型的期權定價問題，對美式期權的最佳實施邊界及其提前執(zhí)行的條件進行了分析和討論。鑒于美式期權不存在解析定價公式，通過離散化參數(shù)空間將帶有Heston隨機波動率的美式期權價格所滿足的隨機偏微分方程轉化為相應的差分方程，進而采用高階緊式有限差分方法進行求解，得到了期權價格的數(shù)值解。通過數(shù)值實驗對理論結果進行驗證和模擬，對帶有常數(shù)波動率和隨機波動率條件下的兩種最佳實施邊界進行比較，發(fā)現(xiàn)最佳實施邊界也具有隨機波動性；在設定參數(shù)下對波動率的行為和性質進行分析，模擬出波動率曲線，并對高階緊差分方法的計算結果進行比較，得到了期權的數(shù)值解，驗證了算法的有效性。此方法對解決隨機波動率下的期權定價其他問題，如：隨機波動率下的多標的資產期權定價、障礙期權定價的研究具有借鑒價值。

金融市場；隨機分析；美式期權；隨機波動率；自由邊界；有限差分法

期權是一種重要金融衍生工具，具有良好的規(guī)避風險的功能。金融市場風險管理領域應用較為廣泛的是Black-Scholes期權定價模型[1-2]。美式期權是金融市場上受歡迎的期權之一，具有在到期日之前的任何時刻均可執(zhí)行的特點。其收益取決于標的股票價格的變動，屬路徑依賴期權。要得到其精確解析定價公式是非常困難的，甚至是不可能的。近年來，國內外學者在該領域的研究，一方面主要致力于美式期權定價的數(shù)值解法研究，另一方面對Black-Scholes模型做深刻的研究，尋求更加精確的模型用以刻畫隨機波動率、利率等參數(shù)。文獻[3]在傳統(tǒng)的Black-Scholes模型的基礎上，給出了具有離散紅利的美式期權的數(shù)值計算方法。文獻[4-6]分別給出了一些求解美式期權定價問題的有限差分方法和蒙特卡洛模擬方法，得到了期權價格。文獻[7]用GARCH模型做了標的股票的波動率預測，給出了一種模糊系統(tǒng)波動率預測方法。文獻[8—9]給出了一些參數(shù)依賴期權定價問題解法。文獻[10—16]研究了求解美式期權的定價模型的移動邊界逼法、牛頓法及布谷鳥搜索算法等。同時許多學者當前的研究主要是基于隨機波動率的期權定價問題[17—21]，為更加精確的求得期權價格打下基礎。

本研究在文獻[4，8，10，16—18]研究的基礎上，考慮Heston模型隨機波動率之下的美式期權定價問題，將期權價格滿足的隨機偏微分方程及其對應的邊界條件和終止條件進行變量變化和離散化，并采用一種基于均勻網格的高階緊差分方法求解，得到了期權價格的數(shù)值解，同時對波動率和美式期權的最佳實施邊界做了數(shù)值模擬。

1 隨機波動率下的期權定價

以K，S，q，r，T和t分別表示期權的敲定價格、標的股票價格、紅利率、無風險利息率、到期日和當前時間，則τ=T-t表示當前時間距到期日的時間，K和S的單位均為$；T，t和τ的單位均為年。

(1)

(2)

而且對于看跌期權，滿足如下的初始條件和邊界條件：

2 美式期權的最佳實施邊界

美式期權的持有人有權在敲定期日之前的任意時刻執(zhí)行期權，是否提前執(zhí)行取決于當前的股票價格是否低于最佳實施邊界b(τ,v)。最佳實施邊界將資產價格空間分為終止區(qū)域S和繼續(xù)持有區(qū)域C。在區(qū)域C中有：max{K-S,0}-P<0，在區(qū)域S中有：max{K-S,0}-P=0。

美式期權具有終止條件，P(S,v,0)=(K-S)+， 0

考慮到期權是否提前執(zhí)行，則有以下2種情形：

Ⅰ)期權不提前執(zhí)行，有邊界條件：

此時的美式期權類似于歐式期權，僅在到期日當天進行交易，或根據到期日當天的標的資產價格計算收益，以判斷是否放棄執(zhí)行期權，如此以來將在很大程度上回避風險。

Ⅱ)期權提前執(zhí)行，有邊界條件：

對?b(v,τ)

3 高階緊差分格式

對方程(5)作如下變換：

則方程(5)變?yōu)?/p>

而且對x∈R，v>0，τ>0滿足如下初始條件和邊界條件：

對上述問題離散化，對于時間的離散化，{Δτ,2(Δτ),…,N(Δτ)}，對于空間的離散化，用[-R1,R1]和[0,R2]分別代替R和R+，R1,R2>0。為方便起見，考慮均勻網格：

{xi∈[-R1,R1]|xi=ih1}，i=-n,…,n，

{yj∈[0,R2]|yj=jh2}，j=0,…,m，

形成了(2n+1)×(m+1)個網格點，R1=nh1，R2=mh2，空間步長為R1和R2，時間步長為Δτ。則關于方程(7)的標準中心差分近似為

方程(7)兩邊分別求x和y的混合偏導數(shù)，可得：

方程(7)兩邊分別求x和y的二階導數(shù)，再將兩式相加得：

由式(6)—式(11)可得：

這里的ul,l=0,…,8，包括格點(i,j)與其相鄰的8個格點為

式(12)中的系數(shù)al和bl可以由參數(shù)κ，σ，ρ，θ，r，q,h計算得到：

u(-R1,y,τ)=u(-R1,y,0),τ∈[0,T],y∈[0,R2]。

邊界條件x=R1，對應S=Smax，其中Smax滿足人工邊界Pv(Smax,v,t)=0，PSv(Smax,v,t)=0，PSS(Smax,v,t)=0且Pvv(Smax,v,t)=0。將這些邊界條件帶入式(5)得到：Pt-rP=0。邊界條件y=R2，x?{-R1,R1}，對應v=vmin，S?{Smin,Smax}。由式(12)-式(18)對點u-1,j，j=0,…,m，用外推公式：

u-1,j=4u0,j-6u1,j+4u2,j-u3,j+O(h4)ui,m,i=-n,…,n，

以上給出了求解帶有隨機波動率的美式期權價格的一種數(shù)值方法——高階緊差分(HOC)方法。在Matlab軟件中編寫算法程序，實現(xiàn)算法。

4 數(shù)值試驗

圖1 a)中曲線呈“中間低”、“兩邊高”形態(tài)，這種波動率與敲定價格之間的關系在金融學中稱之為波動率微笑。由圖1 b)-c)對比可以看出：當ρ>0時，波動率隨敲定價格K增大呈上升趨勢；當ρ<0時，執(zhí)行價格隨敲定價格K增大呈下降趨勢。波動率在某時間段上高，而在另外某時間段上低，說明波動率存在聚類行為。

試驗2設定參數(shù)κ=2，θ=0.01，r=0.03，q=0.015，v0=0.2，K=20$，α=0.3，σ=0.2，Δτ=0.01，ρ=1，模擬出了一條隨機波動率下的最佳實施邊界，如圖2所示。波動率為常數(shù)時，最佳實施邊界為一條平滑的曲線，而隨機波動對應的最佳實施邊界呈現(xiàn)隨機波動的趨勢。實際上，在計算期權價格時，需要在做大量的模擬的基礎上確定最佳實施邊界，分析和研究其統(tǒng)計規(guī)律性。

試驗4求滿足參數(shù)κ=2，θ=0.01，r=0.03，q=0.015，α=0.3，σ=0.2，T=3，ρ=0.5的隨機波動率下的美式看跌期權的價格。使用HOC方法計算出期權價格，見表2。

表1 計算結果的比較

表2 具有隨機波動率的美式期權的價格

5 結 語

本研究考慮Heston模型隨機波動率之下的美式期權定價問題，采用高階緊差分方法求解期權價格滿足的隨機偏微分方程，并對其進行數(shù)值試驗，驗證了算法的有效性，最后得到了期權的數(shù)值解。然而，隨機波動率之下的期權定價問題不限于此，如隨機波動率下的多標的資產期權定價、障礙期權定價等仍有待研究。

/

[1] BLACK F, SCHOLES M. The pricing of options and corporate liabilities [J]. Journal of Political Economy, 1973, 81(3): 637-654.

[2] COHEN J B,BLACK F, SCHOLES M. The valuation of option contracts and a test of market efficiency [J]. Journal of Finance, 2012, 27(2): 399-417.

[3] BATTAUZ A, PRATELLI M. Optimal stopping and American options with discrete dividends and exogenous risk [J]. Insurance Mathematics and Economics, 2004, 35(2): 255-265.

[4] ZHAO J, DAVISON M, CORLESS R M. Compact finite difference method for American option pricing [J]. Journal of Computational and Applied Mathematics, 2007, 206(1): 306-321.

[5] TANGMAN D Y, GOPAUL A, BHURUTH M. A fast high-order finite difference algorithm for pricing American options [J]. Journal of Computational and Applied Mathematics, 2008, 222(1): 17-29.

[6] RAYMOND H C, WONG C Y,YEUNG K M. Pricing multi-asset American-style options by memory reduction Monte Carlo methods [J]. Applied Mathematics and Computation, 2006, 179(2): 535-544.

[7] HUNG J C. Applying a combined fuzzy systems and GARCH model to adaptively forecast stock market volatility [J]. Applied Soft Computing, 2011, 11(5): 3938-3945.

[8 ] 孫玉東，師義民，吳敏.參數(shù)依賴股票價格情形下的障礙期權定價[J].數(shù)學物理學報，2013，33 (5): 912-925.

SUN Yudong SHI Yimin WU Min. Barrier option pricing when parameters dependent on stock price [J]. Acta Mathematica Scientia, 2013, 33(5): 912-925.

[9] HESTON S L. A closed-form solution for options with stochastic volatility with applications to bond and currency options [J]. Review of Financial Studies, 1993, 6(2): 327-343.

[10] CHOCKALINGAM A, MUTHURAMAN K. An approximate moving boundary method for American option pricing [J]. European Journal of Operational Research, 2015 , 240 (2) :431-438.

[11] JEUNESSE M, JOURDAIN B. Regularity of the American Put option in the Black-Scholes model with general discrete dividends[J]. Stochastic Processes & Their Applications, 2012, 122(9):3101-3125.

[12] HOUT K I, TOIVANEN J. Application of operator splitting methods in finance[J]. Ima Journal of Numerical Analysis, 2015, 203(5):1173-1184.

[13] DURIS K，TAN S H，LAI C H,et al. Comparison of the analytical approximation formula and Newton's method for solving a class of nonlinear Black-Scholes parabolic equations[J]. Computational Methods in Applied Mathematics, 2016, 16 (1) :35-50.

[14] DATE P, ISLYAEV S. A fast calibrating volatility model for option pricing[J]. European Journal of Operational Research, 2015, 243(2):599-606.

[15] AL-HAGYAN M, MISIRAN M, OMAR Z. Content analysis of stochastic volatility model in discrete and continuous time setting[J]. Research Journal of Applied Sciences Engineering & Technology, 2015, 10(10):1185-1191.

[16] NWOZO C R, FADUGBA S E. On two transform methods for the valuation of contingent claims[J]. Journal of Mathematical Finance, 2015, 5(2):88-112.

[17] HARING S, HOCHREITER R. Efficient and robust calibration of the Heston option pricing model for American options using an improved Cuckoo Search Algorithm[J]. Computer Science, 2015, 89(1):797-803.

[18] RUCKDESCHEL P, SAYER T, SZIMAYER A. Pricing American options in the Heston model: A close look on incorporating correlation[J]. Social Science Electronic Publishing, 2013，20(3):9-29.

[19] TINNE H, KAREL J, In't Hout ADI schemes for pricing American options under the heston model[J]. Applied Mathematical Finance, 2015, 22(3):207-237.

[20] BATTAUZ A, DONNO M D, SBUELZ A. The put-call symmetry for American options in the heston stochastic volatility model[J]. Analele Universitatii Din Oradea Fascicula Biology, 2014，80(2):857-864.

[21] NAGASHIMA K, CHUNG T K, TANAKA K. Asymptotic expansion formula of option price under multifactor Heston model[J]. Asia-Pacific Financial Markets, 2014, 21(4):351-396.

American option pricing with stochastic volatility processes

LI Ping1, LI Jianhui2

(1. School of Science, Xi’an Polytechnic University, Xi’an, Shaanxi 710048, China; 2. Department of Applied Statistics and Science, Xijing University, Xi’an, Shaanxi 710123, China)

In order to solve the problem of option pricing more perfectly, the option pricing problem with Heston stochastic volatility model is considered. The optimal implementation boundary of American option and the conditions for its early execution are analyzed and discussed. In view of the fact that there is no analytical American option pricing formula, through the space discretization parameters, the stochastic partial differential equation satisfied by American options with Heston stochastic volatility is transformed into the corresponding differential equations, and then using high order compact finite difference method, numerical solutions are obtained for the option price. The numerical experiments are carried out to verify the theoretical results and simulation. The two kinds of optimal exercise boundaries under the conditions of the constant volatility and the stochastic volatility are compared, and the results show that the optimal exercise boundary also has stochastic volatility. Under the setting of parameters, the behavior and the nature of volatility are analyzed, the volatility curve is simulated, the calculation results of high order compact difference method are compared, and the numerical option solution is obtained, so that the method is verified. The research result provides reference for solving the problems of option pricing under stochastic volatility such as multiple underlying asset option pricing and barrier option pricing.

finance markets； stochastic analysis； American option； stochastic volatility； free boundary； finite difference method

1008-1542(2017)06-0542-06

10.7535/hbkd.2017yx06006

O211.9MSC(2010)主題分類91B24

A

2016-12-28；

2017-09-10；責任編輯：張 軍

陜西省自然科學基金(2016JM1009)；陜西省教育廳專項科研計劃基金(15JK2183，15JK2134)

李 萍(1981—)，女，陜西咸陽人，工程師，碩士，主要從事應用數(shù)學方面的研究。

E-mail:13379220399@163.com

李 萍，李建輝.具有隨機波動率的美式期權定價 [J].河北科技大學學報,2017,38(6):542-547.

LI Ping, LI Jianhui.American option pricing with stochastic volatility processes[J].Journal of Hebei University of Science and Technology,2017,38(6):542-547.