高中數(shù)學(xué)教材潛在價(jià)值的挖掘

魏敬波

摘 要：教師回歸教材、重視教材，既要透徹理解教材中的基礎(chǔ)知識(shí)，還要注重挖掘基礎(chǔ)知識(shí)（顯性知識(shí)）中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)基本技能及數(shù)學(xué)思想方法；同時(shí)發(fā)揮教材的引領(lǐng)作用，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和良好的個(gè)性品質(zhì)，讓學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中獲得成長(zhǎng)。

關(guān)鍵詞：教材；隱性知識(shí)；價(jià)值；挖掘；研究；興趣；個(gè)性品質(zhì)

中圖分類號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1009-010X（2017）35-0015-03

隨著新課程改革逐步深入，數(shù)學(xué)教學(xué)中三維目標(biāo)的達(dá)成在核心素養(yǎng)與數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)的理念下得到了繼承和發(fā)揚(yáng)。為確保學(xué)生獲得良好的數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)發(fā)展，教師不僅要注重教材中顯性知識(shí)的教學(xué)，還要重視數(shù)學(xué)基本技能及數(shù)學(xué)思想的滲透；發(fā)揮教材知識(shí)引領(lǐng)作用的同時(shí)，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

一、重視教材中已經(jīng)明確提出的問題

教材每章之中都有大量的“思考”“？”“探究”之類欄目，是教材主體內(nèi)容的延伸和補(bǔ)充，也是教師挖掘教材隱性知識(shí)、在課堂上滲透數(shù)學(xué)文化的重要渠道之一。教師在教學(xué)中應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)地參與到對(duì)這些問題的思考和解答的過程中，讓他們形成自己的觀點(diǎn)之后合作交流，通過嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬐评慝@得相應(yīng)的數(shù)學(xué)結(jié)論。教師尊重學(xué)生在教學(xué)中的主體地位，首先體現(xiàn)在懂得給學(xué)生提供思考和探索的空間，讓學(xué)生通過切身經(jīng)歷來體驗(yàn)、發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造，學(xué)生獨(dú)立完成從未知到掌握的過程才能享受解決問題帶來的愉悅，進(jìn)而激發(fā)繼續(xù)學(xué)習(xí)的興趣和欲望。

就筆者教學(xué)經(jīng)驗(yàn)而言，學(xué)生探討過程會(huì)存在得不出結(jié)論或結(jié)論不全面、不準(zhǔn)確，解法不夠優(yōu)化以及表述不清楚等問題。遇到這類情況教師要始終把自身角色定位于引導(dǎo)者、參與者、合作者，因勢(shì)利導(dǎo)地進(jìn)行點(diǎn)撥和啟發(fā)；將結(jié)論直接告訴學(xué)生只能助長(zhǎng)學(xué)生依賴心理，打消自主探究的積極性。師之為教，不在全盤授予，而在相機(jī)引導(dǎo)。筆者作為一線數(shù)學(xué)教師，認(rèn)為將培養(yǎng)學(xué)生問題意識(shí)始終作為數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的重點(diǎn)，最能促進(jìn)學(xué)生思維全面地健康發(fā)展。同時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注知識(shí)間的關(guān)聯(lián)，促進(jìn)學(xué)生逐漸形成善于質(zhì)疑、樂于探究、努力求知的積極態(tài)度以及激發(fā)自己勇于探索的精神。

二、例題習(xí)題的合理運(yùn)用

（一）變式訓(xùn)練培養(yǎng)學(xué)生思維的廣度

例題習(xí)題經(jīng)過變換條件或形式得出新題，可以由一題變多題，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)問題的理解步步深化，從而多層次、多角度地思考、研究，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維。

如筆者在講授人教A版《數(shù)學(xué)（必修⑤）》“一元二次不等式及其解法”一節(jié)，習(xí)題3.2A組第3題：若關(guān)于x的一元二次方程x2-（m+1）x-m=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求m的取值范圍.該題可作為對(duì)二次方程根的分布問題的簡(jiǎn)單討論的出發(fā)點(diǎn)，將二次方程、二次函數(shù)的圖象、二次不等式有機(jī)地聯(lián)系起來。不妨設(shè)計(jì)如下變式練習(xí)：

變式1——若關(guān)于x的一元二次方程x2-（m+2）x+4=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求m的取值范圍.

變式2——若關(guān)于x的一元二次方程x2-（m+2）x+4=0沒有實(shí)數(shù)根，求m的取值范圍.

變式3——若關(guān)于x的一元二次方程x2-（m+2）x+4=0有兩個(gè)不相等的正根，求m的取值范圍.

變式4——若關(guān)于x的一元二次方程x2-（m+2）x+4=0有兩個(gè)不相等的負(fù)根，求m的取值范圍.

變式5——若關(guān)于x的一元二次方程x2-（m+2）x+4=0，兩根均在（1，5）內(nèi)，求m的取值范圍.

學(xué)生通過學(xué)習(xí)一道題掌握一類題，乃至觸類旁通在未來能夠更從容應(yīng)對(duì)未知事物，才是核心素養(yǎng)在教學(xué)實(shí)踐中得到發(fā)展的最好表現(xiàn)。

（二）注重學(xué)科知識(shí)內(nèi)在聯(lián)系

例題習(xí)題中蘊(yùn)含教學(xué)價(jià)值的是數(shù)學(xué)方法——連接知識(shí)和實(shí)踐的橋梁。教師在課堂教學(xué)中還要注重學(xué)科內(nèi)的知識(shí)聯(lián)系，學(xué)生經(jīng)過回顧、探索、總結(jié)，培養(yǎng)自身思維的靈活性和概括性。

如人教A版《數(shù)學(xué)》（選修2-1）“橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)”一節(jié)練習(xí)第7題、“雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)”一節(jié)例6、“拋物線”一節(jié)練習(xí)第3題，都是圓錐曲線求弦長(zhǎng)問題——常規(guī)解法就是先求出交點(diǎn)坐標(biāo)，再求兩點(diǎn)距離；但教材復(fù)習(xí)參考題A組第8題：斜率為2的直線l與雙曲線 - =1交于A、B兩點(diǎn)，且AB=4，求直線的方程.本題只需求出直線的縱截距，顯然延續(xù)上述解題思路會(huì)使得運(yùn)算過程將相當(dāng)繁瑣。教師應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生利用根與系數(shù)的關(guān)系設(shè)而不求，將兩點(diǎn)間距離公式化為兩根之和與積的形式，進(jìn)行巧解，從而落實(shí)對(duì)數(shù)學(xué)方法的滲透。

（三）開放性習(xí)題培養(yǎng)學(xué)生探究能力

學(xué)習(xí)最好的途徑是親自去發(fā)現(xiàn)，最富有成效的學(xué)習(xí)是自己去探索、去發(fā)現(xiàn)。

例如人教A版《數(shù)學(xué)（必修④）》“兩角和與差的正弦、余弦和正切公式”一節(jié)中習(xí)題3.1B組第3題：已知，

sin230°+cos260°+sin30°cos60°= ，

sin220°+cos250°+ sin20°cos50°= ，

sin215°+cos245°+ sin15°cos45°= .分析上述各式的共同特點(diǎn)，寫出能反映一般規(guī)律的等式，并對(duì)等式的正確性作出證明。本題是開放型問題，目的在于激發(fā)學(xué)生的奇思妙想和智慧火花，因此教師在課堂中切不可令學(xué)生探究的過程和結(jié)論拘泥于形式和標(biāo)準(zhǔn)。大多數(shù)學(xué)生解答本題得出相同形式的結(jié)論：sin2α+cos2（α+30°）+sinαcos（α+30°）= .但當(dāng)此之時(shí)，教師務(wù)必繼續(xù)發(fā)問：大家還能寫出其它形式嗎？學(xué)生進(jìn)行更深入思考可以整理為：

sin2（α+30°）+cos2α+sin（α-30°）cosα= ，sin2（α-15°）+cos2（α+15°）+sin（α-15°），cos（α+15）= ，sin2α+cos2β+sinαcosβ= （其中β-α=30°）等等，緊接著再讓學(xué)生逐一證明上述變式，由淺入深。開放性題目，使學(xué)生經(jīng)歷了一番猜想、歸納、證明的過程，自然加深對(duì)知識(shí)的理解和記憶，享受發(fā)現(xiàn)的快樂，激發(fā)學(xué)習(xí)的興趣，培養(yǎng)自身思維的深刻性。endprint

三、“用教材教”

數(shù)學(xué)教材是學(xué)生學(xué)習(xí)本學(xué)科知識(shí)的最主要載體。其中，定理是需要深刻理解和掌握的基礎(chǔ)知識(shí)，最具有“示范”功能。定理的推導(dǎo)過程或證明思路是最值得推廣和借鑒的經(jīng)典方法。

如等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)利用了錯(cuò)位相減法，其中還包含了分類討論的思想，這兩種方法都是高考中經(jīng)常考查的考點(diǎn)。再如二項(xiàng)式定理的推導(dǎo)過程，也是學(xué)生應(yīng)當(dāng)掌握的基本方法。以1992年的一道高考選擇題為例：

在（x2+3x+2）5展開式中x的系數(shù)為（ ）

A.160 B.240 C.360 D.800

常見思路直接展開計(jì)算或先因式分解再展開，于是問題轉(zhuǎn)化為（x+1）5（x+2）5中x項(xiàng)的系數(shù)，即需要分別得到（x+1）5與（x+2）5兩個(gè)展開式中的一次項(xiàng)系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)再求和，其計(jì)算過程依舊繁瑣。如果回歸推導(dǎo)二項(xiàng)展開式的一般方法，（x2+3x+2）5=（x2+3x+2）（x2+3x+2）（x2+3x+2）（x2+3x+2）（x2+3x+2），其展開式一次項(xiàng)必須從五個(gè)因式中任取一個(gè)一次項(xiàng)3x，有C 種取法；另四個(gè)因式取常數(shù)項(xiàng)2，有C 種取法；C 3x×C 24=240x，故選B.而2015年高考數(shù)學(xué)全國(guó)Ⅰ卷第10題，再次考察了這種經(jīng)典思路。

四、強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值、文化價(jià)值、藝術(shù)價(jià)值

（一）發(fā)揮章頭圖、引言的導(dǎo)學(xué)功能

教材中章頭圖的選材，貼近生活，往往與學(xué)生生活背景相關(guān)的素材與情景以及社會(huì)生活中學(xué)生熟悉的題材有關(guān)。如必修⑤第二章《數(shù)列》畫了樹木的分支、向日葵花盤、美麗的花瓣，第三章《不等式》中“橫看成嶺側(cè)成峰，遠(yuǎn)近高低各不同”的崇山峻嶺和成拋物線狀的熔巖噴射現(xiàn)象等，體現(xiàn)了“數(shù)學(xué)源于生活又服務(wù)于生活”的特點(diǎn)，讓學(xué)生知道生活中處處有數(shù)學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解答實(shí)際生活問題的意識(shí)及樹立學(xué)好數(shù)學(xué)的信心。同時(shí)，章頭圖本身就給人一種美的享受，體現(xiàn)學(xué)科的美學(xué)價(jià)值。

每章開始部分利用引言直述內(nèi)容或通過問題介紹學(xué)習(xí)本章的必要性和重要性，不僅僅促進(jìn)學(xué)生對(duì)本章有初步認(rèn)識(shí)和了解本章的大致內(nèi)容及重要的數(shù)學(xué)思想方法，更有助于引發(fā)學(xué)生的急切想學(xué)好本章節(jié)內(nèi)容的欲望，激發(fā)學(xué)習(xí)熱情，增加學(xué)生對(duì)這門課的興趣。

（二）重視閱讀素材，培養(yǎng)人文素質(zhì)

教材中的閱讀材料同樣是不可忽視的內(nèi)容，幫助學(xué)生樹立學(xué)好本章的信心。

1.這部分內(nèi)容中往往蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)文化和數(shù)學(xué)史內(nèi)容，涉及知識(shí)的由來與發(fā)展，數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)家的故事，數(shù)學(xué)的應(yīng)用以及思想方法等。不但可以豐富教學(xué)內(nèi)容，開闊學(xué)生視野，而且可以讓學(xué)生體會(huì)知識(shí)的發(fā)現(xiàn)、發(fā)展過程，深刻地理解重要數(shù)學(xué)概念存在至今的意義和價(jià)值。

2.通過這部分內(nèi)容讓學(xué)生感受到眾多科學(xué)家和數(shù)學(xué)家嚴(yán)謹(jǐn)踏實(shí)、不畏艱難、追求真理、敢于創(chuàng)新的科學(xué)精神，從中受到啟示和教育，樹立高尚的科學(xué)道德；同時(shí)養(yǎng)成實(shí)事求是、說理、批判、質(zhì)疑等理性思維的習(xí)慣。尤其通過介紹我國(guó)古今數(shù)學(xué)家的成就，接受傳統(tǒng)文化知識(shí)熏陶，培養(yǎng)學(xué)生的愛國(guó)主義思想、激發(fā)學(xué)生的民族自尊心、自信心。

3.這部分的內(nèi)容能夠激發(fā)學(xué)生的好奇心與求知欲，給學(xué)生提供動(dòng)手實(shí)踐操作的機(jī)會(huì)，提高學(xué)生的動(dòng)手實(shí)踐操作能力和應(yīng)用意識(shí)，使學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的樂趣，收獲成功的歷程。改變“以提高考試成績(jī)?yōu)槲ㄒ荒康牡臄?shù)學(xué)學(xué)習(xí)”，以提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

通過挖掘數(shù)學(xué)教材中隱性知識(shí)及其價(jià)值，不僅培養(yǎng)了學(xué)生的探究興趣，更重要的是學(xué)生在課堂上有了參與的空間和時(shí)間，真正體會(huì)到學(xué)習(xí)過程的快樂。

【責(zé)任編輯 馮夢(mèng)陽(yáng)】endprint