混凝土斷裂能的統計模型和標準值研究

丁力棟，丁曉唐，袁 存

(河海大學 土木與交通學院，江蘇 南京 210098)

混凝土斷裂能的統計模型和標準值研究

丁力棟，丁曉唐，袁 存

(河海大學 土木與交通學院，江蘇 南京 210098)

采用三點彎曲法測定不同工況的混凝土斷裂能，并就其中一個工況進行大樣本試驗。根據試驗和收集文獻中的數據建立斷裂能基于混凝土強度和粗骨料最大粒徑的雙因素統計模型，將該統計模型與其他統計模型對比發現，其預測能力更好。應用統計分析軟件SAS針對選用工況的試驗數據進行了4種概率分布、5種擬合優度檢驗，得到該工況斷裂能最符合的概率分布為對數正態分布，從而計算得到具有95%保證率的斷裂能標準值GFk=66.0 N/m。

混凝土；斷裂能；統計模型；概率分布；標準值

混凝土斷裂能作為裂縫穩定性的判據，是非線性斷裂力學在有限元分析計算中應用的重要參數，雖然國際材料和實驗室聯合會[1]已經推薦了實驗室內測定混凝土斷裂能的方法，但在工程現場預留出測定斷裂能的試件還是有一定難度，因此國內外學者提出了一些用于預測混凝土斷裂能的統計模型。徐道遠[2]等和高泉[3]等研究了齡期對混凝土斷裂能的影響，推導出了斷裂能與齡期有關的統計模型。Wittman[4]研究了混凝土斷裂能隨混凝土強度的變化，擬合出了斷裂能與混凝土強度之間的關系式。目前僅1990 CEB-FIP模式規范[5]列出了關于混凝土強度和骨料最大粒徑的斷裂能估算值表，但國外規范的混凝土強度等級是按照圓柱體抗壓強度劃分的，不便于國內使用。本文針對不同混凝土強度等級，不同粗骨料最大粒徑的斷裂能進行了研究，同時考慮到混凝土的離散性大，收集了文獻中國內外較新的斷裂能研究試驗數據，將本文試驗數據與文獻中的數據作為一個數據庫，建立了混凝土斷裂能基于混凝土強度和粗骨料最大粒徑的雙因素統計模型，并分析了其預測能力。

目前應用有限元軟件對結構進行分析計算越來越關注結構的損傷發展，在有限元軟件ABAQUS的混凝土塑性損傷模型CDP中，需要應用混凝土斷裂能這一參數。然而根據樣本數量較小的試驗數據得到的斷裂能平均值并不能在設計施工中保證實際結構的安全性，本文提出了斷裂能標準值的概念以提高結構的可靠度。在計算斷裂能標準值之前，需進行大樣本試驗確定斷裂能的概率分布，不同的概率分布對應不同的概率密度曲線，某一保證率下的斷裂能也各不相同。本文對混凝土斷裂能的概率分布和斷裂能標準值進行了研究。

1 混凝土斷裂能試驗

1.1 試驗設計

本文采用國際材料和實驗室聯合會推薦的帶缺口的三點彎曲梁試件測定混凝土斷裂能，試件長515 mm，寬100 mm，高100 mm，初始縫寬為3 mm，縫高比為0.3，跨高比為4。試驗采用反向加載以消除試件自重的影響，因此需對國際材料和實驗室聯合會給出的斷裂能計算公式進行修正，修正后的公式為

式中，GF為計算得到的混凝土斷裂能；W0為外力做的功，等于荷載-撓度曲線下的面積；m＝m1+2m2，m1為梁支座之間的重量，m2為與試驗機不相連，但直到試件破壞都加在試件上的加載裝置的質量；A為斷裂韌帶的面積；δ0為梁最終破壞時的變形值。

為了得到混凝土強度和粗骨料最大粒徑對混凝土斷裂能的影響規律，并提出混凝土斷裂能基于混凝土強度和粗骨料最大粒徑的雙因素統計模型，試驗分為C20、C30、C40、C50四種混凝土強度等級，9.5、16、25 mm三種粗骨料最大粒徑，共計12種工況，每種工況澆注4根三點彎曲梁試件用于測定斷裂能，同時澆注3個標準立方體試件用于測定立方體抗壓強度。試驗中水泥為中聯P·O42.5普通硅酸鹽水泥，粗骨料為碎石，細骨料為河砂，粗細程度屬于中砂，每個工況的配合比見表1。此外，為了研究混凝土強度C30，粗骨料最大粒徑dmax=9.5 mm的混凝土斷裂能標準值，另外澆注了36個三點彎曲梁試件，配合比與表1中的C30-1工況相同。所有試件澆注成型后靜置48 h拆模，拆模后放入標準養護室內養護，由于澆注試件時在試模內插入鋼片預制裂縫的效果不佳，因此本文試驗試件的預制裂縫選擇在試驗前采用切割機切割而成。

表1 混凝土配合比Tab.1 Mixture ratios of concrete

1.2 試驗結果

表2列出了用于斷裂能影響因素和統計模型研究的12個工況的立方體抗壓強度平均值，荷載-撓度曲線中的最大荷載平均值與最大撓度平均值，以及根據荷載-撓度曲線計算得到的斷裂能平均值。表3列出了用于斷裂能標準值研究的實測的36個三點彎曲梁試件的最大荷載、最大撓度和斷裂能，36個試件的斷裂能平均值GF=105.35 N/m，考慮到能量參數的離散性大，因此在表3中右上角以*號標出了與斷裂能平均值相差50%的試驗數據，在計算斷裂能平均值時未計入這部分數據。

表2 用于斷裂能影響因素和統計模型研究的試驗數據Tab.2 Test data used to research factors affecting fracture energy and statistical model

表3 用于斷裂能標準值研究的試驗數據Tab.3 Test data used to research characteristic values

2 斷裂能影響因素及統計模型

2.1 強度和骨料粒徑對斷裂能的影響

圖1 混凝土強度對斷裂能的影響Fig.1 Effect of concrete strength on fracture energy

圖2 粗骨料最大粒徑對斷裂能的影響Fig.2 Effect of maximum aggregate size on fracture energy

為了更直觀地表現出混凝土強度和粗骨料最大粒徑對混凝土斷裂能的影響，將表2中的試驗數據轉化為圖的形式。圖1為混凝土斷裂能隨混凝土強度的變化曲線，從圖中可以看出當混凝土強度不大于C50時，對于同一粗骨料最大粒徑，混凝土斷裂能隨混凝土強度的增加呈增大趨勢。這可解釋為，混凝土強度增加，砂漿與粗骨料的粘結力也隨之增加，因此混凝土斷裂所需的能量越大。圖2為混凝土斷裂能隨粗骨料最大粒徑的變化曲線，從圖中可以看出當粗骨料最大粒徑不大于25 mm時，對于同一混凝土強度，混凝土斷裂能隨粗骨料最大粒徑的增加也呈增大趨勢。這是由于骨料對裂縫的擴展存在阻礙作用，隨著骨料粒徑的增大，迫使開裂路徑發生變化，裂縫因此變得曲折，混凝土斷裂能不斷提高[6]。

2.2 斷裂能統計模型

為了更準確地建立混凝土斷裂能基于混凝土強度和粗骨料最大粒徑的雙因素統計模型，首先查閱了大量國內外較新的研究混凝土斷裂能方面的文獻，收集了65組可靠性較高的混凝土斷裂能實測數據，稱為統計數據庫1，具體數值及取值依據參見文獻[7]。在統計數據庫1中加入表2的試驗數據，稱為統計數據庫2。利用最小二乘法，分別根據統計數據庫1和統計數據庫2擬合得到的統計模型為式（2）與式（3），1990 CEB-FIP模式規范給出的統計模型為式（4）。

式中，fcm為圓柱體抗壓強度平均值。

圖3 斷裂能預測值與實測值線性擬合圖Fig.3 Linear fi t of predictive values and test values

為了衡量3個混凝土斷裂能統計模型預測能力的好壞，將統計數據庫2中混凝土抗壓強度和粗骨料最大粒徑原始數據分別代入式（2）、（3）、（4），得到基于統計數據庫1、統計數據庫2和CEB-FIP模式規范3個統計模型的斷裂能預測值，并對斷裂能預測值=X和斷裂能實測值=Y的數據點進行線性擬合，擬合結果如圖3所示。理想情況下，即統計模型足夠精確，斷裂能預測值與實測值應滿足此時擬合出的直線的斜率為1，截距為0。

由圖3可得，基于統計數據庫1、統計數據庫2和CEB-FIP模式規范3個統計模型線性擬合出的直線的斜率分別為1.08、0.99、0.79，截距分別為4.83、0.58、79.23。根據式（2）擬合的直線的斜率接近于1，截距接近于0，可以看出基于統計數據庫1建立的統計模型能較好地反映混凝土強度和粗骨料最大粒徑對斷裂能的影響。根據式（3）擬合的直線的斜率更接近于1，截距更接近于0，說明基于統計數據庫2建立的統計模型能更好地反映混凝土強度和粗骨料最大粒徑對斷裂能的影響，另一方面也說明了在統計數據庫1中新加入的本文試驗數據提高了統計模型的精度。而相對于式（2）與式（3）的預測值，CEB-FIP模式規范給出的斷裂能統計模型預測值整體偏小。

3 斷裂能概率分布及標準值

3.1 斷裂能概率分布分析

為了得到混凝土強度C30，粗骨料最大粒徑dmax=9.5 mm的混凝土斷裂能標準值，首先應用統計分析軟件SAS對36個試件的斷裂能進行了概率分布分析，為增加概率分布的可信度，本文選用了4種常見的概率分布以及針對每一種分布進行了5項擬合優度檢驗。其中S-W檢驗僅適用于正態分布，不適用于Weibull分布和Gamma分布，K-S檢驗不適用于Weibull分布，當樣本數量不大于2 000時，兩者以S-W檢驗為準，具體檢驗結果如圖4以及表4所示。

圖4為根據斷裂能頻率分布直方圖擬合得到的4條概率分布曲線，表4中的數值為某一檢驗針對該分布的實際顯著性水平P值，用于判定假設檢驗結果。一般情況下，理論的顯著性水平α=0.05，如果P＜α=0.05則拒絕原假設。由圖4和表4可知，5種檢驗均表明該工況斷裂能既服從正態分布又服從對數正態分布，但對數正態分布的P值大于正態分布的P值，對數正態分布的符合程度就比正態分布高。C-M檢驗和χ2檢驗下不拒絕Weibull分布，除了S-W檢驗之外的4種檢驗都不拒絕Gamma分布，但對數正態分布的P值均高于或略低于兩種分布的P值，對數正態分布的符合程度比Weibull分布和Gamma分布高。所以該工況斷裂能最符合對數正態分布，應根據對數正態分布來計算斷裂能標準值。

圖4 斷裂能概率分布Fig.4 Probability distribution of fracture energy

表4 斷裂能擬合優度檢驗Tab.4 Goodness-of- fi t tests of fracture energy

3.2 斷裂能標準值計算

設隨機變量X表示某一個試件實測的混凝土斷裂能，當X服從正態分布時，平均值μX=105.35 N/m，標準差σX=27.77 N/m，變異系數δX=σX/μX=0.264，即X～N(105.35，27.772)。當X服從對數正態分布時，InX服從正態分布，即InX～N(μInX，。由對數正態分布的性質可知：=In(1+)=0.067 4(N/m)2。取標準值的保證率為95%，則InX需大于u=μInX-1.645σInX=4.19 N/m，此時GFk=eu=66.0 N/m即為混凝土強度C30，粗骨料最大粒徑dmax=9.5 mm的混凝土斷裂能標準值。

4 結論

1）收集國內外文獻中較新的65組混凝土斷裂能實測數據，稱為統計數據庫1，基于統計數據庫1建立的雙因素統計模型能較好地反映混凝土強度和粗骨料最大粒徑對斷裂能的影響。在統計數據庫1中加入本文試驗數據，稱為統計數據庫2，基于統計數據庫2建立的統計模型預測混凝土斷裂能的精度更高，也從側面體現了本文試驗數據的合理性。1990 CEB-FIP模式規范給出的斷裂能統計模型偏于保守，預測值整體偏小。

2）對混凝土強度等級C30，粗骨料最大粒徑9.5 mm工況進行了大樣本試驗，用統計分析軟件SAS確定該工況下的斷裂能最符合對數正態分布，根據對數正態分布計算得到具有95%保證率的斷裂能標準值GFk=66.0 N/m。

[1] RILEM Technical Committee 50-FMC. Determination of the fracture energy of mortar and concrete by means of three-point bend tests on notched beams[J]. Materials and Structures，1985，18(4)：287-290.

[2] 徐道遠，陳里紅，李國英，等.早齡期混凝土斷裂參數KIc，GF的試驗研究[J].河海大學學報，1991，19(3)：130-133.

[3] 高 泉，趙國藩，趙順波. 齡期及粗骨料級配對高壩混凝土斷裂能GF和斷裂韌度KIc的影響規律[J]. 建筑科學，1994(3)：19-23.

[4] WITTMANN F H，ROELFSTRA P E，MIHASHI H，et al. In fl uence of age of loading，water-cement ratio and rate of loading on fracture energy of concrete[J]. Materials and Structures，1987，20(2)：103-110.

[5] CEB-FIP model code 1990，The CEB/FIP model code for concrete structures[S].

[6] 丁曉唐，袁 存，鄭 艷.混凝土劈裂抗拉強度與軸心抗拉強度關系研究[J].河北工程大學學報：自然科學版，2016，33(1)：24-26.

[7] 袁 存.混凝土斷裂能標準值及其在數值模擬中應用的研究[D].南京：河海大學，2016.

Research on statistical model and characteristic values for the fracture energy of concrete

DING Lidong，DING Xiaotang，YUAN Cun
(College of Civil and Transportation Engineering，Hohai University，Jiangsu Nanjing，210098，China)

The fracture energy of concrete for different cases is calculated by means of three-point bend tests，and large sample tests of one case are done. Based on the test data of this experiment and other articles，statistical model about fracture energy of two factors，concrete strength and maximum aggregate size，are established. Compared the statistical model with other models，the ability of prediction is better than other models，and it can prove rationality of test data indirectly. Statistical analysis system (SAS) is applied to compare four probability distribution and fi ve goodness-of- fi t tests，the most suitable probability distribution of test data is lognormal distribution. Based to lognormal distribution，the characteristic value of fracture energy is equal to 66.0 N/m，the reliability is not less than 95%.

concrete；fracture energy；statistical model；probability distribution；characteristic value

TU528.1

A

1673-9469（2017）04-0005-05

10.3969/j.issn.1673-9469.2017.04.002

2017-07-22

國家自然科學基金資助項目(51279052)

丁力棟(1993-)，男，浙江金華人，碩士，從事混凝土結構基本理論及近代計算方法方面的研究。