經歷教學：讓錯誤生成融入新知探究
——以“多項式乘以多項式”教學為例

■魏愛鳳

經歷教學：讓錯誤生成融入新知探究
——以“多項式乘以多項式”教學為例

■魏愛鳳

筆者在一次課堂展示活動中，因為把學生的一些錯誤生成有機融入新知探究，讓學生經歷了較好的糾錯、究錯、評錯的過程，受到觀課教師的好評。下面是該課的一些教學片段，并附幾點教學思考，供大家研討。

一、“多項式乘多項式”的教學片段

1.教學片段1。

師：上一節課我們學習了“單項式乘多項式”，大家想想我們接下來會學習什么內容？

生1：當然是“多項式乘多項式”了。

師：對的！（師板書課題：多項式乘多項式。）你怎么知道的？

生1：我預習過，書上是這樣的內容。

師：你能說說多項式乘多項式該怎么運算嗎？

生1：多項式與多項式相乘，先用一個多項式里的每一項乘另一個多項式里的每一項，再把所得的積相加。

師：講得很好，將課本上的法則背出來了，我們來看看，他對這個法則的理解究竟到達了什么程度？對于（a+b）（c+d）=ac+ad+bc+bd，你先談談a為什么乘到d，a和c之間有沒有關系？b為什么就乘到c，b和d之間有沒有關系?

生1：不是說一個多項式里每一項乘另一個多項式里的每一項嗎？

師：大家覺得他的理解對不對？

生2：不對。

師：為什么？

生2：他對“每一項”的理解不正確。

師：那應該怎么理解？

生2：（上臺板演）如下圖的示意圖，a乘到c，a乘到d，b乘到c，b乘到d。這才是符合要求的。

師：大家同意他這個做法嗎？

眾生：同意！

師：我有個問題不明白，你怎么就認為這樣做是對的呢？根據什么理由來做的？誰能幫我更進一步把這個問題解決了？

學生陷入思考（看來有點困難）。

師：我提供個思路，能不能往單項式乘多項式的思路上去想呢？

生3：我們可以將a+b看作為一個整體，此時它就可以作為一個單項式來理解，它就乘到c和d。

師：這位同學想法很大膽呀，這樣理解行不行？

生4：對的。

師：大家想想他這種想法有沒有依據，是我們數學中的一種什么思想？

生4：整體思想。

師：對的，還有沒有其他的思想方法？

生5：轉化思想。

師：體現在哪里？

生：將其中一個多項式看作一個單項式，題目就轉化成了單項式乘多項式了。

師：這樣做下來，是幾個單項式相加？

生6：四項。

師：大家思考一下，如果前一個多項式里是兩項，后一個里面是三項，那算下來又是幾項？

生7：六項。

師：能說說你是怎么知道是六項的嗎？

生7：將前面的多項式作為單項式來看，乘到后面就有了三個單項式乘多項式，此時單項式里又有兩項，然后再分別相乘，不就是六個項了嗎？

師：這位同學描述得很準確，講得也非常好。如果是兩個三項的多項式相乘，那最終又是多少項呢？

生7：根據剛才的推算方法，應該是三乘三，一共九項吧。

師：很聰明，如果前面多項式是m項，后面的多項式是n項，那么乘下來是多少項？

生7：m·n項。

師：大家認為他說的這個結論怎么樣？

眾生：對！

師：通過我們剛才的探究，我們通過多項式乘多項式再次學習了整體思想和化歸思想。原來我們的數學思想就蘊含在我們平時的學習中，而不是考試的時候才會有的喲。誰來出幾個計算題來鞏固所學知識？

生8：計算：(1)(3x+1)(x+2)；(2)(x－8y)(x－y)；(3)(x+y)（x2-xy+y2）。

師：大家來觀察分析下，他所出的這3道題是不是符合我們今天所學的“多項式乘多項式”？

眾生：符合！

（接下來由學生獨立運算，之后再進行展示講評。）

2.教學片段2。

展示投影，一個學生計算如下：

(3x+2y)(2x+3y)-(x-3y)(3x+4y)

=6x2+3x·3y+2x·2y+6y2-3x2+4y·x-3y·3x-12y2

=6x2+9xy+4xy+6y2-3x2+4xy-9yx-12y2

=3x2+8xy-6y2

師：大家來看看這個同學的解題過程對嗎？在這個解題過程中有哪些值得我們學習的，還有哪些需要我們注意的？

生9：不對！

師：哪里不對？

生9：他沒有確定符號！

師：我認為他確定了符號呀，前面的兩個多項式相乘確定了符號，后面的兩個多項式相乘不也是確定了符號嗎？

生10：我也認為他確定了符號，但是感覺又沒有確定對，這種感覺是理解了但是又好像沒有理解對。

師：這位同學在學習上出現了困惑，你能說說你感覺哪里的符號沒有確定嗎？

生10：兩個積之間的減號好像沒有參與運算。

師：你的直覺很好，哪位同學能幫忙一下？

生11：我覺得這道題可分為兩個多項式相乘，然后將它們的積作差。

師：分析得很有道理，他將這個計算分為兩步來處理，受他的啟發，我們現在要怎樣來處理這個問題？

生12：將后面的多項式作為整體來看。

師：這位同學說了用整體思想來幫忙，具體用什么形式來體現呢？

生12：用中括號呀！

師：你來給大家講講，怎么用中括號來幫忙？

生12：(3x+2y)(2x+3y)-［(x-3y)(3x+4y)］。

師：怎么樣，大家會做了嗎？但是我在下面還發現一個同學的第一步是這樣做的：

解：原式=(3x+2y)(2x+3y)-(x-3y)-(3x+4y)

師：大家看一看這個做法怎么樣？

生13：他去掉中括號是不對的，后面兩個多項式是相乘的，而不是相加減，所以不可以這樣做。應該將中括號內先做乘法運算，然后再去括號。

師：分析得很到位，現在大家明白一開始解題中的錯誤了嗎？剛才不明白的同學現在知道自己的問題出在哪里了吧。最后，我們來看一下另一個同學的正確計算吧！

展示生13的解法：

(3x+2y)(2x+3y)-(x-3y)(3x+4y)

=6x2+3x·3y+2y·2x+6y2-（3x2+4y·x-3y·3x-12y2）

=6x2+9xy+4xy+6y2-3x2-4xy+9xy+12y2

=3x2+18xy+18y2

師：這位同學做得很詳細、很規范。

二、關于“經歷教學”的教學思考

1.開放需要放開，促進學生經歷錯誤。

近年來開放式教學得到不少同行的關注和推介，相對于封閉教學而言，開放式教學需要教師轉變觀念，在課堂上敢于放開問題、放手讓學生探索、信任學生有話可說。進一步來說，教師不能害怕學生說出來的一些錯誤或一些不規范的語言，可以通過更加細致周到的備課來預設各種可能的情況，從而大膽放開問題，讓學生參與、表達他們的思考與發現，再根據學生的回答相機引導。

上面的課例片段1中，學生對“多項式乘多項式”法則雖然有所了解，但是還不深刻，這時就因勢利導，引導其他學生參與辨析其表達過程中的不規范，讓一個不嚴謹的表達通過師生的對話趨于完善和規范；在后來的例題環節，我沒有給學生出例題，而讓學生自主編題，從學生提供的一組例題來看，緊扣了課時教學和訓練目標，又利用了學生的錯誤進行化錯教學，實現了較好的經歷錯誤的教學過程。

2.對話促進生成，引導學生明辨錯誤。

開放式教學對教師的教學基本功，特別是課堂駕馭能力提出了較高的要求，比如在問題開放之后，學生的解答可能豐富多樣，如果教師理解不到位，或者對有些學生的精彩解答視而不見，往往會錯失很多生成性資源。比如一些有價值的“錯誤資源”，如果簡單地評判為錯誤，輕輕滑過，則是教學機智不夠；或者是教師課前對學生可能的錯誤、不規范的預設和研判不夠充分。我們常常見到一些專家教師在課堂上不但善于捕捉學生的錯誤，引導學生一起參與明辨錯誤，而且在學生解答都很順暢的時候，還善于“裝傻”，稚化自己的思維，假裝追問學生一些易錯的問題，讓學生參與辨明。想來，稚化思維也是促進對話生成的一種教學技藝。

經歷教學是一個很大的話題，我們學校各個學科都在深入研究，特別是學科教師結合課例開展了富有成效的教學探索，筆者也是結合一次教學展示課中的糾錯環節有感而發，個性化成分較多，有些認識還很膚淺，期待同行的批評指正！

（作者為江蘇省海安縣海陵中學教師）

［1］丁義國.“經歷教學”：讓學生經歷知識的發生［J］.初中生世界（初中教學研究），2015(2)：67-69.

［2］柳偉.讓學生經歷數學學習的過程［J］.現代教育科學：教學研究，2012(2)：177-177.

［3］顧繼玲.讓學生經歷“數學化”的過程［J］.中學數學教學參考·中旬刊，2011(7)：2-4.

［4］劉祖洋.讓學生經歷數學化的過程[J］.數學教育學報，1997(3).

［5］于川.讓學生經歷“數學化”的數學教學策略［J］.數學通報，2011，50(5)：30-32.