矩陣特征根特征向量的求解方法及應用的研究

時文平

摘要：本文主要介紹了求解特征根與特征向量的兩種相關方法：列行互逆變換法和QR法。通過對n階矩陣的特征根與特征向量的進一步研究，探討出了矩陣特征根與特征向量在眾多領域都有廣泛的應用。

關鍵詞：矩陣；特征根；特征向量；特征多項式

一、 矩陣特征根與特征向量的求解方法

1. 列行互逆變換法

列行互逆變換的三種變換方式：

（1） 互相交換兩列的位置cicj，同時互相交換j，i兩行（rirj）；

（2） 第i列乘以不是零的數k，同時第i行乘以1k；

（3） 第i列的k倍加到第j列（cj+kci），同時第j行（-k）倍加到第i行（ri-krj）

列行互逆法求特征根特征向量的基本方法是：把矩陣A和單位矩陣E同時做初等列變換，再對A做相應的行變換，通過一系列這樣成對的變換方法，當矩陣A變換為對角矩陣時，對角線上的元素就是矩陣A的特征根，而單位矩陣E變換后的矩陣的列向量就是矩陣A的特征向量。

2. QR法求特征根與特征向量

QR算法也是一種迭代算法，這種方法的基礎是構造矩陣序列{Ak}，并且對矩陣序列進行QR分解。由代數學的相關知識可以得到：

（1） 如果矩陣A是非奇異矩陣，那么矩陣A就可以分解成正交矩陣Q與上三角形矩陣R相乘，即A=QR，而且當矩陣R的對角線元素符號已經固定時，分解式也是固定的。

（2） 如果矩陣A為奇異的矩陣，那么0是A的特征根，隨便取一個數P，且P不是矩陣A的特征根，那么A-PI就是非奇異的方陣，只要我們求出A-PI的特征根，就會求出A的特征根，所以通常我們假設矩陣A為非奇異的方陣，這種假設不妨礙它討論的一般性。

設矩陣A是非奇異的方陣，令A1=A，對A1進行QR分解，就是把A1分解成為正交矩陣Q1與上三角形矩陣R1的乘積A1=Q1R1，令矩陣A2=R1Q1=QT1A1Q1，繼續再對A2進行QR分解A2=Q2R2，并且定義A3=R2Q2=QT2A2Q2，一般來說，遞推公式為：A1=A=Q1R1，Ak-1=RkQk=QTkAkQk，k=1，2，…

QR算法就是通過利用矩陣的QR分解，依據上述的遞推公式來構造序列{Ak}，只要矩陣A是非奇異的方陣，那么由QR算法就可以完全得到{Ak}。

二、 矩陣特征根與特征向量的應用

1. 特征根與特征向量在n階矩陣的高次冪的求解中的應用

當n階矩陣A可以對角化時，即矩陣A可與對角陣相似時，可以應用矩陣的特征根與特征向量計算它的高次冪Ak（k∈N），而且相對來說比較簡單，當n階矩陣A符合以下四個條件之一時，那么矩陣A就可以對角化，即A=PDP-1

（1） n階矩陣A有n個線性無關的特征向量。

（2） n階矩陣A有n個互不相等的特征根。

（3） n階矩陣A的每一個特征根的幾何重數都和它的代數重數相等。

A為對稱矩陣，對于A=PDP-1，P=（ξ1，ξ2，……ξn），D=diag（λ1，λ2.....λn）

其中λ1，λ2，……λn是矩陣A的n個互不相等的特征根，ξi是矩陣A中特征根λi的特征向量（i=1，2，……，n）。

2. 生產系統的設計問題

矩陣的特征根特征向量在二次曲面問題上的應用十分的廣泛，比如說，我們可以用長期攝動方法來解決天體力學的問題，其中求近日點或軌道面升交點的運動平均角速度，解長期方程也可以歸納為矩陣特征根的問題，后來我們不斷地發現很多領域對矩陣特征根和特征向量的需要，特別是社會科學領域對矩陣的特征根和特征向量的需要，它不斷地為矩陣特征根特征向量問題的研究注入新的動力，下面我們舉出一個在科學管理應用中的例子：生產系統的設計問題。

要設計一個系統，這個系統是由n個完成工作的單位元組成的，并且其中的每個單元都有m種不同的操作，我們現在設第j個單元進行的第i個操作數量記為mji，操作所用的時間記為tji，單位時間所需費用為cji，由此我們可以得到單位操作所用費用為：eji=cjitjimji，此時我們稱矩陣E=ejim×n是系統的效率矩陣。我們另設第j個單元的費用為Pj（j=1，2，……m），且系統進行第i個操作的數量為vi（i=1，2，……，n），則系統完成工作所需要的費用為P=Ev，我們稱P和v分別是這個系統的費用向量與容量向量，現在我們的問題主要在于怎樣確定任務的數量比例，也就是說怎樣確定v的各個分量，從而使系統所需要的費用最大或者最小，因此我們考慮v的R商：R（v）=（Ev）T（Ev）vTv=vT（ETE）vvTv

所以我們可以知道它的對稱矩陣ETE的特征根就是它的最大值或最小值，而特征根λ所對應的特征向量是v。

三、 結論

通過掌握矩陣特征根以及特征向量的兩種求解方法，矩陣的特征根和特征向量理論的應用是十分廣泛的，可以應用到代數學求解復雜數學問題的領域中，也可以應用到經濟等生活問題中，因此我們要把矩陣的相關知識運用到數學的各個方面。

參考文獻：

[1]王萼芳.高等代數教程（上）[M].清華大學出版社，2009.

[2]楊延峻.矩陣特征值與特征向量的同步求解法[J].甘肅聯合大學學報（自然科學版），2006，3：2-3.