數學文化讓課堂具有溫度

[摘 要] 數學課程標準中明確提出，使學生在義務教育的基礎上，逐步認識數學的應用價值和文化價值。處于一線數學教師，肩負著人文價值和應用價值的整合，即讓課堂教學具有溫度。教師在實際教學中注重研究知識數學思想方法和數學發展歷史，使學生掌握具有溫度的知識，這樣才能讓數學課堂具有溫度。

[關 鍵 詞] 極坐標系；數學歷史；人文價值；溫度

[中圖分類號] G712 [文獻標志碼] A [文章編號] 2096-0603（2017）28-0188-02

江蘇省五年制高等職業教育課程標準中明確提出，通過數學課程學習，使學生逐步認識數學的應用價值和文化價值。雖然課程標準要求重視數學文化價值，但教師在教學中還是注重知識技巧的傳授，忽視課程標準中提出的人文價值和應用價值的整合，這是課堂教學缺乏溫度表現，如何改變現狀讓數學課堂具有溫度，筆者以極坐標系為例談談做法。

一、教學內容分析

本堂課內容是江蘇省五年制高職《數學5》中第十九章圓錐曲線與極坐標系的第四節極坐標系內容。學生在《數學2》學習直線、圓和前三節學習圓錐曲線時，已對解析幾何坐標法有一定理解，特別是在研究拋物線的標準方程時，進一步體會到因建立坐標系不同，而使方程不同，最終研究問題過程的繁簡程度也變得不同。由于現實生活中我們遇到問題的復雜性不同，有時在直角坐標系下建立幾何圖形的方程并不方便，需要建立不同坐標系，以便用代數方法研究幾何圖形，于是產生了極坐標系等其他坐標系。

本堂課是極坐標系學習的第一課，學生需掌握極坐標系的基本概念，并會進行極坐標與直角坐標互化。本堂課是了解曲線的多種表現形式的基礎，因此本堂課的學習在極坐標系中有重要作用。

極坐標是用距離與角度來刻畫平面某一點的位置的坐標形式，這是一種新的形式。它與平面直角坐標系既有區別又有聯系，因此要通過本堂課的教學，使學生體會極坐標系與直角坐標系的異同，學會點的極坐標與直角坐標的互化。

一方面，研究極坐標系與直角坐標系之間內在聯系，容易找到新知識的生長點，溫故知新、促進理解。另一方面，兩者又有不同，在直角坐標系中，點與直角坐標是一對一的關系；在極坐標系中，由于終邊相同的角有無數多個，即點的極角不唯一，因此點與極坐標是一對多的關系。多值性是極坐標與直角坐標的重要區別。在教學中，除了讓學生了解點的極坐標的多值性外，還要注意讓學生思考如何限定極徑與極角的范圍，可以使平面內的點（除極點）和極坐標形成一對一的關系。因此，本課教學重點是極坐標系下點與極坐標的對應關系。

對平面內的一個點，既可建立直角坐標來刻畫它，也可建立極坐標系刻畫它。雖然在不同坐標系下，這些數（坐標）所體現的幾何含義不同，但它們之間又有內在聯系，因此如何建立這種聯系來實現兩種坐標的互化，成為下一節課的重點。

基于以上分析，本節課的重點是：經歷概念的探索過程，感知概念的形成是源于生活、生產需要；極坐標系的概念、極坐標系下點與極坐標對應關系；點的極坐標與直角坐標的互化。

極坐標這一概念的教學不僅要讓學生了解極坐標的來龍去脈，理解極坐標的內涵和外延，還要讓學生弄清極坐標與直角坐標之間的區別與聯系，在頭腦中形成極坐標概念的知識網絡，以達到掌握并靈活運用的目標。

二、讓課堂具有溫度的實踐

（一）歷史讓課堂知識具有溫度

教師對所教授知識理解深度是課堂教學的關鍵，如何能深入理解知識的首要方法是了解知識的發展史，極坐標是由牛頓和雅各布·伯努利分別發明的。牛頓關于坐標系的研究主要記載在《流數法與無窮級數》一書中，此書中最重要的就是各種坐標系的采用，牛頓在《流數法與無窮級數》中引入了9種不同的坐標系，而其中就有我們常見的極坐標系。極坐標是牛頓在求所謂的“機械曲線”（即超越曲線）的切線過程中引進的。同時，極坐標后又為雅各布·伯努利獨立引進，1691年雅各布·伯努利對十七世紀通常所用的坐標系作出改變，在《教師學報》上發表了一篇基本上是關于極坐標的文章，所以我們也通常認為他是極坐標的發明者之一，他引入了極坐標的概念。但是由于伯努力的極坐標是通過特殊曲線的應用而為人所知的，并沒有一個完整的概念，因此影響不大。1729年，德國數學家赫爾曼明確提出極坐標的概念，1784年歐拉給出極坐標的現代形式，歐拉同時還引進曲線的參數表示。

（二）文化讓課堂教學具有溫度

數學不僅只是一系列數字符號的堆砌，還包含人文精神內涵，是人類創造活動的結果，是人類思維產物，故數學文化是人類歷史上一種高層次的文化。數學文化是人類文化的重要組成部分，其根本特征是一種探索精神。教師在對所教授知識的歷史深入研究后，站在數學文化的高度設計教學（教學設計簡述）。

復習回顧角的概念推廣、終邊相同角的公式，回顧直角坐標相關歷史知識（略），重點是概念引入簡述：

1.創設情景，直觀感知

飛蛾一看到自己的天敵蜻蜓、蝙蝠之類的時候會馬上逃跑，飛蛾逃跑路線是什么？（展示教師PPT，科學家研究發現，是一種優美曲線，這曲線在自然界中有很多。展示圖片，這種曲線叫阿基米德螺旋線，飛蛾遇見天敵會以阿基米德螺旋線的方式飛行，敵人被它繞得頭都暈了，自然不容易捉住它，據統計成功逃脫率達70%。）

2.介紹曲線，提出問題

阿基米德螺旋線是在平面內，當一動點P沿動射線OP以等速率運動的同時，該射線又以等角速度繞點O旋轉，動點P的軌跡稱為阿基米德螺線。（動畫演示）

數學家們看到這種螺旋線在自然界中大量存在，就想研究它為我們所用，但發現放入直角坐標系用一對有序實數對（x，y）雖可以確定點P位置，但建立f（x，y）=0方程比較繁瑣，不方便研究。數學家們想另辟蹊徑研究曲線，即如何另辟確定平面上點P位置的方法？

3.動手操作，感受概念

教師創建實際背景：海上有一艘漁船遇險，指揮塔向搜救船發出指令，在東經112°北緯34°，也就是“你”所在位置東偏北方向60海里處有一艘漁船遇險，快速支援。讓學生在事先發的紙上畫出遇險船位置，教師觀察作圖，作出點評。

4.引導思考，同化概念

教師設置一系列問題：通過上述作圖大家有什么看法？通過作圖你認為平面內確定一個點的位置需要幾個量？確定角度的要素有哪些？距離不同人標出的位置不一樣，有的離旋轉點遠，反之有的近，我們如何解決此問題？目的是讓學生能自己總結出：在平面內確定一個點位置像直角坐標系一樣，只需兩個量角度、距離，即構成極坐標系。能總結出建立極坐標系需要的要素，教師讓學生閱讀課本。

意圖：在經歷了畫圖、感知與討論后，結合具體感知的事實材料和學生通過由此及彼、由表及里的反復提煉、推敲、類比直角坐標系，抽象概括出極坐標系概念的本質，培養了學生抽象概括、類比遷移、數學表述的能力。

5.介紹歷史，感悟文化（教師介紹極坐標系發展歷史）

6.變式演練，深化概念（略）

三、教學實踐思考感悟

筆者定位的本堂課的教學中心是：（1）極坐標系引入必要性；（2）極坐標系的基本思想；（3）極坐標系建立要素；（4）點在極坐標系的坐標規定；（5）極坐標平面內點極坐標與點位置的對應關系；（6）極坐標與直角坐標的異同；（7）極坐標與直角坐標互化。由于高職校第五冊一周一次課，對本課我教授9班，實際上課4次，每次課的感悟不同。經過前面三次教學實踐，我不停調整，感到最后一次課是比較成功的，我感受到站在數學文化的高度設計并實踐的極坐標系課堂具有了溫度。首先，貫徹課標總體目標，讓數學課具有文化性，淡化的是功利主義的目標，這就是通過課堂教學來逐步影響學生的思維方式和行為，以達到提高其數學素養和文化素質的目的。其次，在上面的教學案例中，教師以極坐標產生的必要性、極坐標系建立的要素及其意義等方面充分展示知識的發展過程，使學生對極坐標系建立不再感到冰冷，而是確確實實感受到知識產生的“溫度”，使學生對極坐標系的發生過程脈絡清晰、印象深刻，深化了教學效果。最后，對坐標系歷史研究，教師掌握了有血有肉有溫度的知識，教師站在文化的高度設計具有溫度的教學過程，讓知識走下“神臺”、進入學生生活，拉近學生與知識的距離，讓學生感受到有溫度的知識，提高了學生學習數學的興趣，同時增進了學生與教師的親近感。這樣充滿溫暖的課堂，一方面揭示了極坐標系產生背景和建立原理，讓學生深刻體會人類社會發展與數學發展的相互作用，另一方面又讓學生充分感受數學的系統性、嚴密性和應用的廣泛性、知識的人文性，使學生得以全方位、多角度、多層面地認識和理解數學，從而形成正確的數學觀。這樣，課堂教學既有歷史文化的厚重，也有現代文明的時代氣息。

基于數學文化的教學不僅讓數學課堂具有溫度，還能培育學生的核心價值觀。社會主義核心價值觀是當前中國文化的主流要求，各級部門要求將其貫穿到社會的各個領域，當然應該在教育的整個過程中有所體現。用數學史中的代表性人物及其思想不斷熏陶學生，這些符合核心價值觀的要求。

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