淺談矩陣的初等變換及其MATLAB實現①

[摘 要] 科學和工程中的大部分問題最終將納入矩陣問題，而矩陣的初等變換是矩陣理論當中解決問題的一種重要手段。

[關 鍵 詞] 矩陣；初等變換；MATLAB；線性代數

[中圖分類號] G642 [文獻標志碼] A [文章編號] 2096-0603（2017）19-0032-01

一、前言

MATLAB是一個功能非常強大的數學軟件，是一種以矩陣運算為基礎的交互式程序語言。它輸入簡潔、運算高效、智能化程度高、人機交互性能好，是目前國內外大學教學和科研中最常用的數學軟件之一。

線性代數課程是高等院校的一門重要的基礎理論課程，該課程中的大部分問題都可歸結成矩陣問題，而矩陣的初等變換是矩陣理論當中解決問題的一種重要方法。

定義：下列變換稱為矩陣的初等行變換：（1）對調矩陣的某兩行；（2）以非零常數k乘某行中的所有元素；（3）以數k乘某行的每個元素加到另一行的對應元素上去。

把定義中的“行”換成“列”，即得矩陣的初等列變換的定義。矩陣的初等行變換和初等列變換統稱為矩陣的初等變換。

在許多實際的工程問題中，不僅要求理論正確，而且在計算上要求具有可實現性。記矩陣A的第i行為A（i，：），A的第i行第j列的元素為A（i，j）。則上述三種變換用MATLAB語言具體表述如下：（1）A（[i，j]，：）= A（[j， i]，：）；（2）A（i，：）=k*A（i，：）；（3）A（i，：）=A（i，：）+k*A（j，：）。

二、矩陣的初等變換的應用

矩陣的初等變換是矩陣的一種最基本的運算，它貫穿線性代數課程的始終。下面我們詳細介紹它在線性代數課程中的應用。

（一）應用矩陣的初等變換將非零矩陣化為行（最簡）階梯形矩陣

利用初等變換將一個非零矩陣化為行（最簡）階梯形矩陣是非常重要的運算，不難證明，任一非零矩陣總可通過有限次初等行變換化為行階梯形矩陣，進而化為行最簡階梯形矩陣。

MATLAB把行最簡階梯形矩陣的計算過程集成為一個子程序，程序名為“rref”。例如，求矩陣A的行最簡階梯形矩陣，可直接在MATLAB中調用命令rref（A）即可。

（二）應用矩陣的初等變換求可逆矩陣的逆

設A為n階方陣，E為n階單位矩陣，構造增廣矩陣B=[A，E]，并對增廣矩陣B進行初等行變換，將其化為行最簡階梯形矩陣C，此時

1.若A所在的部分變為單位矩陣E，則單位矩陣E所在部分變為A的逆D；

2.若A所在的部分未變為單位矩陣E，則說明矩陣A不可逆。

上述過程的MATLAB實現命令為：

>>E=eye（n）；B=[A，E]；C=rref（B）；D=C（：，n+1：2*n）

在實際的工程問題中，使用命令“rref”有時會難以適應各種特殊情況，因此在MATLAB中也提供了專門的求逆函數命令“inv”，該命令既可用于求數值矩陣的逆，也可用于求符號矩陣的逆。

（三）應用矩陣的初等變換求矩陣的秩

矩陣的初等變換作為一種運算，其深刻的意義在于它不改變矩陣的秩。矩陣的秩等于它對應的（最簡）階梯形矩陣的非零行（列）的行（列）數。

上述過程的MATLAB實現命令為：

>>[B，U]=rref（A）；r=length（U）.

MATLAB也提供了直接求秩的函數r=rank（A），其編程的思想是矩陣的行階梯變換，而且該函數對A是否為方陣沒有要求。

（四）應用矩陣的初等變換求解線性方程組

線性方程組Ax=b與其增廣矩陣B=[A，b]是一一對應的，因此對線性方程組的求解可以轉換為對其增廣矩陣的相關研究，具體地應用初等變換求解線性方程組的步驟為：

1.寫出線性方程組的增廣矩陣，應用矩陣的初等行變換將增廣矩陣化為行階梯形矩陣，此時如果系數矩陣A的秩rA小于增廣矩陣B的秩rB，則可以判斷方程組無解；如果rA=rB，則方程組有解。

2.若線性方程組有解，繼續將行階梯形矩陣化為行最簡階梯形矩陣C。

3.寫出矩陣C所對應的同解的線性方程組，求出其通解。

上述過程中的步驟1，2在MATLAB中的實現命令為：

>>B=[A，b]；[rA，rB]=[rank（A），rank（B）]；C=rref（B）.

（五）應用矩陣的初等變換求向量組的秩及其極大無關組

初等變換不改變矩陣的秩。矩陣的秩等于它的行（列）向量組的秩，而且矩陣的初等變換不改變列向量組的線性關系。因此為了求向量組a1，a2，…，an的秩及其極大無關組，可以將a1，a2，…，an作為列向量組成矩陣A，即A=[a1，a2，…，an]，再對矩陣A進行初等行變換，將其化為行最簡階梯形矩陣B。此時B中非零行的行數即為向量組的秩r，而且B中列向量之間的線性關系也是一目了然的，從而可得B的列向量組的一個極大線性無關組。又因矩陣的初等變換不改變列向量組的線性關系，從而得到A的一個極大線性無關組C。

注意，向量組的極大線性無關組不一定唯一，但是其秩是唯一的。

上述過程的MATLAB實現過程為：

>>A=[a1，a2，…，an]；[B，U]=rref（A）；r=length（U）；C=A（：，U）.

參考文獻：

陳懷琛，高淑萍，楊威.工程線性代數[M].北京：電子工業出版社，2007.