例談數學解題的思維過程

[摘 要] 數學始于問題，終于問題。解題中的思維過程包括三個階段：思維定向、思維展開、思維控制。僅舉一例與大家交流。

[關 鍵 詞] 思維定向；思維展開；思維控制

[中圖分類號] G712 [文獻標志碼] A [文章編號] 2096-0603（2017）19-0078-01

數學方法論認為，數學對于一個人素質的養成，并不僅僅是掌握一定的數學知識，而是通過數學知識的學習，培養能力，鍛煉思維，進而通過思維的訓練，提高解決問題的能力和創新能力，成為具有數學素養的一員，為本職工作提供幫助。

在現今的高職數學教學中，由于數學是一門基礎課不是專業課，加之學生數學基礎差，底子薄，所以許多數學教師就把數學知識、結論直接灌輸給學生，要求他們記憶模仿做大量的練習，以期通過“題海戰術”來提高學生解決問題的能力，結果往往事與愿違。筆者認為，要想從根本上提高學生的思維能力和解決問題的能力，除了要讓學生掌握概念、定理等基礎知識外，還必須讓學生學會如何利用這些概念、定理去解決問題，以及在解決問題過程中出現障礙時，如何控制和調節自己的思維，使問題得到有效解決。因此，剖析解題的思維過程，使思維在解題過程中得以有效展開，對于培養學生的思維能力，進而提高解決問題的能力是非常必要的。

一、數學問題與數學思維

美國數學家哈爾莫斯（P.R.Halmos）指出：數學定理、證明、概念、定義、理論、公式、方法中的任何一個都不是數學的心臟，只有問題是數學的心臟，解決問題是數學活動的基本形式。數學家波利亞的“怎樣解題表”給出了解題的四個步驟：弄清問題、擬定計劃、實現計劃、回顧。因此，不斷地提出問題、分析和解決問題成為數學學習和研究的根本。

許多專家認為，所謂數學問題主要是指對于解題者具有一定的接受性、障礙性和探究性的一些情形或問題。而解決數學問題可以看作是數學思維的一個基本過程。由于解題重視的是1b766623ff1ce29c1c97c6c6fb3854d5使用信息和事實的能力，是解題的思維過程和思維策略，是構造算法或模型的設計技巧，是把非常規題變換為常規題的轉化能力，因此數學思維貫穿于解題過程的始終。

二、解題過程的三個階段

數學思維理論指出，數學解題思維過程是主體以解決數學問題為目的，運用有關思維方式或方法達到認識數學問題的內在的信息加工活動。

（一）思維定向

所謂思維定向是指解題開始時的思維指向，是解題的起點，要求全面正確地理解題意。解題者往往根據以往的知識和經驗，采取適當的策略，對問題中的各種量進行分離和重組，并利用元認知的知識對所采取的策略進行評價和修改，從而找出各種量之間實質性的聯系。

（二）思維展開

所謂思維展開是指在解題過程中，在思維定向的基礎上，選擇思維方式，并進行組織和實施的過程。它的載體是數學語言和數學知識，借助外部操作逐步變換數學問題的狀態，從而獲得數學對象的本質屬性和內在聯系。

（三）思維控制

由于思維展開的相對隨意性和問題答案的確定性有一定的矛盾，加上問題的復雜性或主體思維的缺陷等主客觀因素，思維展開的過程可能中斷或偏離正確的方向。因此，及時對思維定向、思維展開進行控制和調節是非常必要的。

縱觀思維過程的三個階段可以看出：思維定向是基礎，思維展開是在定向的基礎上不斷摸索和嘗試的過程，而思維控制則對整個解題思維過程起調控作用，為順利解題提供保障。具體這三個方面是怎樣相互作用的呢？

三、舉例說明

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思維展開：在上圖的坐標系里設P1（a，b）、P2（c，d）是平面上不平行于坐標軸的兩點，a≠c，b≠d。P（x，y）是直線上任一點，設■=m，m≠1由定比分點坐標公式，可得點坐標為x=■，y=■，則OP=■

根據直線的兩點式方程，可得直線P1 P2的方程為：（b-d）x-（a-c）y+ad-bc=0

再由點到直線的距離公式可以計算出原點到直線的距離為h=■

思維控制：運用直線外一點到直線的距離不大于該點和直線上任一點連線的距離，此不等式得證。

此題的證明過程反映出，思維過程的三個階段是密不可分的一個整體。通過思維定向，主體激活了原有認知結構中與此問題有關的各種信息，如比較法、綜合法等不等式的證明方法，思維展開時發現用常規的方法不能解決問題。通過思維控制對問題重新定向，發現結論與距離公式、定比分點坐標公式有密切聯系，由此構造出相應的點的坐標概念，運用常識使不等式得證。最后將答案有條理地整理出來，反思一下有沒有將此題推廣的可能，使思維向縱深方向發展。

參考文獻：

[1]任章輝.數學思維理論[M].南寧：廣西教育出版社，2001.

[2]鄭毓信.數學方法論[M].南寧：廣西教育出版社，1996.