簡化的再生核方法解決非線性兩點邊值問題

[摘 要] 主要研究對象為帶有邊值問題的非線性微分方程。在Adomian分解法的基礎上，引入同倫漸進法將非線性問題轉化為線性問題。引入再生核方法避免了施密特正交化過程，并且不考慮邊值條件，再生核變得很簡單，從而解決線性微分方程。

[關 鍵 詞] 微分方程；非線性；再生核；兩點邊值

[中圖分類號] G642 [文獻標志碼] A [文章編號] 2096-0603（2017）10-0184-02

非線性微分方程得到越來越多的關注，自然界中的很多現(xiàn)象可以被描述為帶有邊值問題的非線性微分方程。隨著科學技術的發(fā)展，復雜邊值使問題變得更實際并提高了相合性。一般而言，非線性邊值問題的理論解是未知的，因此，研究有效的算法得到近似解尤為重要。學者們提出了不同的算法得到數(shù)值結果，常用的算法有差分法，變分法等。

再生核算法基于泛函分析中的Soblev空間理論的支撐。目前，對兩點邊值問題的求解相對比較成熟，本文在此基礎上進一步研究非線性兩點邊值問題，考慮如下非線性微分方程：

v″+a（x）v′+N（v）=h（x），x∈[a，b]v（a）=α1，v（b）=α2（1）

其中a1（x），h（x）為連續(xù)函數(shù)，N是非線性項。

同輪攝動可將此非線性方程轉化為線性方程。這里我們選擇簡化的再生核方法。與傳統(tǒng)的再生核方法相比，我們通過泛函及廣義函數(shù)理論，給出了再生核，我們給出了再生核的統(tǒng)一表達式，降低了再生核的復雜性。然后構造再生核空間的一個閉子空間Sn，使其滿足邊值條件。該方法也避免了正交化。該方法符合一致收斂性，而且更加簡單有效。

一、同倫漸進法

對于方程（1），構造

G（u，q）=（1-q）（L（u）-h）+q（L（u）-h（t）+N（u））=0. （2）

其中L（u）=u″+a（x）+u′，整理可得

L（u）-h（t）+qN（v）=0 （3）

顯然

G（u，0）=L（u）-h（x）=0

G（u，1）=L（u）-h（x）+N（u）=0 （4）

現(xiàn)假設

u（x，q）=u0（x）+u1（x）q+…+uk（x）qk+… （5）

是（3）的解，則當參數(shù)q由0漸進到1時，得到方程（1）的解，即

v（x）u■=（x，q）=u0（x）+u1（x）+…+uk（x）…

只需求出u0，u1，u2，…，uk，…再把（5）帶入（2）可得線性方程組■u（x，q）

L（u0）=h（t），u0（a）=■，u0（b）=■；

L（u1）=-N（u0），u1（a）=■，u1（b）=■；

L（u2）=-N′（u0）u1，u2（a）=■，u1（b）=■；（6）

…

L（un）=-■■N■uiqi ，u2（a）=■，u1（b）=■

均為線性方程，下面再用簡化的再生核方法求解這一系列方程。

二、簡化的再生核方法

對于方程（6），具有統(tǒng)一的表達形式

Lui=hiui（a）=■，ui（b）=■ （7）

其中hi=-■■N■uiqi

下面介紹簡化的再生核方法。令

fi（x）=LxiR（x，xi），i=1，2，…，n，

g1（x）=R（x，a），g1（x）=R（x，b）

由再生核性質(zhì)知：f1（x），f2（x），…，fn（x），g1（x），g2（x）線性無關。

令Sn=span{f1（x），f2（x），…，fn（x），g1（x），g2（x）}，Pn：W32[a，b]→Sn為正交投影算子，則f1（x），f2（x）…fn（x），g1（x），g2（x）為Sn的一組基。

由泛函的相關定理，假設ui（x）是（7）的解，則Pnui是（7）的逼近解。由uin■Pnui∈Sn，故Vn可設為

uin=ai1f1+ai2f2+…+ainfn+bi1g1+bi2g2 （8）

定理2.1：設ui是（7）的解，則Pnui滿足：

〈uin，fj〉=h（xj），j=1，2，…，n〈uin，g1〉=■〈uin，g2〉=■ （9）

證明：定理2.2在[a，b]上，uin一致收斂于ui。

接下來確定未知系數(shù)ai1，ai2，…ain，bi1，bi2。將式（8）代入式（9），得到線性方程組：

■aij〈fj，fi〉+bij〈fj，g1〉+bi2〈fj，g2〉=h（xi），i=1，2，…，n■aij〈fj，g1〉+bi1〈g1，g1〉+bi2〈g1，g2〉=■■aij〈fj，g1〉+bi1〈g2，g1〉+bi2〈g2，g2〉=■

可得

（ai1，ai2，…，ain，bi1，bi2）r=M-1bi，i=0，1，2，…，m。

進而得到ui近似解。故而，我們得到式（1）的近似解.

Um，n=■uin

三、結論

通過之前的理論分析可知，同倫漸進和簡化的再生核方法成功地解決了非線性方程的問題。

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