案例教學(xué)法在文科數(shù)學(xué)教學(xué)中的探索與實踐

[摘 要] 針對文科數(shù)學(xué)的教學(xué)現(xiàn)狀，探討了在文科數(shù)學(xué)課程教學(xué)中引入案例教學(xué)法的必要性，就案例的設(shè)計進(jìn)行了分析，并就案例教學(xué)法的具體實踐進(jìn)行了有益的探索。

[關(guān) 鍵 詞] 文科數(shù)學(xué)；案例教學(xué)；實踐

[中圖分類號] G642 [文獻(xiàn)標(biāo)志碼] A [文章編號] 2096-0603（2017）01-0048-02

目前，許多高校都在文科類專業(yè)中開設(shè)了文科數(shù)學(xué)課程，講授的內(nèi)容主要包括微積分、線性代數(shù)和概率論與數(shù)理統(tǒng)計的基本知識。近幾十年來，數(shù)學(xué)的應(yīng)用發(fā)生了根本的變化，已經(jīng)深入到了科學(xué)、工程、經(jīng)濟(jì)、社會、生活等幾乎所有的領(lǐng)域。特別需要指出的是，數(shù)學(xué)的思想和方法對社會科學(xué)已產(chǎn)生了巨大的影響，在許多方面，數(shù)學(xué)已經(jīng)成為解決問題的關(guān)鍵[1]。所以，在文科學(xué)生中開展數(shù)學(xué)知識的教育就顯得非常重要，一方面可以拓寬學(xué)生知識面，更重要的是可以有效地加強(qiáng)文科學(xué)生數(shù)學(xué)思維和邏輯思維的訓(xùn)練。顯而易見，對于文科學(xué)生來講，我們不能簡單照搬理工科學(xué)生的教學(xué)方式，不能過分強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)的推理性和計算技巧，而應(yīng)以數(shù)學(xué)素養(yǎng)和理性思維訓(xùn)練為主，在教學(xué)思路、教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)方式方面進(jìn)行大力改革。當(dāng)然，這也并不是說我們對文科學(xué)生只講思想而不涉及任何的數(shù)學(xué)計算。事實上，學(xué)生必須要掌握一定的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)才能很好地體會數(shù)學(xué)的奧妙，才能進(jìn)行必要的理性思維訓(xùn)練。如何兼顧文科學(xué)生的特點進(jìn)行有效的數(shù)學(xué)理性思維的訓(xùn)練，是我們教學(xué)中必須思考和解決的問題。通過長期的探索與實踐，我們認(rèn)為，在教學(xué)中引入案例教學(xué)法是解決該問題的有效手段之一。實踐表明，通過引入案例教學(xué)法，極大地調(diào)動了學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，在鞏固基礎(chǔ)知識的同時，學(xué)生的抽象思維、邏輯思維等在案例分析過程中得到了有效的訓(xùn)練，邏輯推理、抽象判斷能力得到了明顯提高。現(xiàn)就筆者在文科數(shù)學(xué)的教學(xué)實踐過程中運(yùn)用案例教學(xué)法的體會進(jìn)行總結(jié)，與同仁交流。

一、文科數(shù)學(xué)課程中采用案例教學(xué)法的必要性

由于多方面的原因，高校中一般很少有專職的文科數(shù)學(xué)教師團(tuán)隊，文科數(shù)學(xué)課程的授課任務(wù)往往是由講授理工科數(shù)學(xué)課程的教師兼任，教學(xué)方式也幾乎是照搬理工科數(shù)學(xué)課程的模式。教學(xué)內(nèi)容是理工科的壓縮版，只是難度有所降低，在教學(xué)中也往往只注重知識的傳授、公式的推導(dǎo)和題目的計算，幾乎不重視數(shù)學(xué)思想的傳授和數(shù)學(xué)思維的訓(xùn)練。結(jié)果是教師不愿意教，學(xué)生也不愿意學(xué)，文科數(shù)學(xué)課程成了教師、學(xué)生共同的負(fù)擔(dān)，導(dǎo)致有些專業(yè)最后取消這門課程。這就要求我們必須改變原有的教學(xué)思路，嘗試新的教學(xué)方式，努力提高文科學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)，實現(xiàn)開設(shè)文科數(shù)學(xué)的目的與初衷。

從知識發(fā)展的角度來看，文科數(shù)學(xué)課程的很多內(nèi)容，如，微積分中導(dǎo)數(shù)的概念及定積分的定義、線性代數(shù)中線性方程組的建立與求解、隨機(jī)數(shù)學(xué)中的假設(shè)檢驗與參數(shù)估計等，完全源自實際問題，就是一個個活生生的案例。講授這些內(nèi)容的過程，其實就是進(jìn)行案例教學(xué)的過程。所以，在文科數(shù)學(xué)課程的教學(xué)中，與其說要引入案例教學(xué)法，不如認(rèn)為案例教學(xué)一直就存在于教學(xué)的全過程。毫無疑問，在文科數(shù)學(xué)課程的教學(xué)中提倡案例教學(xué)法，是回歸知識產(chǎn)生的本質(zhì)，其必要性是毋庸置疑的。

二、案例的設(shè)計

案例教學(xué)法是一種以案例為基礎(chǔ)的教學(xué)法，案例依據(jù)所學(xué)知識設(shè)計，教師扮演著設(shè)計者和激勵者的角色，鼓勵學(xué)生積極參與討論。在案例教學(xué)過程中，學(xué)生要進(jìn)行問題的描述整理、數(shù)學(xué)模型的建立、模型的求解、解的討論和應(yīng)用等。案例教學(xué)要能起到有效地激發(fā)學(xué)習(xí)興趣、鞏固所學(xué)知識、掌握實踐應(yīng)用等作用。所以，設(shè)計恰當(dāng)?shù)陌咐浅Ｖ匾?/p>

微積分、線性代數(shù)、隨機(jī)數(shù)學(xué)課程教學(xué)中要求掌握的不少內(nèi)容都可以看作案例的素材，比如，導(dǎo)數(shù)的定義、定積分的定義、重積分的計算、微分方程、線性方程組、矩陣特征值、數(shù)學(xué)期望、參數(shù)估計、假設(shè)檢驗等。在實際應(yīng)用中，這類實例的解決，都需要經(jīng)過問題分析、數(shù)學(xué)模型的建立、求解及解的討論等階段，而這些階段則是案例分析中非常重要的步驟。所以，可以針對這些知識點，構(gòu)造恰當(dāng)?shù)膶嵗ㄟ^實例的求解過程介紹相關(guān)知識，一舉兩得。

顯然，只將教學(xué)內(nèi)容的基本知識點設(shè)計成案例明顯不夠。我們還需要從政治、經(jīng)濟(jì)、生活、工作中遇到的各種數(shù)學(xué)問題入手，設(shè)計一些典型的案例。在我們課程的實踐中，我們設(shè)計了許多這樣的案例，如，女士應(yīng)穿鞋跟多高的鞋子、公交巴士車門高度如何設(shè)計、預(yù)測谷物總產(chǎn)量、保險費率如何設(shè)計、交通信號燈時長設(shè)定、法庭審判證據(jù)采信問題、牛頓冷卻定律與破案問題等。通過這些豐富的案例，最大限度地調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，讓學(xué)生真正體會到數(shù)學(xué)的應(yīng)用無處不在。

三、應(yīng)用實踐

文科數(shù)學(xué)課程的教學(xué)內(nèi)容較多，每個內(nèi)容都不可能講得很深，如何安排案例的有機(jī)融入是個關(guān)鍵。這對授課教師提出了較高的要求。具體實施時，要合理安排案例內(nèi)容與教學(xué)內(nèi)容本身的講解時間，案例講解要有一定深度，又不要本末倒置。一些案例要在課堂上展開講授，一些案例要作為延伸性內(nèi)容讓學(xué)生課后考慮。

下面是我們教學(xué)實踐當(dāng)中用到的兩個案例。通過這兩個例子，學(xué)生可以輕松地掌握相關(guān)的知識，培養(yǎng)一定的解決實際問題的能力。

案例1.試建立數(shù)學(xué)表達(dá)式，描述女士應(yīng)穿鞋跟多高的鞋子看起來最美。

分析：我們知道，黃金分割比例是最協(xié)調(diào)的比例，所以當(dāng)人下肢與身高比為黃金分割0.618時，穿起來最美。

建模：設(shè)女士身高h(yuǎn)cm，下肢軀干部分長為lcm，鞋跟高為xcm。

若l≥0.618h，就不需要穿高跟鞋了。所以假設(shè)l≥0.618h。由■=0.618

得x=■=■

根據(jù)此模型，可計算每個女士應(yīng)穿鞋跟多高的鞋子最好看。

比如，身高為162cm、下肢長為97cm的女士，應(yīng)該跟高為8.2cm的鞋子最美。

案例2.某人A去醫(yī)院做身體健康檢查，結(jié)果顯示癌癥項化驗結(jié)果呈陽性。那么，他就一定患上癌癥了嗎？

背景：隨著醫(yī)療技術(shù)和設(shè)備的發(fā)展，通過化驗來進(jìn)行疾病的診斷極大地提高了診斷的準(zhǔn)確性。但是，由于各種因素，任何化驗都不可避免地存在一定的誤診率。所以，即使癌癥項化驗顯示呈陽性，也并不意味著他就一定患上了癌癥！那么，他有多大可能性患上癌癥呢？

分析：這是一個條件概率問題。為了計算方便，做如下假設(shè)：該人A所在地區(qū)患有癌癥的人占總?cè)藬?shù)的0.005，癌癥患者對化驗反應(yīng)呈陽性的概率為0.95，正常人對這種化驗反應(yīng)是陽性的概率為0.04。問題明確為：當(dāng)某人A癌癥項化驗呈陽性時，此人患癌癥的概率有多大？

建模：在上述假設(shè)下，設(shè)B={某人A患有癌癥}，C={化驗結(jié)果呈陽性}，則■表示“某人A沒有患上癌癥”。

已知P（B）=0.005，P（■）=0.995，P（C|B）=0.95，P（C■）=0.04，

由貝葉斯公式，得

P（B|C）=■

=■≈0.1066

結(jié)論：在上述假設(shè)下，做癌癥項化驗呈陽性的人真正患上癌癥的概率僅為約0.1066，即平均來講，每1000個化驗反應(yīng)呈陽性的人中，只有107個左右的人真正患上了癌癥。

四、結(jié)語

通過在文科數(shù)學(xué)教學(xué)中結(jié)合實際案例，并在教學(xué)過程中靈活運(yùn)用案例教學(xué)法，讓學(xué)生逐步形成一種建模思維，極大地激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，不僅讓學(xué)生輕松學(xué)到了相關(guān)知識，而且加深了理解，掌握了應(yīng)用所學(xué)知識分析和解決問題的能力。從學(xué)生調(diào)查的反饋信息看，大部分學(xué)生認(rèn)為案例教學(xué)法對于拓寬他們的知識面和提高他們的整體素質(zhì)是有意義的。當(dāng)然，我們深知，對于文科數(shù)學(xué)類課程的建設(shè)和教學(xué)改革，這僅僅是個開始。如何更有效地將案例教學(xué)法以及其他教學(xué)法融入文科數(shù)學(xué)以及其他課程的教學(xué)中，將是一個復(fù)雜的課題，有待我們更深入地探索與實踐。

參考文獻(xiàn)：

[1]張勇，黃廷祝，傅英定.數(shù)學(xué)建模思想融入微積分課程教學(xué)初探[J].大學(xué)數(shù)學(xué)，2010，26（2）：158-160.

[2]顧沛.南開大學(xué)的“數(shù)學(xué)文化”課及其中的素質(zhì)教育[J].中國教育，2006（9）.

[3]趙環(huán)光，方均斌.生活相遇數(shù)學(xué)[M].北京：科學(xué)出版社， 2013.

[4]董毅.數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)文化[M].安徽：安徽大學(xué)出版社，2012.