極限的概念教學設計

[摘 要] 作為高等數學的運算工具之一，極限概念非常重要。極限不僅是許多數學概念的基礎，而且對于了解微積分思想精髓和發展高等數學思維也發揮著重要作用。在概念教學和演繹證明原則下對極限進行了教學設計：通過直觀的方式和嚴格的演繹證明幫助學生熟悉、理解定義并學會運用形式化的語言描述定義，進一步解決了學生對抽象的語言難以理解的難題。

[關 鍵 詞] 極限；概念教學；演繹證明

[中圖分類號] G642 [文獻標志碼] A [文章編號] 2096-0603（2017）01-0166-02

一、引言

極限的教學困難主要緣于其豐富的概念表述、多樣且復雜的記號及學生的種種認知沖突。大一學生對極限的抽象語言描述難以理解，尤其是ε任意性，N與ε的關系。另外，個別學生在高中極限知識的基礎上擅長極限的運算，但對于極限的定義、極限的證明并沒有真正掌握。

基于極限概念具有的歷史相似性，本文的教學手段和教學方式，采用的是借鑒極限發展史并以最直觀方式展示極限，進而幫助學生理解透徹極限定義。而在利用極限定義證明數學任務時，學生不斷反思概念從而實現了從本質上理解極限概念的目的。

二、極限的“概念教學”

（一）借用圖像分辨率、像素例子直觀地引出極限

分辨率與極限

簡單地說，一幅圖像分成100個小格子時，畫面清晰度不高，分成1000個格子后會逐漸變得清晰。即隨著分成格子數量增加，圖像會越來越向真實的圖像逼近，如上圖所示。這個例子非常接近極限的概念表述：ε取到足夠小的正數時，眼睛是分辨不出來的，如果再提高精度，要提高ε，就要把格子割小。這個格子數就類似于概念中的正整數N，而圖像變得越來越清晰，則類似于數列趨向某一固定值（極限值）。借助此例，學生會從直觀上更好地理解概念描述中“越來越接近”和“ε與N”之間的關系。

（二）引用經典事例，用描述性的語言和數值、圖像等多種表象介紹極限概念

例如，古代數學家劉徽割圓術利用的即為極限的思想——通過求解圓內接正多邊形的面積近似替代圓面積。除此之外，莊子的關于“截丈問題”的一段名言，“一尺之棰，日截其半，萬世不竭”，也體現了極限的思想。極限概念最關鍵的是如何用嚴格的數學語言描述an與a無限接近，即兩者之間的距離越來越小。刻畫距離可以用絕對值，無限接近怎么表示？首先用具體的數字列舉，如0.1，0.01，0.001，雖然這些數字可以表示距離很小，但是總有比之更小的數字無法一一描述出來，故能列舉出來任意小的數字也不能表示無限接近的含義。因此定義中用ε來代替任意小的正數。n趨向于無窮大時實現了an與a無限接近的過程。如果一個數列的極限是a，則對任意小的ε，都能找到一個N，使得N后面的項距離都小于ε，如ε取0.1可能是10項以后滿足，ε取0.01可能是100項以后滿足……（可結合數軸演示過程）。如果求出的n是4.5，則取N=4，那么第4項后面的所有項的值都會落在區間（a-ε，a+ε）。再比如，函數極限的具體概念中，可以通過不同的表征方式描述求極限■（x+1），■■的過程，并分析異同點。

（三）介紹ε-N語言的由來以及引入該語言的意義

下面給出具體的教學過程：

問題1：怎樣用嚴格的數學語言刻畫無限接近？

200多年前，數學家首次提出了ε-N語言，采用嚴苛的數學符號用來表示極限過程。給出一個數學符號ε來表示任意小的數；而對于an和a的距離，我們可以用絕對值即an-a的絕對值（學生討論）。an無限地接近于a怎么表示，也就是怎么說明這個距離無限小，可結合上述分析共同描述，怎么描述無限??？（引導學生思考）學生會很快回答：兩者距離比任意小的正數都小就表示無限小。就是對任意小的正數ε，都有an-a的絕對值小于ε，那么就無限接近了。

問題2：極限要求滿足什么過程下的無限接近？從第一項開始無限接近，還是其中某一項都可以？

數列任意項的下標n是正的，并且考慮n無限增大，n到正無窮表示無限增大的過程。n趨向于正無窮，什么意思呢？對于a和任意小的一個正數ε，旁邊有個鄰域，如果對于任意小ε的都能找到一個N，使得n>N時，就是在N右邊這些項都落在這個小區間里，就表示無限接近。而且無論此區間多小，都能找到一個界，使得后面的項都落在這個區間里，這就是無限接近的概念。

課堂中詢問引入ε-N語言的意義和作用時，學生往往回答的是此語言具有簡潔、通用、嚴謹等優點。

下面通過極限的發展史來向學生講述ε-N語言帶來的巨大進步。首先通過介紹歷史上的第二次數學危機——無窮小危機，柯西和威爾斯特拉斯指出了在數學發展中引入ε-N的必要性[1]。接著教師可以說明：“現代的高等數學對極限的ε-N語言產生了更新的認識，此語言用邏輯判斷這一靜態過程替換原來難以描述的無限動態過程。用一個希臘字母ε替代任意小的數，解決了不能列舉所有數字的難題，用不等式n>N代替無窮步?！?/p>

三、極限的“證明構造”

極限教學要求學生要從單純意義上了解概念及其邏輯過程，上升到明白如何進行以及為什么那么進行，即需要真正意義上的演繹證明[2]。下面用數列極限證明這一教學任務來探討并引導學生學會如何用定義構造證明。

數列極限的嚴格定義：設xn為一數列，如果存在常數a，對于任意給定的正數ε，不論它多么小，總存在正整數N，使得當n>N成立時，不等式xn-a<ε成立，那么就稱常數a是數列{xn}的極限，或稱數列{xn}收斂于a，記為■xn=a或xn→a（n→∞）[3]。

上述定義并沒有講述極限的運算方法，但是我們可以利用該定義證明一個數列的極限。本教學環節可以采用問題引入教學內容，循序漸進的教學模式。教師可以提出下面3個問題：

第一個問題：觀察概念，找出證明數列極限存在與否的關鍵點。

我們必須緊緊抓住利用“定義構造證明”這一大前提，即從定義中挖掘證明的關鍵點。數列極限概念中，正整數N是否可以找到成為該數列極限是否存在的核心，即上述極限概念中“總能找到正整數N”是證明的關鍵，因此對無論多小的正數ε，“找到滿足條件的正整數N”才算證明該數列極限存在。實際上，該問題幫助學生思考并初步構建該證明的大體結構框架，這是數列極限證明中的首要環節。

第二個問題：如何找到概念中關鍵的正整數N？

基于問題1，學生已經清楚大致的證明思路，此時教師可以提示“尋找N也要根據定義”。分析定義，我們可知關于ε可以任意變小，其描述了an-a的無限接近程度；關于N，依賴于ε，即通常根據給定的ε找N，有時可記作N（ε）。我們確定某一數列的極限是存在的，就是基于不論給定的ε多么小，總能求出相應的N這一重要條件。雖然清楚N依賴于ε，但并不是ε的某個函數，到底如何確定呢？在這樣的引導下，學生就非常想知道找到N的具體方法和步驟，此時教師便可順水推舟，提出“倒推分析法”，即結構性的層次分析過程[4]。

（I）直接法：？坌ε>0，由xn-a<ε式子可直接解出不等式n>K（ε），則取正整數N=[K（ε）]，則當n>N時，xn-a<ε成立，故■xn=a。

（II）間接法：？坌ε>0，由xn-a<ε式子不易解出不等式n>K（ε），則可設法先將xn-a適當放大，即xn-a<φ（n），然后通過解φ（n）<ε，而得到n>K（ε）取正整數N=[K（ε）]即可。

上述間接法中“適當放大”主要包含兩點：第一，相關不等式放大后保證能夠較易求出K（ε）；第二，放大后的φ（n）極限必須為0。

通過上述分析可以發現，該過程涉及較多量詞，會幫助學生達到對概念更深層次的理解。另外，根據定義可知正整數N不是唯一的，它主要刻畫數列是否有趨向性?；贜的多值性[5]，證明過程中我們沒有必要一定要找到滿足不等式的最小N取值，不等式放大后找到更大的N同樣可以。但是前提條件是保證能找到N，也就是必須保證其存在。

第三個問題：證明格式如何書寫？

規范的書寫格式對學生理解概念非常重要。學生初次接觸形式化的極限定義，本身就對極限的本質理解不透徹，更別說應用這個形式化定義解決極限證明問題。所以，在定義證明教學的最初階段教師要給學生提供一個相對固定的格式，如下面的兩個證明格式：

書寫格式1：？坌ε>0，由xn-1=■-1=■<ε得n>■所以？坌ε>0，取N=■，則當n>N時，就有■-1<ε，即■■=1

書寫格式2：？坌ε>0，由xn-0=■-0=■<■<ε得n>■-1，所以？坌ε>0（ε<1），取N=■-1，則當n>N時，就有■-0<ε，即■■=0

在演繹證明教學中，不是直接告訴學生如何用極限概念來證明，而是引導學生自主通過回憶、反思極限概念找到證明的思路，構建定義證明思路框架。證明過程也不是簡單進行書寫，而是在學生理解概念的基礎上達到從單一的線性化證明模式向結構層次化分析的轉化[2]。

四、結束語

對于極限定義中的邏輯關系，學生比較容易理解，但關于“任意小”“總存在”等思想并不理解，并且對于概念中記號的數學含義并不清楚，而恰恰是定義中ε的“任意性”刻畫了“無限接近”的思想，“正整數”N體現了“無限接近的過程性”。在教學中，必須首先把概念講清楚，尤其是極限概念，本身就比較獨特，如果教師沒有琢磨透徹，學生也很難理解概念中的動態關系。對于極限概念，教師當然可以選擇通過較多例子來加強學生對于這個概念的熟悉感，但最重要的是教師發揮引導作用，無需過多解釋，留有適當空間讓學生自己去領悟。

參考文獻：

[1]高雪芬.一元微積分概念教學的設計研究[D].華東師范大學，2013.

[2]曹榮榮.理工科大一學生高等數學思維的研究[D].華東師范大學，2011.

[3]同濟大學數學系.高等數學[M].北京：高等教育出版社，2007.

[4]李嵐.高等數學教學改革研究進展[J].大學教學，2007，23（4）：20-26.

[5]Boyer C.B.A history of Mathematics[M].princeton，NJ：Princeton Uni- versity press，2010.