美妙的數(shù)學(xué)

古希臘的普洛克拉斯是柏拉圖派的領(lǐng)軍人物、評論家、哲學(xué)家，他曾說過：“數(shù)學(xué)是這樣一種東西：她提醒你有無形的靈魂，她賦予她所發(fā)現(xiàn)的真理以生命；她喚醒心神，澄凈智慧；她給我們的內(nèi)心思想添輝；她滌盡我們有生以來的蒙昧與無知。”“哪里有數(shù)，哪里就有美。”

數(shù)學(xué)追求的目標(biāo)是，從混沌中找出秩序，使經(jīng)驗升華為規(guī)律，將復(fù)雜還原為基本，所有這些都是美妙數(shù)學(xué)的標(biāo)志。數(shù)學(xué)的美妙是真理的光輝。

首先看一下，什么算作美呢？應(yīng)該有這么兩條標(biāo)準(zhǔn)：一、一切絕妙的美都顯示出奇異的均衡關(guān)系（培根）；二、美是各部分之間以及各部分與整體之間固有的和諧（海森堡）。數(shù)學(xué)本身的美具體表現(xiàn)在：簡單、對稱、和諧、統(tǒng)一、普遍、典型、完備和奇異等。

數(shù)學(xué)中的對稱美是很明顯的。二維空間中常見的對稱對象是平面圖形，比如各種壁畫。雖然各種壁畫的數(shù)目無窮無盡，但類型卻是有限的。這些壁畫所具有的對稱性可以根據(jù)各種對稱群（即使得壁畫不變的變換組合）進行分類，這些對稱變換包括：沿一條直線的平移，關(guān)于一條直線的反射，關(guān)于一個點的旋轉(zhuǎn)。十九世紀(jì)九十年代，E.S.Fedorov（費德洛夫）歸納證明出：對于裝飾性嵌線或者柱基這樣的線性壁緣，只存在七種不同類型的對稱群；對于平面裝飾（如地面、壁畫或者掛毯等）只存在十七種不同類型的對稱群。而且這些平面二維群只有180°、120°、90°和60°的旋轉(zhuǎn)對稱，所以它們可能是軸對稱、三角形對稱、正方形對稱或六邊形對稱。阿罕布拉宮以及從埃及到日本各個文明中的裝飾都幾乎使用了上述所有對稱。阿拉伯人和希伯來人由于受到基督教的戒律，嚴格禁止形體藝術(shù)，所以他們發(fā)展了純粹的抽象的幾何壁畫藝術(shù)。十四世紀(jì)，他們?nèi)〉昧诉@一領(lǐng)域中最為輝煌的成果：格拉納達的阿罕布拉宮鋪砌。至于到了三維空間，最能體現(xiàn)對稱美的對象則是各種各樣、美輪美奐的晶體。而直到二十世紀(jì)七十年代，才有人證明出了四維空間中存在著4783個對稱群。

同時，數(shù)學(xué)又是相當(dāng)和諧簡潔的，如出身大不相同又十分重要的五個數(shù) 能和諧共處在一個簡潔的等式中，即歐拉公式。從數(shù)的產(chǎn)生到數(shù)量關(guān)系的形成，再到各種演算的法則，無不體現(xiàn)著數(shù)學(xué)的一種平衡和諧的美。

數(shù)學(xué)，也許還有古典音樂，是人類精神的最高創(chuàng)造。音樂中的音節(jié)和弦位和數(shù)學(xué)中的比例以及黃金分割本來就有著不解之緣。數(shù)學(xué)完全從頭腦中產(chǎn)生，就像雅典娜從宙斯的前額中跳出來一樣。作為人類思想的最高境界，數(shù)學(xué)往往帶有它那種特有的靈性和神秘，遠離蕓蕓眾生，可是對于少數(shù)人，數(shù)學(xué)卻能像音樂一樣，給他們以巨大的心靈震撼。《羅素自傳》的第一卷中寫到：“11歲時，我開始學(xué)習(xí)歐幾里得幾何學(xué)，哥哥做我的老師。這是我生活中的一件大事，就像初戀一樣令人陶醉。我從來沒有想象到世界上還有如此美妙的東西。”他所提到的還是兩千多年前的歐幾里得，而到了21世紀(jì)所有的數(shù)學(xué)瑰寶就變得更加光彩奪目，甚至遠遠超出了一般人的想象。就像無線電波實際上是解微分方程的產(chǎn)物一樣，數(shù)學(xué)發(fā)展的結(jié)果是如此深刻，超出了一般人的理解。

我們從小學(xué)一直到大學(xué)甚至研究生畢業(yè)，都要學(xué)習(xí)大量的數(shù)學(xué)，有些人會認為不太合理。但縱觀中國的近代發(fā)展史，會發(fā)現(xiàn)雖然我們可以“師夷人之長技以制夷”，但是那永遠也走不遠，因為許多技術(shù)建立在科學(xué)基礎(chǔ)之上，不學(xué)科學(xué)就難以對技術(shù)有重大改進，而學(xué)科學(xué)又不能不學(xué)一整套數(shù)學(xué)，其中微積分只不過是基礎(chǔ)的基礎(chǔ)。而學(xué)數(shù)學(xué)又與學(xué)自然科學(xué)不同，總要從基礎(chǔ)學(xué)起。要想學(xué)微積分，首先要把算式、代數(shù)、幾何、三角、解析幾何學(xué)好，學(xué)計算機又要學(xué)離散數(shù)學(xué)，學(xué)經(jīng)濟或金融又要學(xué)概率、統(tǒng)計等等。把這一整套學(xué)下來，有些人的確會吃不消，但也許這并不是那么不合理的。曾經(jīng)，柏拉圖的學(xué)園禁止不懂幾何學(xué)的人入內(nèi)，因為他覺得不會幾何學(xué)就不會正確地思考，而不會正確思考問題的人不過是行尸走肉。這就體現(xiàn)了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)對人類和社會發(fā)展的奇妙影響，數(shù)學(xué)的美妙不僅僅存在于數(shù)學(xué)本身，還體現(xiàn)在人類的素質(zhì)和社會的狀態(tài)之上。

畢達哥拉斯在公元前6世紀(jì)發(fā)現(xiàn)：在音樂、自然和數(shù)學(xué)之間存在著對應(yīng)關(guān)系，諧和比與物理比相對應(yīng)，并由整數(shù)比來量化。這不只是一種巧合，而是一種必然性的展示，萬物皆為有理的。中國古代著名的哲學(xué)家莊子說：“判天地之美，析萬物之理。”這也許就是學(xué)習(xí)和研究數(shù)學(xué)的指導(dǎo)思想和最高美學(xué)原則。

（作者單位：西安財經(jīng)學(xué)院行知學(xué)院）