淺析第二個重要的極限

高等數學是從函數及其極限為基礎展開研究的。第二個重要極限跟第一個重要極限一樣是極限中特殊的極限形式。理解第二個重要極限的本質形式，是學好第二個重要極限的前提。文章先分析第二個重要極限本質表現形式，然后分析其應用。用事實說明第二個重要極限在高等數學和經濟上的重要性

第二個重要極限是型的極限類型，為導數的學習奠定了基礎，在經濟上用于復利的計算。

1 結構

第二個重要的極限： .

當時，底數趨向于1，指數趨向于無窮大，屬于型的極限類型。利用單調有界數列必有極限，可以求得極限為。

在極限中 只要是無窮小 就有

①型的極限類型

②表達式中，只要是無窮小

即

這說明：當及時，函數的值會無限地趨近于。常數就是這個極限值，即

.

如果令公式還可以寫成

. （1.5.5）

這兩個極限式可以統一為“1加無窮小的無窮大次方的極限為”。

如：； ；

用求極限時，函數的特點是型冪指函數，只要中 是無窮小，而指數為無窮大，兩者恰好互為倒數就符合第二個重要極限的類型。

2 應用

2.1公式的直接應用

應用第二個重要極限求極限：

例1 求

解

這道題屬于求冪指函數的極限，先變形化簡后整理成第二個重要極限的形式，然后應用第二個重要極限求出結果。

應用第二個重要極限推導指數和對數函數的求導公式：

例2 求函數的導數

解

例3 求函數的導數

解

即

特殊地

運用導數的定義表達出指數函數和對數函數的導數形式，結合第二個重要極限，推導得出求導公式，為導數的進一步學習鋪磚引路。

第二個重要的極限在推導求指數函數和對數函數的求導公式過程中，起到了舉足輕重的作用。第二個重要極限是基本初等函數求導公式得出的奠基石。第二個重要極限在初等函數求導過程中起到了重要的橋梁紐帶作用。

2.2公式的間接應用

經濟上連續復利計算就是以第二個重要極限為依據的：

設初始本金為p （元）， 年利率為r， 按復利付息， 若一年分m次付息， 則第n年末的本利和為

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如果利息按連續復利計算， 即計算復利的次數m趨于無窮大時， t年末的本利和可按如下公式計算

若要t年末的本利和為s， 則初始本金。

經濟上連續復利的計算，大家廣泛熟悉的是購買商品房貸款。貸款期的本金和利息采用連續復利的計算方法計算出來，然后在一定的前提下，根據本金和利息劃分每個月應償還的數目。

3 小結

第二個重要極限的運用是求解函數極限的方法之一，是求解型的極限直接而有效的方法之一，是銀行計算復利有效工具。

學好第二個重要極限是學好求函數極限和導數等知識點的前提和基礎，是理解和計算銀行連續復利必備的知識。

（作者單位：湖南科技職業學院）