基于非線性最小二乘法指數平滑系數估計

韓坤

【摘 要】運用指數平滑預測模型進行時序數據的預測分析時，關于指數平滑系數α最優估計是研究者們長期以來需要解決的關鍵性問題。本文提出基于非線性最小二乘法的指數平滑系數α選取方法，其核心思想在于根據預測值與實測值之間的擬合誤差平方和最小值，利用非線性最小二乘法中具有松弛性質的搜索算法，通過高斯-牛頓迭代程序估計最優指數平滑系數α，使得指數平滑預測模型在預測過程中達到更為精準的預測精度。

【關鍵詞】指數平滑預測模型；平滑系數；非線性最小二乘法

中圖分類號： U461.51 文獻標識碼： A 文章編號： 2095-2457（2017）26-0012-002

Based on nonlinear least-squares index smoothing coefficient alpha estimation

HAN Kun

（School of Advanced Manufacturing Engineering，Chongqing University of Posts and Telecommunications，Chongqing，400065，China）

【Abstract】Using exponential smoothing prediction model to predict the time sequence data，optimal

estimation of exponential smoothing coefficient is the key problems researchers have needed to solve.In this paper，an exponential smoothing coefficient alpha selection method based on the nonlinear least squares is proposed，the core idea lies in the minimum sum of squared error between the predicted value and the measured value，using the search algorithm with relaxation property in nonlinear least square method，the optimal smoothness coefficient is determined by the Gaussian-Newton iteration procedure，the prediction accuracy of the exponential smoothing prediction model is achieved in the prediction process.

【Key words】Exponential smoothing prediction model；Smoothing coefficient；Nonlinear least square method

0 引言

Robert G.Brown[1]于1959年在《庫存管理的統計預測》一書中首次提出指數平滑法的概念，且將其常用于生產預測以及中短期經濟發展趨勢預測中。指數平滑系數α是用指數平滑法計算預測趨勢值是否符合實際的關鍵，因為平滑系數α即代表指數平滑預測模型對時間序列數據變化的反映速度，又決定了預測模型修勻誤差的能力；平滑系數α的大小體現了各期觀察值在指數平滑值中所占的比重，權衡各期觀察值所起的不同影響作用。許多學者提出了各種對于指數平滑系數α的最優估計方法，其原則是使預測值與實測值之間的誤差最小[3-4]；本文提出了一種新的基于非線性最小二乘法中具有松弛性質的搜索算法確定平滑系數的最優值。

1 一次指數平滑預測模型簡述

1.1 水平型指數平滑預測模型

設水平型時序數據實測值為y1，y2，…，yt-1，yt；按下式計算得到一次指數平滑預測值[5]：

t+1=St（1）=αyt+（1-α）S =α（yt-S ）+S （1）

式中，yt—時間t的實測觀察值（t=1，2，…，t）

t+1—時間t+1的預測值（或擬合值）

St（1）—時間t的一次指數平滑值

α—指數平滑系數，且0<α<1

從公式（1）中可以看出，下一期預測值 t+1是根據本期預測誤差yt-S 對本期預測值S 的修正而得，α的大小決定了預測模型修正誤差的程度。

將式（1）展開[2]：

S =αyt+（1-α）[αyt-1+（1-α）S ]

=αyt+α（1-α）yt-1+（1-α）2S

=αyt+α（1-α）yt-1+…+α（1-α）t-1y1+（1-α）tS

=α∑ （1-α）jyt-j+（1-α）tS （2）

當資料數據足夠多，t趨于無窮時，隨著t的增大（1-α）t會逐漸趨于零，從而在平滑過程中S 對S 式（2）的變形式為：

S =α∑ （1-α）jyt-j（3）

本文僅探討一次指數平滑預測過程中平滑系數α最優估計問題，并且所采用的一次指數平滑預測模型要求時序數據符合平穩序列特點，即水平型指數平滑預測模型，后續討論研究均建立在預測公式（1）的基礎上。

2 基于非線性最小二乘法平滑系數α問題

本文運用非線性最小二乘法估計平滑系數α最優值是根據其具有松弛性質的搜索算法，以預測值（指數平滑值）與實測值之間的擬合誤差（預測誤差）平方和最小值，確定出最優平滑系數α。endprint

假設S0已知，則t-1期指數平滑預測值St-1= t與t期實測值yt之間的擬合誤差平方和，其表示形式為：Q=∑ （yi- i）2。

設函數fi（α）=yi- i， （i=2，3，…，t）

根據公式（2）：

fi（α）=yi-Si-1=yi-[α∑ （1-α）jyi-1-j+（1-α）i-1S0]（4）

即，fi（α）是關于α的i-1次多項式函數，以擬合誤差平方和最小值確定平滑系數α的問題可以轉化成為基于函數fi（α）的非線性最小二乘問題。

F（α）=[f1（α），f2（α），…，ft（α）]T是關于fi（α）的列向量函數；其轉化關系表示形式為：

minα∈（0，1）Q=minα∈（0，1）FT（α）F（α）（5）

由于fi（α）在α∈（0，1）上任意階可導，按向量導數的定義，向量函數F（α）可微，則F（α）的Jacobi矩陣為：

J（α）= … ┇ ？塤 ┇ …

其中，j（α）的第i列（1≤i≤n）表示形式為：

JiT（α）= ， ，…， （7）

對于Q（α）一階，二階導數表示形式為：

Q（ ）=JT（α）F（α）（8）

Q（ ）=JT（α）J（α）+W（α）（9）

其中W（α）是一個n×n階矩陣，其表示形式為：

W（α）=∑ fi（α）fi（ ）（10）

根據非線性最小二乘理論且具有松弛性質的搜索算法，對公式（4）逐次使用一維高斯-牛頓迭代程序步驟如下所示：

首先，定義搜索次序為：ik=k（mod n），k=1，2，…；

1°確定初始近似α0

2°假設αk-1為已知，則αk可按下述高斯-牛頓迭代程序進行計算：

αk=αk-1+ωkp

p =-[J （αk-1）TF（αk-1）/||J （αk-1）|| ]e

ik=k（mod n），k=1，2，…（11）

針對步長因子ωk，其滿足：Q（αk）

3°對于某一給定精度ε>0，成立：

|Q（αk）-Q（αk-1）|<ε或maxik|J （αk）TF（αk）|<ε

則計算停止， 確定出α的最優估計值。

3 結束語

首先運用一次指數平滑預測模型針對符合平穩序列特點的時序數據進行預測分析時，本文將指數平滑法中對于平滑系數的最優估計轉化成為一個非線性最小二乘問題，根據其中具有松弛性質的搜索算法，通過高斯–牛頓迭代程序得到更為精確的平滑系數，幫助實現最佳預測效果。

【參考文獻】

[1]王長江.指數平滑法中平滑系數的選擇研究[J].中北大學學報：自然科學版，2006，27（6）：558-561.

[2]何舒華，何靄琳.指數平滑法初始值計算與平滑系數選取的新方法[J].廣州大學學報：自然科學版，2011.

[3]韓宗德.論平滑系數的優選[J].統計研究，1993（6）：50-52.

[4]單藝斌，金明.關于平滑系數和初始值的確定[J].大連大學學報，1997，7（2）：175-177.

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[6]唐炎森.指數平滑預測公式與平滑系數[J].統計與信息論壇，1998（1）：38-43.