數學思想是數學課堂的靈魂

王燕洲

摘 要：數學思想方法是數學基礎知識、基本技能的本質體現，是形成數學能力、數學意識的橋梁，是靈活應用數學知識、技能的靈魂，因此，學好數學的關鍵是正確運用數學思想方法。

關鍵詞：滲透；揭示；提煉；總結

所謂數學思想方法，就是數學研究活動中解決問題的根本想法，是對數學規律的理性認識，也是在對數學知識和方法作進一步認識和概括的基礎上形成的一般性觀點。與數學概念相關的有集合與映射的思想，方程與函數的思想，參數的思想，極限的思想。

數學方法包括發現方法、邏輯方法、解題方法和審美方法。數學方法為數學問題的求解和數學知識的獲取提供了可能。與數學方法相關的有轉化與變換的思想，化歸的思想，構造的思想，類比的思想。

在數學思想的指導下，為解決實踐上和理論上提出的各類數學問題勢必創造出各種不同的數學方法，數學方法的產生又豐富和發展了數學思想。如坐標法的產生豐富了數學的變換思想，而代數中的配方法，幾何中的割補法都是數學化歸思想的表現。

傳統的數學教學歷來只注重知識的傳授，而忽視知識發生過程中數學思想方法的教學，這不利于素質教育。筆者認為，數學思想方法的教學和數學知識的傳授是數學教學的兩個組成部分，而數學思想方法的教學也許比知識更為重要。

如何在平時的教學過程中滲透數學思想方法，培養良好思維品質呢？筆者認為應從以下幾個方面入手：

1 從數學思想上把握教材，改造教材

作為一名數學教師，必須對教材有一個從數學思想上的整體認識，這就要求數學教師在吃透教材的基礎上去領會教材中隱含的數學思想，從而掌握教材的實質。

從中學數學的角度看，函數思想是最主要的思想，可用它串聯代數、三角函數、解析幾何以及微積分初步的大部分知識。方程可看成函數值為零的特例，不等式可看作兩個函數值的比較，解幾的曲線可視為函數的圖形，微積分中的導數可作為研究函數性質的主要工具。其次是化歸的思想：在基本運算中，減法化歸成加法，除法用乘法轉化，冪的運算歸結為指數的運算，方程中，三元、二元都化歸成一元，分式方程化歸成整式方程，立體幾何中的空間問題化歸成平面問題。在中學數學中，比較重要的還有變換的思想，可以用它來統帥三角函數的內容。此外，對應的思想也很重要。如點與數的對應是中學數學里一種最基本也是最重要的對應，數形結合正是這種對應思想的具體體現。

為了將數學思想方法的教學放在中心位置，在當前的條件下，數學教師不但要從數學思想上把握教材，發掘教材中隱含的數學思想，而且還要善于改造教材。我在講授二次根式時，將平方根和算術平方根的定義集中在一節課進行了教學，經測試，學生對兩種定義和簡單計算的異同點掌握得較好，既節省了時間，又加強了類比思想的教育。

2 把握滲透數學思想的契機

對于數學而言，知識的發生過程，實際上也是數學思想方法的發生過程。因此，必須把握好教學過程中進行數學思想方法的滲透契機。如概念的形成過程、結論的推導過程、方法的思考過程、問題的被發現過程、思路的探索過程、規律的被揭示過程，等等，都蘊藏著向學生滲透數學思想方法、訓練思維的極好機會。

在概念形成的教學過程中，與其教學生記住公式、定義、定理和法則，還不如更多地琢磨一下這些東西是怎么來的。如負數概念的教學，教材借助溫度計給出描述性定義，學生對負數往往難以透徹理解。若設計一個提示概念與新問題間矛盾的實例，使學生感到“負數”產生的合理性和必要性，領悟其中數學符號化思想的價值，則無疑有益于激發學生探究概念的興趣，激發學生思維的積極性，從而更深刻、全面的理解概念。我在演示溫度計時提出這樣一個問題：今年冬季某天南京白天的氣溫是零上12℃，夜晚的最低氣溫是零下5℃，問這一天的最高氣溫比最低氣溫高多少度。學生知道應該通過實施減法來求出問題的答案，但是，在具體列算式時遇到了困惑：是“10-5”嗎？不對！是“零上10℃減零下5℃”嗎？似乎對，但又無法進行計算。于是，一個關于“負數”及其表示的思考由此而展開。再通過現實生活中大量表示相反意義的量，抽象概括出相反意義的量可以用數學符號“+”與“-”來表示。

而結論的推導過程，有時就是某種數學思想的體現。例如在推求直棱柱和正棱柱的側面積公式時，采用了平面展開圖的方法，這是一次進行化歸思想教學的好時機。

3 掌握滲透數學思想的手段

⑴在設計問題中要蘊含數學思想方法

現代教學觀提倡把問題作為教學的出發點，設計問題一方面是為了引發學生的認知沖突，激起學生求知欲望，另一方面是通過問題的引導，讓學生嘗試探索新知識。因此，教師要善于設計蘊含數學思想方法的問題，以利于學生站在思想方法的高度掌握知識。

例如：講絕對值的代數意義時，為了幫助學生克服學習中的難點，可設計這樣的問題：

①表示一個有理數的點在數軸上的位置可能有幾種？（在原點、在原點左邊、在原點右邊）。

②數軸上表示正數、負數和零的點，它們與原點的距離各是什么數？（正數、正數和零）

說明：問題①實質是在研究對象的可能情況，滲透了正確分類思想方法，以加深學生正確認識絕對值的三種情況。問題②是讓學生體會“數量”和“圖形”的相互依賴關系，理解絕對值的非負性特征，并初步感知研究有理數問題的重要方法——數形結合思想方法。

⑵在知識發生、形成過程中要揭示數學思想方法

由于教材中只對某些數學思想方法作了明確闡述，如消元法、換元法等，大量的較高層次的數學思想方法是蘊含在數學知識系統之中的。因此，教學要在知識的發生、形成過程中揭示由知識所反映出的數學思想方法，促進學生思維結構的形成。

例如：在推導同底數冪的除法法則時，可設計如下問題：

①具體數的計算：

22×23=22+3=25。那么

25÷23=？（思考片刻，學生答：22。我將？替換）引導學生觀察這里的指數2與被除數、除數的指數5和3的關系，并用彩筆突出，即

25÷23=25-3=22。

②用不為零的字母a代替底數2，即

∵a2·a3=a5

∴a5÷a3=a2.即

a5÷a3=a5-3=a2

③當a≠0，m、n都是正整數，且m﹥n時，用字母m、n分別代替②中被除式冪和除式冪中的指數，即

am÷an=am-n，并用紅筆板書。

到這里，不但推導出了同底數冪的除法法則，而且滲透了換元思想。

⑶在例題教學中要突出數學思想方法

例題教學是課堂教學中的中心環節，教師應抓住有利時機，通過例題教學突出和強化數學思想方法對解題的指導作用。

例如：解方程組

觀察：左邊出現的是整整齊齊（x-1）和（y-1），這個信息提醒我們可以把（x-1）和（y-1）看作一個整體，這一解題過程，既滲透了整體意識，又介紹了變量代換思想，也體現了化歸的具體應用。這樣給人以美的享受，使學生初步領略了化歸最簡的優點，從而培養了學生的化歸意識。

⑷在解題訓練中要運用數學思想方法

首先是教師在選編習題時，要明確習題對數學思想方法的要求，強化學生運用數學思想方法解題的意識。

例如講完一次函數圖象和性質后，選編習題時就應明確對數形結合的思想方法和待定系數法的要求。可進行如：①讀圖與識圖訓練：

如圖l是直線y=kx+b，則當x 時，y﹥0；當x 時，y=0；當x 時，y﹤0，其中k的符號 b的符號。

②數形互譯訓練：

若ab=0，則點p（a，b）的位置是什么？

若點p（a，b）位于x軸上方，則a、b必須滿足什么條件？

其次是加強數學思想方法訓練的科學性。做到：“舉一反三”與“舉三反一”相結合，“多題一解”與“一題多解”相結合，“精練”與“泛練”相結合，并在結合中不斷提煉思想，歸納方法，拓寬思路，提高運用數學思想方法解題的自覺性和主動性。

⑸引導學生自己提煉數學思想方法

柏拉圖說，他從不把自己看作一個教師，而是一個幫助別人產生他們自己思想的“助產士”。學習有一條很重要的原則，就是不可代替原則，這就要求教師引導學生學會自己提煉數學思想。

例如解方程組

第二個方程中的y可用第一個方程中表示y的代數式2x來代替。

又如在八年級數學中應用平方差公式分解因式的思路分析中：

9m2-4n2=（3m）2-（2n）2=（3m+2n）（3m-2n）

a2-b2=（a+b）（a-b）

這種分析現象體現了換元思想。

通過例題教學與習題的訓練，引導學生觀察方程中可以換元的字母或代數式的特點，讓學生歸納出適用換元法的解方程的方程類型。

⑹教會學生反思

著名數學教育家弗賴登塔爾指出：“反思是數學思維活動的核心和動力。”對于例題，我要求學生按照“做-比-問”的方法學習。“做”就是自己先審題、分析、試做，目的是訓練和檢查自己獨立分析和解決問題的能力；“比”就是把自己的分析、做法同老師或書上的方法對比，找出優劣，發現問題；“問”就是提問題，總結經驗：解法是怎么想出來的？關鍵是哪一步？自己為什么沒想出來？能找到更好的解題途徑嗎？通過解這個題，我應該學什么？這種反思能較好的概括思維的本質，從而上升到數學思想上來。

⑺充分發揮小結的功能

揭示知識之間的內在聯系是小結的功能之一。學生學完一章，應該從整體上對內容有清晰的認識，因此小結可以總結這一章所涉及的數學思想方法，從知識發展的過程來縱觀數學思想方法的作用。另外小結中還可以增設“本章錯解分析”，“典型例題選登”，以逐步提高學生的概括水平。

總而言之，數學思想是數學教學思想的內核，能活化為數學教學思想，體現數學教學規律的本質要求。沒有數學思想的數學教學，是一碗“沒有肉的淡湯”，沒有先進的數學教學思想指導數學教學，數學思想就是一塊“嚼不動的牛肉”。我們唯愿數學思想能在數學課堂中靈動的飛翔，象春天的細雨滋潤學生的心靈！

參考文獻

[1]數學課程標準：《新版課程標準解析與教學指導》，北京師范大學出版集團2011年版

[2]國人民大學主辦. 《中學數學教與學》2009.7

[3]涂榮豹.試論反思性數學學習.數學教育學報，2010.4