探討二次函數在高中數學中的重要作用

【摘 要】本文圍繞進一步深入理解并把握函數的基本概念、二次函數的單調性最值以及圖象、二次函數蘊含的知識能夠準確反映學生的數學思維三個方面展開討論，對二次函數在高中數學中的重要作用進行了分析，同時提出了一些筆者自己的見解，希望能夠對今后的二次函數學習提供一些理論建議以及幫助。

【關鍵詞】二次函數 高中數學 重要作用

我們常說的四個“二”主要所指的是將一元二次函數作為領頭的四種公式，分別為一元二次函數、一元二次多項式、一元二次方程以及一元二次不等式，這四種一元二次函數貫穿于整個高中數學學習過程中，并發揮著十分重要的作用。其中，二次函數發揮的重要程度最高，我們在學習一元二次多項式的過程中，最主要的目標便是掌握因式分解以及未知數配方，而一元二次方程的學習目標則主要集中在解方程以及掌握根與系數的關系方面，一元二次不等式主要關注的是解集，一元二次函數則是貫穿于它們之間的一條主線路。

我們在初中階段，已經對二次函數進行了初步地了解以及掌握，初中學生缺乏較好的學習基礎，對于新知識的接受能力響度較為薄弱，因此初中階段所學習的二次函數往往存在一些機械性，學生只是對這一知識進行機械地理解，并無法對其本質進行深入把握。在進入高中階段之后，特別是在畢業前的高三復習階段中，我們必須能夠對各種二次函數相關的概念以及基本性質進行靈活地應用，因此在二次函數的學習上不能止步不前，必須朝著更加本質的部位深入。下面，筆者就針對二次函數在高中數學學習中的重要作用進行簡單地介紹。

一、進一步深入理解并把握函數的基本概念

在初中階段中，我們已經針對二次函數的基本概念有了初步地認識與把握，在進入高中階段后，我們通過對集合的學習又進一步了解了映射這一概念，隨后緊接著對函數的概念進行了重新學習，這個階段的函數學習基本上是通過映射觀點來闡明函數的內涵，這個時候，我們就可以使用自己已經有所了解的函數，尤其是二次函數來進一步深入探討函數的概念。實際上，所謂的二次函數是從一個集合A到集合B上的映射，也就是指定義域到值域的映射，那么處于集合B當中元素y=ax2+bx+c（a≠0）就會與集合A當中的元素X保持對應關系，我們通常會將其計作f（x）=ax2+bx+c（a≠0），這一等式當中出現的ax2+bx+c所表示的內容為對應法則，同時也能夠表示定義域中的元素X在值域當中的象，這樣一來，我們便可以對函數的概念形成更加深入、明確地認識。當我們在初步掌握函數值所對應的記號之后，可以嘗試著進一步對下面一些類型的問題進行處理。

類型一：已知f（x）=2x2+x+2，求f（x+1）。

在這一類型的題目當中，我們不能將f（x+1）理解成為x=x+1時對應的函數值，而應該將其理解成為自變量為x+1時對應的函數值。

類型二：設f（x+1）=x2-4x+1，求f（x）。

在這一題當中，我們可以將題目理解為，已知對應法則的情況下，定義域中的元素x+1對應的象是x2-4x+1，求定義域中元素X對應的象，因此該題目的本質是求對應法則。

二、二次函數的單調性、最值以及圖象

我們在高中階段對單調性也有所涉及，而在學習過程中，我們必須能夠通過定義來嚴謹地論證二次函數y=ax2+bx+c在區間（-∞，-b/2a]以及[-b/2a，+∞）上的單調性結論，從而確保這一單調性能夠建立在嚴謹充分的理論基礎之上。在此過程中，我們還應加強對函數圖象直觀性的應用，并在此基礎上展開適當練習，從而逐漸習慣于使用圖象來學習二次函數當中所涉及的各種函數單調性，例如對以下問題進行處理。

問題：輕畫出以下函數對應的圖象，同時依靠圖象來對其單調性進行研究。

（1）y=x2+2|x-1|-1（2）Y=|x2-1|（3）Y=x2+2|x|-1

在對這一類問題進行解答的過程中，必須高度警惕上述函數與二次函數之間存在的差異以及聯系，并學會如何使用分段函數去表達含有絕對值記號的函數，并在此基礎上繪制對應的圖象。

三、二次函數蘊含的知識能夠準確反映學生的數學思維

我們在高中階段所接觸到的二次函數，其中所蘊含的知識能夠十分準確、有效地反應學生的數學思維，當學生具備良好的數學思維時，必定能夠非常充分地運用二次函數來進行解題，例如在下述題目中。

題目：假設二次函數f（x）=ax2+bx+c（a>0），方程f（x）-x=0的兩個根依次為x1和x2，均滿足0

（1）當x∈（0，x1）時，請證明x

（2）假設函數f（x）的圖象是關于直線X=X0對稱的，請證明X0

根據題目中所提供的各種信息，我們應該能夠聯想到①f（x）=x，這就充分說明拋物線與直線y=x在第一象限當中存在兩個不同的交點；②我們可以將方程f（x）-x=0轉化成為ax2+（b-1）x+1=0，在這一方程式當中，兩個根分別為x1與x2，因此我們能夠得到x1與x2還有abc三者之間的關系式，從而可以得知能夠通過三種解題思路來解答這一題目；③運用一元二次方程的求根公式來推導相應的不等式。

四、結束語

綜上所述，二次函數中不僅具備豐富的內涵，同時還能夠進行充分地拓展。它是一種最為基本的冪函數，我們能夠將它作為代表來研究函數的性質以及內涵，從而用來構建函數、方程以及不等式之間的關聯性，從而編制出各種類型的數學題目，使數學題的編制以及解題過程變得更加靈活多樣，從而能夠更加充分地考察學生的數學基礎知識掌握能力以及運用能力，并評價學生的數學思維能力以及綜合素質。尤其是能夠通過學生對問題的解答深度來判斷學生對數學知識的應用水平以及對數學問題的解決能力，所以說，二次函數在高中數學中具有十分重要的應用價值。

參考文獻

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