3.1.1方程的根與函數的零點

陳軍麗

學習目標

理解函數零點的概念以及函數零點與方程的根的關系；會求函數的零點

重點與難點

會用零點存在性定理判斷函數零點的個數

一、問題引入

問題一：你會解下列方程么？

（1） （2）

二、講授新課

1.設置問題情境

問題一：（1） 解下列一 元二次方程： ， ， 。

（2）畫出下列函數的圖象： ， ， 。

①方程的根與對應的函數的圖象有什么關系？

答：其實方程的根就是函數圖象與 軸交點的橫坐標。

②對于一般的二次函數上述結論成立么？

一般結論：

2.函數零點的定義

對 于函數y = f （x），我們把使 的實數x 叫做函數y = f （x）的零點。

提問：零點是一個點嗎？（零點指的是一個 ）

3.等價關系

方程 有 實數根 函數 的圖象與x軸有 函數 有 。

例1：討論下列函數的零點的情況：

（1） ； （2） ；

（3） ； （4）

思考：我們已經學習了函數零點的定義，還學習了方程的根與函數零點的等價關系，在這些知識的探究發現中，我們也有了一些收獲，那我們回過頭來看看能不能解決 的根的存在性問題？

4.零點存在性定理

探究：觀察二次函數 的圖象 （如圖），我們發現函數 在區間[– 2，1] 上有零點。計算 與 的乘積，你 能

發現這個乘積有什么特點？在區間[2，4]上是否也具有這種特點呢？

結論：如果函數 在區間 [a ， b] 上的圖象是連續不斷的一條曲線，并且有 ，那么，函數 在區間 （a ， b） 內有零點，即存 在 ， 使得 ，這個c也就是方 程 的根。

零點存在性定理：如果函數y=f（x）在區間[a，b]上的圖象是連續不斷的一條曲線，

并且有f（a） ·f（b）<0，那么，函數y=f（x）在區間（a，b） 內有零點.

即存在c∈（a，b），使得f（c）=0，這個c也就是方程f（x）=0的根.

例2：判斷正誤，若不正確，請使用函數圖象舉出反例

（1）已知函數y=f（x）在區間[a，b]上連續，且f（a）· f（b）<0，則f（x）在區間（a，b）內有且僅有一個零點.（ ）

（2）已知函數y=f（x）在區間[a，b]上連續，且f（a）· f（b）≥0，則f（x）在區間（a，b）內沒有零點.（ ）

（3）已知函數y=f（x）在區間[a，b]上滿足f（a）·f（b） <0，則f（x）在區間（a，b）內存在零點.（ ）

（4）若函數 在區間[a，b]上的圖象是連續不斷的曲線，且函數 在（a，b）內有零點，則f（a）·f（b）的值（ ）

A.大于0 B.小于0

C.無法判斷 D.等于0

問題：現在能夠不用畫圖解決 的根存在性及根的個數問題了么？

三、課堂小結

1.函數零點的定義；

2.零點存在性定理；

3.數學思想方法。