應用數學方法處理物理問題

摘 要：運用數學方法解決一些典型的物理問題，是進一步深化理性思維、培養分析及解決問題能力的需要，也是物理教學應該要注意學科之間聯系的要素。由此可見，數學方法在物理學習中一樣適用。那么如何運用數學方法解決物理問題，使物理學習變得更有效呢？文章對此問題進行了探究，希望能為物理教學提供有益的借鑒。

關鍵詞：初中物理；數學方法；物理問題；教學探究

在分析、解決物理問題的過程中，嚴謹、巧妙地應用數學方法處理問題是理性思維的一個重要方面。在高考《考試說明》中明確提出要求考察應用數學處理物理問題的能力，要求能夠根據條件列出物理量之間的關系式，進行推導和求解，并根據結果寫出物理解證；必要時能使用幾何圖形、函數圖象進行表達、分析。下面通過幾個典型問題的求解來探索其應用特點。

一、利用三角形相似關系求解

例1，如圖1：A球固定，B球用一根絕緣細線懸于A球的正上方，由于A、B兩球帶同種電荷，被排斥開，為了使A、B球間的距離變為原來的一半，可采用的方法：

A. 其他條件不變，將A、B兩球的電量同時減半

B. 其他條件不變，將其中一個球的電量變為原來的四分之一

C. 其他條件不變，將其中一個球的電量變為原來的八分之一

D. 其他條件不變，將B球的質量變為原來的八倍

分析：此題看似簡單，但解題思路要求比較新穎，當B球先后在兩個不同的位置上時，分別形成兩個平衡力系，由平移平衡力系各力組成封閉圖形，再由三角形相似原理求解。

解：∵△mg.F1.T1～△OAB

∴■=■=■…（1）

∵△mg.F2.T2～△OAB'

∴■=■=■…（2）

又∵OB=OB' AB'=■AB

∴由（1）（2）知T1=T2

F1=2F2■k■=2k■■Q1Q2=8Q1'Q2'

知A、B錯而C對。

當m'=8m時，由（2）得：

■=■=■=■■■=■

比例式成立，故D對。

例2，試證明：當視地球為一勻質球體時，在地面下距地面越深，其重力加速度g的值越小。

證明：不考慮地球自轉，設地球半徑為R，質量為M，對某一質量為m的質點p，在地球表面有G■=mg，g=G■。

如圖2，當質點置于地面下某一深處與地心距離為r（r

推證如下：對r-R球殼，設球環面密度為σ，將兩小部分球面視為兩圓錐底面。質點到兩圓錐底面中心的距離為R1、R2。

兩圓底面的半徑為r1，r2，則由萬有引力定律，兩圓底面對質點的引力為：

F1=G■=G■…（1）

F2=G■=G■…（2）

根據相似三角形原理，如圖3

∵■=■ ∴■=■

同理■=■=■=■…（3）

把（3）式代入（1）、（2）式，得F1=F2，即兩部分地殼對質點P的萬有引力相互抵消（平衡）。以此類推，P點以上的外殼與P點以下的外殼的萬有引力均互為抵消，故P點只受到以r為半徑的地心球體對其萬有引力的作用。

G■=mg'，G■=mg'，g'=G■，∵P=■

代入得g'=■r，故r越小，則g'的值越小，即離地心越近的地方其重力加速度越小。

相似三角形相似比關系與物理原理綜合運用，使看似復雜的問題簡單化，并能找到破解問題的蹊徑。

二、利用函數關系或其他代數方法進行極值判斷

利用對二次函數的配方法或其函數y=ax2+bx+c（a≠0）圖象頂點坐標（-■，■）和開口方向或利用其他代數方法進行極值判斷。

例3，試證明：在完全非彈性碰撞中其動能損失最大。

證明：設質量為m1、m2的小球在光滑水平面上分別以速度v1、v2對心相碰，碰后速度分別為v1'、v2'，則由動量守恒定律可得：m1v1+m2v2=m1v1'+m2v2'=P …（1）

碰后可能的動能損失為：△Ek=Ek-Ek'

△Ek=（■m1v12+■m2v22）-（■m1v1'2+■m2v2'2）…（2）

（此項是一定的） （只有此項最小則│△Ek│最大）

∴Ek'=■m1v1'2+■m2v2'2 又由（1）得：

v1'=■

△Ek'=■m1·■+■m2v2'2

=■[v2'2-■v2'+■]

令A=■，B=■，C=■

∴Ek'=A（v2'2-Bv2'+C）=A[（v2'-■）2+C-（■）2]

僅當v2'=■時，即v2'=■=■時，Ek'為最小

v1'=■=■=■=■=v2'

碰后只有當v1'=v2'即完全非彈性碰撞時，動能損失△Ek才最大。

例4，一帶正電的質點P放在A、B兩個帶電量相等的負點電荷電場中，位于A、B連線的垂直平分線上的C點處（如圖4所示）。假設質點只受電場力作用，若將P由靜止釋放，則它的運動情況是怎樣的？

分析：設AB間距為2a，A、B在C點處所產生的合場強為E，則由點電荷場強計算E=k■。

E=2k·■·cosα=■sin2α·cosα

令t=sin2α·cosα，則t2=■sin2α·sin2α·2cos2α

∵sinα，cosα為正值

∴a·b·c≤（■）3

由定和求積原理知，只有a=b=c時，a·b·c才有極大值，即t才有最大值，最大值的條件是：

sin2α=2cos2α■tgα=■ sinα=■ cosα=■

即P在AC直線與中垂線成α=arctg■角時所受的電場力最大，故P將在O點附近振動（作變加速運動，在O點時速率最大，加速度為零）。

數學手段的應用，使看似模糊的問題有了清晰的判斷結果。

三、建立正確反映物理過程的數學模型求解

例5，一人通過一個動滑輪用恒力F拉動物體A，F與水平地面夾角為θ，如圖5所示，一切磨擦力不計，當物體A被拉動向右移動距離S的過程中，人的拉力所做的功為多少？

解：當物體被拉動S時，F作用于繩端，從A位置拉至B位置，用A'B=AA'=S

△AA'B為等腰三角形，SAB=2S·cos■

F與SAB的夾角為■

故F所做的功W=F·SAB cos■=F·2Scos2■

∵cosθ=2cos2■-1

∴W=FS·2cos2■=FS（1+cosθ）

所以，大膽地運用數學知識建構模型會有意想不到的收獲。

總之，物理教師要懂得運用數學的方法來指導學生學習，將抽象的物理問題簡單化，如此物理難題便可迎刃而解。