立體幾何問題常見的典型錯誤及應對策略

立體幾何在高中數學中占有極其重要的地位.其本質就是培養學生空間想象能力，優化數學思維品質.但在命制或解答過程中，無論是教師還是學生甚至專家都會出現這樣或那樣的典型錯誤.與高中數學中其他知識模塊不同的是，立體幾何中出現的錯誤的主要根源在于概念掌握不清.尋覓有效應對并減少乃至杜絕這些錯誤的策略成為一線教師必須面對的課題.

筆者從教三十余年，最大、最深的感受就是概念及概念教學的重要性.概念是數學之魂、數學之根.筆者近年來對高中數學主要知識模塊（如三角、數列等）及核心概念（如定積分、基本（均值）不等式等）在教授或應用過程中出現的常見典型錯誤進行深度剖析，有幸先后發表拙文[1]～[10]等，其中文[3]、[6]、[7]全文轉載在人大復印資料《高中數學教與學》上. 筆者有一個夢想，那就是渴望并繼續將高中數學主要知識模塊及核心概念中常見、主要的典型錯誤歸類，為師生奉獻一份實用且珍貴的資料，讓考生會且對、對且全.基于這一心愿，本文在文[4]基礎上進一步探究立體幾何問題中常見的典型錯誤及應對策略.不當之處，敬請批評指正.

1.書寫不規范而導致錯誤

【案例1】（注：這類案例在作業與考試中隨處可見，囿于篇幅所限，此處略去具體案例）

典型錯誤：證明過程中缺少關鍵詞“相交直線”“直線在平面內”“在平面外”，等等.

應對策略：教師們批改作業時嘆聲一片：“為何這樣粗心呢？為何不守規矩呢？……”其實教師并非責怪學生不會解答某一類試題，而是惋惜學生書寫不規范，也就是常說的“會而不對，對而不全”.立體幾何中，像這類因書寫不規范而導致的常見典型錯誤主要有：

①證明直線與平面垂直時，沒有強調“兩條相交直線”；

②證明平面與平面平行時，沒有強調“兩條相交直線”；

③證明直線與平面平行時，沒有強調“平面內一條直線、平面外一條直線”；

④證明直線與平面平行時，以為利用空間向量（基底法或坐標法）求出直線方向向量與平面法向量數量積為零即可，而沒有強調“這條直線在平面外”.

此外還有翻折問題中沒有交代翻折前后角度及距離是否變化；過點作平面垂線時沒有鋪墊兩個平面垂直，等等.

2.解答不嚴謹而導致錯誤

【案例2】（注：這類案例在作業與考試中比比皆是，囿于篇幅所限，此處略去具體案例）

典型錯誤：求解三類角（異面直線所成角、直線與平面所成角、二面角的平面角）時沒有指明，更沒有強調所求角的取值范圍.

應對策略：教師們閱卷時痛心疾首：“這種問題天天在強調！都已經講過N遍……”其實教師心塞的是千叮嚀、萬囑咐要特別注意立體幾何中三類角的取值范圍，可學生在具體實施操作時根本就不顧及.像這類因解答不嚴謹而導致的常見典型錯誤主要有：

①求異面直線所成角時，把角寫成鈍角或余弦值為負數；

②通過平移直線求異面直線所成角時往往說“則∠AOB就是……”，而沒有指明“則∠AOB（或其補角）就是……”；

③求直線與平面所成角時，把角寫成鈍角或余弦值為負數；

④求二面角的平面角時，一律看作銳角或者鈍角，而不會依據題意、圖形先判斷角的范圍.

此外還有不按右手法則建立空間直角坐標系；不標明坐標軸；不加論證就默認三條直線兩兩垂直而建系，等等.

如果說上述兩類典型錯誤的根源在于書寫不規范、論證不嚴謹，那么立體幾何問題中，更多的錯誤根源在于概念混淆、模糊不清.

3.對“平面”理解不透而導致錯誤

【案例3】一個正四棱錐和一個正四面體的所有棱長都相等，將它們的一個三角形面重合在一起拼接成一個新的幾何體，則新的幾何體是（ ）

A.五面體 B.六面體

C.七面體 D.八面體

典型錯誤：命題專家認為有兩個面重合，且重合后“淹沒”在新的空間幾何體里面而“看不見”，因此拼接得到的新幾何體共有5+4-1-1=7個面，即七面體，故選C.

錯因及應對策略：案例3是一道美國競賽試題，那新的幾何體到底有多少個面呢？請看：

“平面”是不加以定義而直接描述的概念，是立體幾何中最基礎、最原始的概念.不少學生認為“平面”“簡單”得可有可無，不少教師認為它“容易”得可講可不講.事實上，“平面”是構建空間幾何體最基本的“原材料”，是一切空間圖形的“基石”，因此必須舍得花時間、花精力，采用“溫火”方式細細“咀嚼”并貫穿整個立體幾何始終，方能品出其中內涵.

4.因“凸凹”模糊不清而導致錯誤

【案例4】在棱長為6的正方體ABCD-A1B1C1D1中，3C1E=2C1D1，2C1F=C1B1，連接EF，FB，ED，BD，則幾何體EFC1-DBC的體

錯因及應對策略：上述兩種解法看似正確，結果卻截然不同，原因何在呢？“擒賊先擒王.”既然是求空間幾何體體積，那么必須從多面體概念“由若干個平面多邊形圍成的幾何體叫作多面體”入手. 多面體的概念看似極其簡單，但要真正理解，卻十分不易.

我們順著典型錯誤1的思路，即按棱臺處理.要利用棱臺的體積公式來計算體積，首先幾何體EFC1-DBC必須是多面體，那這個幾何體是多面體嗎？顯然，由圖2可知△EFC1、△DBC、四邊形DCC1E、四邊形BCC1F都是平面圖形，但四邊形BDEF根本就不是平面四邊形，為什么？我們從反證法視角來看：若四邊形BDEF是平面四邊形，由于平面ABCD與平面A1B1C1D1平行，依據平面與平面平行的性質定理可得EF與BD平行，又BD與B1D1平行，則EF與B1D1平行，這是不可能的，因為C1E=4，C1F=3.因此四邊形BDEF不是平面四邊形，當然幾何體EFC1-DBC不可能是多面體.既然不是多面體，那更不可能是棱臺，這正是上述典型錯誤1的根源所在.

事實上，棱臺可以視為用平行于棱錐底面的平面去截棱錐，底面和截面之間的部分.既然棱臺的“祖宗”是棱錐，那么棱臺就可以還原為棱錐，即棱臺各條側棱延長后必然相交于一點.我們從逆否命題視角來看：若側棱延長不相交于一點，那么就不是棱臺.為此我們假設DE的延長線與BF的延長線相交于點P，則P點必然在直線CC1上，利用相似的性質可得

PC1PC=FC1BC=36，PC1PC=EC1DC=4636=46.

出現矛盾！故幾何體EFC1-DBC不可能是棱臺，再一次說明這種解法是錯誤的.

初看典型錯誤2似乎正確，其實不然！因為由圖4發現幾何體EFC1-DBC其實是凹多面體，而上述典型錯誤2本質上默認了所求幾何體EFC1-DBC是凸多面體，這正是上述典型錯誤2的癥結所在.那正確解法是什么呢？請看：

這一凸一凹正好相差6，這就是為何上述典型錯誤2比正確解答的結果多6的原因所在.

目前各種版本教科書上呈現的幾何體大多是凸多面體（注：教科書中的面積及體積公式也是針對凸多面體而言的），因此學生（甚至部分教師）誤以為多面體都是凸多面體，因此教師在教學中應該明確指出并非所有幾何體都是凸多面體，并適當舉一些凹多面體案例讓學生辨析，同時懇請教科書主編在再版時適當添加凸多面體概念，這樣可以更加有效地降低這些錯誤發生的概率.正如文[6]所言，剖析概念就是“照鏡子”，即深刻反思教師概念教學中的失誤之處，誠懇看作檢查自己教學效果的一面鏡子，提高自身業務水平；剖析概念也是“治病根”，即順著思路，追根溯源，深究錯誤起因、深挖錯誤根源，從本源上找出 “元兇”、鏟除 “土壤”、肅清“根基”，真正鞏固概念.類似錯誤經常發生在對復雜空間幾何體分割或補體中.

5.“正棱柱”概念一知半解而導致錯誤

【案例5】一個棱柱是正四棱柱的條件是（ ）

A.底面是正方形，有兩個側面是矩形

B.底面是正方形，有兩個側面垂直底面

C.底面是菱形，有一個頂點處的三條棱兩兩垂直

D.每個側面都是全等矩形的四棱柱

典型錯誤：幾乎絕大部分考生不假思索地否定C或D而毫不猶豫地選擇A或B.

錯因及應對策略：案例5是某地高三模擬試題，是依據教材習題改編而來，看似簡單但得分的統計結果讓人大跌眼鏡，僅僅不到5%的學生答對！為什么？因為正棱柱定義明確要求底面必須是正多邊形.殊不知，正方形就是特殊的菱形，就是菱形與矩形的“交集”.況且正棱柱還有一個“致命”條件，即必須滿足是直棱柱，A中“兩個側面是矩形”并不能保證側棱與底面垂直；同理B中“兩個側面垂直于底面”也不能確保側棱與底面垂直，因而A和B都是錯誤的.其實只要將A與B條件中添加兩個漢字“相鄰”，那么都是正確的.因為“相鄰兩個側面是矩形”與“相鄰兩個側面垂直于底面”的棱柱都可以證明是直棱柱，鑒于此，選擇支D必然是直棱柱，但是其底面可能是菱形，故只能選擇C.由C中條件“有一個頂點處的三條棱兩兩垂直”不僅容易證明側棱與底面垂直，而且還可以得到底面四邊形有一個內角為直角，結合已知“底面是菱形”，則底面是正方形，因此選擇支C才是正確的.

概念是數學的細胞，概念是數學的靈魂，概念是形成數學能力的根基，唯有厘清概念才是解決問題的法寶. 類似錯誤也常見于正棱錐、正棱臺的有關問題中，應該引起師生的高度關注.

6.難以構造恰當模型而導致錯誤

【案例6】已知a，b是兩條異面直線，以下四個命題：

①過不在a，b上的任意一點，可作一個平面與a，b都平行；

②過不在a，b上的任意一點，可作一條直線與a，b都相交；

③過不在a，b上的任意一點，可作一條直線與a，b都平行；

④過a可以并且只可以作一個平面與b平行.

其中假命題的序號為 .

典型錯誤：學生普遍對相關概念模糊不清，認為命題①與命題②是真命題.

錯因及應對策略：面對案例6，很多考生幾乎無從下手，一會兒感覺上述命題都是真命題，可又無法嚴密論證；一會兒感覺上述命題都是假命題，可又舉不出反例，只能瞎蒙.某地曾將案例6作為招聘教師的考題，結果90%的教師答錯.事實上，新課標教科書與原來教科書之間的差異不僅體現在內容編排順序上，更凸顯在課改理念上.新課標教科書自始至終貫徹“直觀感知、動手操作、論證推理、度量計算”的理念，其中將“直觀感知”突出體現在最熟悉、最簡單、最有效的“長方體”模型上.因此在解決立體幾何問題，尤其是涉及異面直線的問題時，我們更應該牢記“長方體”這一最佳、最美載體，正可謂“得長方體者得立體幾何天下也”.

其實，對于①，如圖5所示，我們把棱A1D1，AB所在直線分別看作異面直線a，b，確實存在過不在異面直線a，b上的某些點，可以作一個平面與a，b都平行.比如過長方體ABCD-A1B1C1D1的棱CC1上的點M（不包括端點）所作的平行于平面ABCD的平面MNPQ都滿足條件.那么究竟有哪些點不滿足呢？我們知道對于異面直線a，b來說，必然存在一對分別過a，b的平行平面α（即為平面A1B1C1D1），β（即為平面ABCD），此時只要點F落在平面α或平面β內（如圖6所示），那么過點F就不能得到滿足題意的平面，故①是假命題.這樣做不僅使學生真正理解概念，而且心中明白到底哪些點滿足、哪些點不滿足.學生一旦掌握，以后再也不會出現類似錯誤.

對于②，同理可得當F∈平面ABCD或點F∈平面A1B1C1D1（如圖6所示），不可能作一條直線同時與a，b都相交.至于③，利用反證法可以立即予以否定.④的本質就是求異面直線所成角時，將直線b平移到直線b′，且直線b′與直線a相交，此時相交直線確定唯一的平面，即為所求作的唯一平面（如圖7所示），故④是真命題.因此假命題的序號為①②③.

新課標人教版教科書主編在書首“主編寄語”中明確指出，數學是清楚的.清楚的前提，清楚的推理，得出清楚的結論.數學中的命題，對就是對，錯就是錯，不存在絲毫的含糊.闡述數學概念，既可以從正面給予嚴密論證，也可以從反面結合模型（即反例）進行否定，這樣一正一反，相得益彰，交相輝映，從而實現概念清晰化、準確化、精致化.

7.無法與其他知識綜合運用

【案例7】如圖8所示，在△ABC中，AB=BC=2，∠ABC=120°.若平面ABC外的點P和線段AC上的點D，滿足PD=DA，PB=BA，則四面體PBCD的體積的最大值是 .

典型錯誤：有的借助正弦定理、余弦定理構建三角函數來處理；有的則是構建函數并在分類討論的基礎上再利用導數求解；有的則是借助圖形的翻折、全等及對稱，再構建三角或函數關系式，等等，其過程與運算極其復雜，最終不得不半途而廢，前功盡棄.

錯因及應對策略：案例7為2016年浙江省高考理科數學第14題.無論是命題專家還是網絡還是期刊，給出的解答過程都是相當復雜的.究其原因在于沒有真正理解問題本質.求四面體PBCD體積最大值，就說明體積在不斷變化之中.既然變化就應該在動中求靜，尋覓其中的不變元素，這就是△BCD中CD邊上的高恒為1，這既是抓手更是破解問題的切入口.因此只要直接借助基本（均值）不等式及適當放縮就可以得到妙不可言的解法：

設AD=x（0

V=13hS△BCD≤13PD·S△BCD=13x·12（23-x）

=16x（23-x）≤16x+（23-x）22=12.

當且僅當h=PD=x，x=23-x h=PD=3時四面體PBCD的體積最大，最大值為12.

令人驚訝的是：上述解答過程中沒有用到已知條件“PB=BA”，由此說明這一條件是多余的.嚴謹是數學的生命，因此在命制試題時，務必特別謹慎設置條件.其實近年來這類因條件設置不當、不妥乃至錯誤的案例時有發生（詳見文[8]）.讀者一定會問：為何命題專家會多給一個條件“PB=BA”呢？筆者斗膽猜測：其一，源于命題專家自身定式思維，即從圖形翻折、全等及對稱出發，將△PDB看作由△ADB翻折而來，故而設置“PB=BA”使得△PBD與△ABD全等，才能順著翻折思路命制并解答.其二，同一個省份的文科數學與理科數學試題，一般都是一套人馬命制兩份試題（文科數學與理科數學），因此我們還可以從上述案例7的姊妹題，即2016年浙江省高考文科數學第14題入手，也許從這一角度可以佐證筆者上述猜測.原題如下：

如圖9所示，已知平面四邊形ABCD，AB=BC=3，CD=1，AD=5，∠ADC=90°.

沿直線AC將△ACD翻折成△ACD′，直線AC與BD′所成角的余弦的最大值是 .

顯然△ACD與△ACD′全等，作為文科數學試題，命題專家直接給出“翻折”二字.相對于理科數學試題，這也是命題專家有意給文科考生降低難度的一種方式與策略.

8.長期“頑癥”而導致沒完沒了的錯誤

【案例8】已知異面直線a與b所成的角為50°.P為空間一定點，則過點P且與直線a與b所成的角都是30°的直線有且僅有（ ）

典型錯誤：不少學生甚至教師無從下手，甚至不少書刊中存在各類錯誤.

錯因及應對策略：將異面直線a與b平移且相交于點P，如圖10所示，AA1∥a，BB1∥b，則∠APB=50°.記CC1與DD1為兩組對頂角的角平分線，因∠APC=∠BPC=25°<30°，故作直線PQ，使得∠QPA=∠QPB=30°.（為什么？理論依據就是三余弦定理，即cos∠QPC·cos∠BPC=cos∠BPQ），相應地，PQ關于直線CC1的對稱直線PQ′也滿足題意.由于∠BPD=∠A1PD=65°>30°，故不存在射線PR，使得∠RPB=∠RPA1=30°.綜上所述，滿足題意的直線有且只有2條.

上述案例8為1993年全國高考理科數學試題，時隔20多年，盡管有很多文章對此類問題進行深入研究，但仍然經常在各類文章，甚至在名家著作中發現各類錯誤，難怪羅增儒教授在其著作《怎樣解答高考數學題》（1994年，陜西師范大學出版社）中特別指出：“對于這類問題，鑒于書刊上一再出現錯誤……”由此可見，很有必要對此類問題涉及的各種情況歸類，以免后來人繼續在此類問題上重蹈覆轍.現列表如下：

記異面直線所成角為θ，過空間中一點與兩條異面直線均成等角αθ，α∈0，π2

值得說明的是：限于篇幅，本文僅僅列舉了立體幾何中最典型的幾類錯誤.事實上，還有很多常見錯誤，比如三視圖與直觀圖的轉化；空間圖形的翻折、旋轉；探究性問題、開放性問題；立體幾何與函數、不等式、三角、向量交匯，等等.

行文結束，相信讀者一定會納悶：為何文中列舉的案例都是選擇及填空題等“小兒科”而沒有列舉立體幾何綜合性解答題案例.自從空間向量引入及坐標運算介入，有關立體幾何問題基本上都有三類方法，即邏輯論證法（即綜合法）、基底法以及建系法，尤其是借助空間直角坐標系的建立，將抽象邏輯推理論證轉化為純代數運算.從某種意義上說，立體幾何綜合解答題變得簡單、容易一些，這是不爭的事實.然而，也許正是空間直角坐標系的建立，代數計算替代了嚴謹的推理過程，淡化了對立體幾何概念的深度理解，弱化了空間想象能力的提升，從而導致列舉的上述各類錯誤出現.不得不承認，這也是立體幾何出現錯誤的原因之一.筆者在文[4]中通過一個具體案例并結合多種版本教科書對立體幾何知識的編排順序進行深度剖析并指出目前在立體幾何教學中存在的弊端.

隨著2016年各省市逐步回歸全國卷，不少一線教師與研究專家直言立體幾何試題的最大變化就是全國卷特別重視空間想象能力的考查.由此可見全國卷對立體幾何的考查真正考查到核心素養之處，考查到數學能力之處，考查到教師教學的“軟肋”，考查到學生學習的“死穴”.這也從一個側面完美地詮釋為何近年全國卷加大考查空間想象能力的力度、厚度與寬度（如不規則幾何體、三視圖、球，等等）.從這個意義上來講，我們為回歸全國卷而欣慰，終于還立體幾何教學本來面目.

參考文獻

[1]王淼生. 例談運用均值不等式的方法與策略——從一道高考試題說到奧賽題[J].數學通訊（教師刊），2013（2）：58-61.

[2]王淼生.運用均值不等式的靈魂在于湊配[J].中學數學教學參考（上旬），2013（6）：57-58.

[3]王淼生. 利用定積分概念解題的幾個注意點[J].中國數學教育（高中版），2014（5）：57-60.

[4]王淼生. 感悟課改理念 洞察教材意圖 開展解題教學——從空間向量安排在立體幾何中的先后次序說起[J].中學數學教學，2014（5）：1-5.

[5]王淼生. 三角問題常見的典型錯誤及應對策略[J].中國數學教育（高中版），2014（12）：48-52.

[6]王淼生. 概念教學不妨嘗試“事后補救”[J].中小學數學（高中版），2015（12）：40-43.

[7]王淼生. 追尋三角學發展史 領悟主編意圖 理清教學困惑[J].中國數學教育（高中版），2016（1-2）：57-60.

[8]王淼生. 謹慎設置數學試題的已知條件[J].數學通訊（教師刊），2015（10）：33-36.

[9]王淼生.從涉及分布列概念的兩道試題說起[J].數學通訊（學生刊），2016（11-12）：47-49.

[10]王淼生.預防解題中不規范與錯誤的策略[J].數學教育研究，2014（3）：64-66.