基于一道高考試題的“一題多解”和“一題多變”

摘 要：“一題多解”能快速整合所學知識，培養學生細致的觀察力、豐富的聯想力和創造性的思維能力.“一題多變”在形式上不同，但實質上相同.教學中的“一題多解”和“一題多變”旨在通過強化訓練提高學生解題技巧與技能，做到舉一反三、觸類旁通，使學生的思維既可發散，又可回歸，做到收放自如.本文通過對2013年高考課標Ⅰ卷16題的分析、解法探究和變式練習，淺談試題“一題多解”和“一題多變”的必要性和重要性.

關鍵詞：高考數學；一題多解；一題多變；解題能力

眾所周知，“一題多解”訓練是克服學生思維定式的一種有效途徑，也是培養學生發散思維和思維靈活性的有效方法.通過長期“一題多解”的訓練，學生可以從多角度、多途徑尋求解決問題的方法，開拓解題思路，并從多種解法的對比中選擇最佳解法，總結解題規律，提高分析問題、解決問題的能力，增強思維的發散性和創造性.下面以一道高考試題為載體淺談“一題多解”和“一題多變”的必要性和重要性.

2013年全國課標Ⅰ卷文科數學第16題，題目雖不新穎，但是內涵豐富、簡潔明快，解法豐富多樣，這類題型的練習對學生的發散性思維有一定的啟發性，引起了筆者的深入探索和思考.題目如下：

設當x=θ時，函數f（x）=sin x-2cos x取得最大值，則cos θ= .

一、試題分析

本題屬于傳統題，考查以三角函數的輔助角公式、導數和向量等為工具解決函數最大值問題；以三角函數為載體，考查數形結合思想、等價轉化思想、函數方程及不等式思想.

二、解法探究（一題多解）

本題解法很多，不同的解法體現不同的思維層次和思考角度，考生較容易入手，同時也要求考生要有一種勇于探索、敢于實踐的精神.

【解法1】（利用導數與極值、最值的關系將問題轉化為方程組問題）

f（x）=5sin（x-φ）的最大值為5，根據條件可知f′（θ）=cos θ+2sin θ=0，及sin θ-2cos θ=5，

解得cos θ=-255.

【解法2】（利用向量數量積的意義將問題轉化為幾何問題）

將f（x）=sin x-2cos x=（-2，1）·（cos x，sin x）視為向量的數量積問題，當兩向量共線且同向時取得最大值，如圖，易知cos θ=-255.（本法本質同柯西不等式）

【解法3】（利用潛在條件將問題轉化為方程組問題）

函數f（x）=sin x-2cos x=5sin（x-φ）的最大值為5，由條件得

sin θ-2cos θ=5，sin2θ+cos2θ=1，利用代入消元法消去sin θ得（2cos θ+5）2+cos2θ=1，

即5cos2θ+45cos θ+4=0，（5cos θ+2）2=0，

解得cos θ=-255.

【解法4】（利用輔助角公式巧妙解決問題）

f（x）=sin x-2cos x=5sin x·15-cos x·25=5sin（x-φ），

其中cos φ=15，sin φ=25.

因為當x=θ時，函數f（x）=sin x-2cos x取得最大值，

所以θ-φ=π2+2kπ，k∈Z，即θ=φ+π2+2kπ，k∈Z.

故cos θ=cosφ+π2=-sin φ=-25=-255.

【解法5】（利用二階導數將問題轉化為函數的凹凸性問題）

根據條件知f′（θ）=cos θ+2sin θ=0，結合sin2θ+cos2θ=1解得cos θ=±255.

又函數取得最大值附近函數圖象上凸（可通過圖象上點的切線的斜率變化理解）[1]，

即f″（θ）=-sin θ+2cos θ<0，所以cos θ=-255.

三、解后反思

函數的極值和最值問題是高考的重點和難點問題，解決此類問題主要從幾何角度和代數角度兩大思路思考，常常采用數形結合、導數和重要公式等方法，具體問題還需要具體分析.

①一般將問題轉化為我們熟悉的最值問題，直接降低解答的難度，靈活應用所學知識解決（如解法1和2）.

②最值問題的求解要求同學們在按部就班條件下還要具有膽大心細、敢想敢算的精神.（如解法3、4和5）.

③一般地，設當x=θ時，函數f（x）=asin x+bcos x（ab≠0）取得最大（小）值，則可用上述方法求出sin θ和cos θ，進一步可求tan θ、sin θ±cos θ、sin 2θ、cos 2θ和tan 2θ等.

我們在試題講解過程中要滲透學生從多角度深刻剖析問題.只有讓學生的思維在“多角度”上下功夫，才能取得事半功倍的良好效果，學生的思維才能在不斷地展開中得到充分的訓練和培養.

四、變式練習（一題多變）

為了加強學生對某一類問題的掌握，教師適當地對題目加以改編再練習，會起到強化解題思想方法的積極作用，能夠讓學生在親身實踐中尋求變通，悟出其中的來龍去脈，掌握科學的解題規律和法則.在實際教學過程中，我們應抓住這個有效時機讓學生親自去感受、體驗、思考、動手做、總結和反思，使其體會到靈活地應用所學知識、思想和方法創造性地解決問題的美妙感覺，進而培養學習的興趣，提高解題的信心.

下面給出6個變式練習及其簡要解答供大家參考.

【變式題1】設當x=θ時，函數f（x）=sin x-2cos x取得最大值，則cos 2θ= .

【變式題2】設當x=θ時，函數f（x）=sin x-2cos x取得最大值，則2θ是第 象限角.

【變式題3】設當x=θ時，函數f（x）=sin x-2cos x取得最小值，則tan θ= .

【變式題4】若x∈0，3π4，則函數f（x）=sin x-2cos x的最大值為 .

【變式題5】若x∈[0，m]時，函數f（x）=sin x-2cos x的最大值為322，則正數m的值是 .

【變式題6】如果函數f（x）=sin 2x+acos 2x的圖象關于直線x=π8對稱，那么a= .

【變式題1】【解】根據高考題目解法可知cos θ=-255，

故cos 2θ=2cos2θ-1=35.

【變式題2】【解】根據高考題目解法知cos θ=-255，sin θ=55，

故cos 2θ=2cos2θ-1=35，sin 2θ=2sin θcos θ=-45，故2θ是第四象限角.

【變式題3】【解】下面只給出直接求導方法.

當x=θ時，函數f（x）=sin x-2cos x取得最小值，

f′（θ）=cos θ+2sin θ=0，則tan θ=-12.

【變式題4】【解法1】（利用導數將問題轉化為求函數最大值問題）

根據條件知f′（x）=cos x+2sin x，當x∈0，π2時，f′（x）=cos x+2sin x>0；

當x∈π2，3π4時，f′（x）=cos x+2sin x=cos x（1+2tan x）>0.

故f（x）=sin x-2cos x在0，3π4上單調遞增，f（x）max=f3π4=322.

【解法2】（利用向量數量積的意義將問題轉化為幾何問題）

將f（x）=sin x-2cos x=（-2，1）·（cos x，sin x）視為向量的數量積問題，易知當x=3π4時數量積取得最大值，f（x）max=322.

【解法3】f（x）=sin x-2cos x=5sin（x-θ），其中sin θ=25，cos θ=15.

不妨取θ∈π4，π2，則-π2<-θ≤x-θ≤3π4-θ<π2，由此可知當x=3π4時f（x）取得最大值，f（x）max=322.

【變式題5】【解法1】（利用導數將問題轉化為求函數最大值問題）

根據條件知f3π4=322，f′（x）=cos x+2sin x，當x∈0，π2時，f′（x）=cos x+2sin x>0；

當x∈π2，3π4時，f′（x）=cos x+2sin x=cos x（1+2tan x）>0.

故f（x）=sin x-2cos x在0，3π4上單調遞增，故m=3π4.

【解法2】（利用向量數量積的意義將問題轉化為幾何問題）

將f（x）=sin x-2cos x=（-2，1）·（cos x，sin x）視為向量的數量積問題，又f3π4=322，易知當x=3π4時取得最大值，故m=3π4.

【解法3】f（x）=sin x-2cos x=5sin（x-θ），其中sin θ=25，cos θ=15.不妨取θ∈π4，π2，結合條件有-π2<-θ≤x-θ≤m-θ<π2，知x=m時f（x）取得最大值，π2

【變式題6】【解法1】根據條件知f（0）=fπ4，即a=1.

檢驗：當a=1時，f（x）=2 sin2x+π4，則fπ8=2，因此f（x）的圖象關于x=π8對稱.故a=1滿足題意.

【解法2】f′（x）=2cos 2x-2asin 2x，由題意知f′π8=2cosπ4-2asinπ4=0，得a=cosπ4sinπ4=1.

【解法3】利用輔助角公式f（x）=sin 2x+acos 2x=a2+1sin（2x+θ），

其中a=tan θ.

根據條件知fπ8=a2+1sinπ4+θ=±a2+1，故sinπ4+θ=±1.

解得θ=π4+kπ，k∈Z，a=tanπ4+kπ=1.

下面再給出兩道不錯的一題多解練習題供讀者參考：

2015年重慶高考文科數學14題：

設a，b>0，a+b=5，則a+1+b+3的最大值為 .

2009年安徽高考理科數學14題：

給定兩個長度為1的平面向量OA和OB，它們的夾角為120°.如圖所示，點C在以O為圓心的圓弧AB上變動.若OC=xOA+yOB，其中x，y∈R，則x+y的最大值是 .

五、結束語

“一題多解”和“一解多變”訓練是提高數學解題能力的有效途徑.學生通過“一題多解”，可以開闊思路、發散思維，學會多角度分析和解決問題；通過“一題多變”，能夠加深思維深度，學會由表及里抓住事物的本質，找出事物間的內在聯系.試題多種解法的探究僅僅是試題研究的一個開端.對解法的探索是在踐行我們所學的知識技能和思想方法，同時也使我們的思維更廣闊、思想更深刻.對試題本質的探源，使我們更深刻地認識問題，將新舊解題經歷跨時空貫通起來，這又是一個新的開始.

美國著名數學教育家波利亞說過[2]，掌握數學就意味著學會解題，而想要學會解題，好的數學題目是關鍵.一道好的試題之所以能引起大家的共鳴，不是因為其獨特的解題技巧，而是其中所蘊含著的數學思想和方法.本文中的試題素材平樸，但求解過程精彩紛呈，妙趣橫生，真可謂是一道平中孕奇的好題.正如波利亞說“一個專心的認真備課教師能拿出一個有意義的但不復雜的題目，去幫助學生發展問題的各個方面，使得通過這道題，就好像通過一道門戶，把學生引入一個完整的領域”.

參考文獻

[1]華東師范大學數學系. 數學分析第四版上冊[M].北京：高等教育出版社， 2011.

[2]余啟西.以智慧啟迪智慧學好數學[J].福建中學數學，2015（5）：15-17.