淺析變量替換在高等數學中的典型應用

梁月亮+續曉欣

【摘要】定積分的計算、二重極限的計算、函數導數的計算以及微分方程的求解是高等數學的重要組成部分，這些內容既是重點也是難點.本文結合作者的教學經驗和學生的探討總結，將變量替換的簡單應用做了典例分析，希望能對理工科學生學習高等數學有所幫助.

【關鍵詞】定積分；二重極限；微分方程

【基金項目】資助項目：中北大學教學教育改革項目。

文獻[1-2]通過具體例子說明了變量替換在不定積分計算方面的廣泛應用.本文作者通過典型例題分析了變量替換在定積分的計算、二重極限的計算、變限積分函數的求導，以及微分方程的求解等方面的廣泛應用.以下例題是筆者在高等數學授課過程中學生們經常遇到的問題.

一、變量替換在定積分計算中的應用

所給定積分按照（分部積分等）常規思路很難解決，但是通過適當的變量替換問題就變得很簡單.事實上，在證明定積分“偶倍奇零”時就是通過做變量替換t=-x獲證的.

二、變量替換在二重極限計算中的應用

變量替換除了在一元函數定積分的計算中表現出很重要的地位，同時在計算函數極限時有時也會突顯其作用，有時甚至可以將二元函數的極限問題簡化，即將二元函數的極限問題轉換成一元函數的極限問題.

三、變量替換在偏微分方程求解中的應用

變量替換除了在計算函數極限與積分時用來簡化問題之外，在求方程解時，往往也通過變量替換來化簡方程.大家熟知的伯努利方程就是通過變量替換z=y1-n化成一階線性非齊次方程后進而求出其通解的.事實上，在偏微分方程的求解過程中，變量替換也會起到關鍵作用.

四、變量替換在偏微分方程求解中的應用

即便是大家熟知的比較簡單的函數求導問題，有時也有必要通過做相應的變量替換來化簡問題.特別是被積函數為復合函數的變上（下）限積分函數的求導問題，往往需要通過變量替換來計算.

【參考文獻】

[1]雷彩明.積分計算中變量代換研究[J].現代商貿工業，2011（5）：223-224.

[2]馬玲，梁勝增.利用變量代換求不定積分的方法探討[J].科技向導，2011（27）：130.endprint