等候線問題數學模擬研究

程衛

【摘要】排隊論是研究服務系統中排隊現象隨機規律的科學，銀行決策服務網點ATM臺數是典型的排隊論問題.針對服務時間和達到時間概率分布數據不足的現實問題，本文利用有限統計數據，假定服務時間正態分布、間隔時間均勻分布，利用排隊理論進行模擬計算，以期為銀行決策提供建議.

【關鍵詞】排隊論；概率分布；數學模擬；邏輯判斷

一、引 言

日常生活中存在大量有形和無形的排隊現象，它是數學運籌學的分支學科，也是研究服務系統中排隊現象隨機規律的學科.排隊論（queuing theory），或稱隨機服務系統理論，是通過對服務對象到來及服務時間的統計研究，得出這些數量指標（等待時間、排隊長度、忙期長短等）的統計規律，然后根據這些規律來改進服務系統的結構或重新組織被服務對象，使得服務系統既能滿足服務對象的需要，又能使機構的費用最經濟或某些指標最優.排隊論廣泛應用于計算機網絡，生產，運輸，庫存等各項資源共享的隨機服務系統.排隊論研究的內容有3個方面：統計推斷，根據資料建立模型；系統的性態，即和排隊有關的數量指標的概率規律性；系統的優化問題[1]-[2].

隨著社會經濟的發展和技術的進步，銀行自動存取款機（ATM）逐漸成為銀行服務的主要形式.某國有商業銀行計劃在全市內拓展布點ATM，銀行需要決策某網點ATM臺數，決策平衡要素包括ATM的使用率、平均等待時間等.

傳統的排隊論計算，基礎條件是需要有到達時間和服務時間的概率分布和參數估計[3].受統計數據不足的影響，本文基于有限的統計數據進行數學模擬，以期對銀行決策提供建議.

二、數學模型

（一）模型說明

等候線問題模型整體結構是一個循環模型，在單節循環內部是一個邏輯選擇模型.模型的主要參數是時間，時間作為單向矢量來表達，起始時間為0，其他時間按先后順序增加[4].

邏輯判斷模型是下一位達到時間是否大于（晚于）上一位完成時間，大于或等于上一位完成時間則不需要等候，下一位開始服務時間等于其到達時間；小于則需要等候，下一位開始服務時間等于上一位完成時間.

完成時間等于開始時間加上服務時間（標量），完成時間作為循環模型中下一位到達時間的比較時間.

循環模擬中，有兩個概率輸入量，時間表達為標量，一是顧客到達時間間隔，二是顧客服務時間.

（二）數學模型

數學模型的邏輯判斷結構和循環結構都是基本結構.本文以Excel模擬計算的模型進行表達.在Excel中，邏輯判斷函數表達為：IF（到達時間>完成時間，達到時間，完成時間），用來判斷開始服務時間.

如表1所示，假設模擬的開始時間是0.顧客1的間隔時間是概率隨機值3.1分，這個時間是標量，大小只代表時間長短，不代表時間早晚.到達時間是間隔時間的和，顧客1的到達時間是3.1分，這個時間是矢量，大小表達時間的早晚，可以進行對比.

開始服務時間需要邏輯判斷，顧客1的到達時間大于完成時間（第0個顧客假設時間為0），則開始服務時間等于達到時間，邏輯判斷后直接計算.等待時間是開始服務時間與到達時間的差值，為標量時間.服務時間也是個概率值，顧客1是1.6分，為標量時間.完成時間是矢量，是開始服務時間與服務時間的和.系統時間也是標量，為完成時間與到達時間的差值.

同上，第二位顧客到達時間是3.6分，第一個顧客的完成時間即4.7分，邏輯判斷是到達時間小于完成時間，則開始服務時間是第一個顧客完成時間.

機1可用時間與機2可用時間的確定，初始階段（第一位顧客），機1可用時間就是完成時間，機2可用時間是0，第二位顧客，機1可用時間是邏輯判斷：IF（第一位顧客結束時機1可用時間>第一位顧客結束時機2可用時間，第一位顧客結束時機1可用時間，第二位顧客完成時間）；機2可用時間是邏輯判斷：IF（第一位顧客結束時機1可用時間>第一位顧客結束時機2可用時間，第二位顧客完成時間，第二位顧客結束時機1可用時間）[5].

三、案例分析

（一）數據收集與分析

1.服務時間

服務時間是顧客在利用ATM進行機上操作的時間.大量的ATM機利用數據顯示，服務時間服從正態分布，其均值是2，標準差為0.5.

2.間隔時間

間隔時間是前后兩個顧客到達的間隔時間.間隔時間受潛在顧客數量限制，統計數據顯示最小時間是0，最大時間是5，均勻分布.

（二）模擬結果

為了確保穩態計算中不包含初始條件，通常在指定的時間內運行動態模擬模型，而不收集任何相關信息.本文參考其他文獻，把前100個客戶作為初始階段，數據統計只統計穩定運行的剩下數據，本文統計剩下900名顧客.

從模擬結果看，在只有一臺ATM機器時，等待人數是552人，平均等待時間是1.62分鐘，ATM使用率是78%.而二臺ATM機器的情況下，等待人數只有71人，平均等待時間是0.08分鐘，ATM使用率是41%.

（三）銀行決策

銀行決定某網點ATM臺數的決策要素包括等待概率、ATM的使用率、等待時間大于1分鐘概率三個無量綱參數.決策權重為1∶3∶1，通過計算，本文建議銀行選擇2臺ATM.

四、結 論

服務時間正態分布、間隔時間均勻分布，利用排隊理論進行模擬計算.前100個客戶作為初始階段，模擬900名顧客作為穩定運行數據.分一臺ATM、二臺ATM兩種情況進行模擬，根據決策權重，最終選擇設立2臺ATM.

【參考文獻】

[1]羅利春.排隊論的局限與排隊模擬的數學本質[J].中國空間科學技術，1994（6）：11-16

[2]崔堯，宋瑞敏.排隊論在銀行智能排隊管理中的應用研究[J].科技通報，2014（1）：123-126，130.

[3]蔡文婧，葛連升.基于排隊論的銀行業務窗口設置優化[J].山東大學學報（工學版），2013（3）：23-29.

[4]柴洪，馬竹書.基于蒙特卡羅模擬法的工程項目財務風險評估[J].項目管理技術，2012（11）：79-82.

[5]安德森，斯威尼.數據、模型與決策[M].北京：機械工業出版社，2015：339-375.endprint